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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Funktionen und Gleich...
Lineare Gleichungen
Einführung
Einfache lineare Glei...
Gleichungen mit Klamm...
Gleichungen mit Brüch...
Gleichungen mit Brüch...
Gleichungen in Zahlen...
Gleichungen in Sachau...
Quadratische Gleichun...
Einführung
Sonderfälle
Reinquadratische Glei...
x<sup>2</sup>+px=0
Gleichungen lösen
P-q-Formel
Mitternachtsformel
Satz von Vieta
Bruchgleichungen
Vermischte Aufgaben
Lineares Gleichungssy...
Einführung
Graphisches Lösungsve...
Rechnerisches Lösungs...
Gleichsetzungsverfahr...
Einsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Determinantenverfahre...
Vermischte Aufgaben
Lineare Funktionen
Einführung
Funktionsgraphen zeic...
Funktionsgleichungen ...
Schnittpunkte
Parallele und orthogo...
Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktion...
Einführung
Funktionsterm
Verschiebung in y-Ric...
Verschiebung in x-Ric...
Stauchung und Strecku...
Vermischte Aufgaben
Scheitelform und allg...
Funktionsgleichung au...
Schnittpunkt Gerade -...
Achsenschnittpunkte
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Potenzfunktion
Mit positivem Exponen...
Mit negativem Exponen...
Streckung, Stauchung ...
Potenzgesetze
Vermischte Aufgaben
Exponentialfunktionen...
Exponentialgleichunge...
Exponentialfunktionen
Wachstum
Logarithmus
Logarithmusfunktion
Verschiebung und Spie...
Vermischte Aufgaben
Trigonometrische Funk...
Einheitskreis
Gradmaß und Bogenmaß
Eigenschaften der Sin...
Eigenschaften der Kos...
Eigenschaften der Tan...
Streckung und Stauchu...
Streckung und Strauch...
Vermischte Aufgaben
Proportionale Zuordnu...
Rechnen mit proportio...
Schaubilder von propo...
Weg-Zeit-Zuordnungen
Abbildungen Im Koordi...
Orthogonale Affinität
Parallelverschiebung
Achsenspiegelung
Drehung
Vermischte Aufgaben
Geometrie in der Eben...
Dreieck
Einführung
Gleichschenkliges Dre...
Gleichseitiges Dreiec...
Allgemeines Dreieck
Sinussatz
Kosinussatz
Vermischte Aufgaben
Rechtwinkliges Dreiec...
Einführung
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Höhensatz
Satz des Thales
Sinus, Kosinus und Ta...
Flächeninhalt und Umf...
Vermischte Aufgaben
Vierecke und Vielecke
Einführung
Quadrat
Rechteck
Parallelogramm
Rhombus und Raute
Trapez
Drachen
Allgemeines Viereck
Regelmäßiges Vieleck
Vermischte Aufgaben
Kreis
Einführung
Flächeninhalt und Umf...
Kreisring
Kreissektor und Kreis...
Kreissegment
Geraden und Winkel am...
Vermischte Aufgaben
Geometrische Konstruk...
Einführung
Mittelsenkrechte
Lotgerade
Senkrechte
Winkelhalbierende
Dreieckskonstruktione...
Zentrische Streckung
Vermischte Aufgaben
Strahlensätze
Geometrie im Raum
Körper
Einführung
Schrägbild
Körpernetz
Zweitafelbild
Prisma
Einführung
Würfel
Quader
Vermischte Aufgaben
Spitze Körper
Kegel
Pyramide
Stümpfe
Kegelstumpf
Pyramidenstumpf
Sonstige Körper
Zylinder
Kugel
Rotationskörper
Zusammengesetzte Körp...
Trigonometrie in Körp...
Streckenzug
Raumdiagonale
Potenzen und Wurzeln
Potenzen
Einführung
Quadratzahlen und Pot...
Rechnen mit Potenzen
Einfache Potenzen
Potenzen mit negative...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen potenzieren
Wissenschaftliche Sch...
Wurzeln
Einführung
Quadratwurzeln und Ku...
Rechnen mit Wurzeln
Wurzeln multipliziere...
Teilweises Wurzelzieh...
Rechnen mit Wurzeln u...
Daten und Zufall
Statistische Grundbeg...
Absolute und relative...
Listen und Häufigkeit...
Arithmetisches Mittel...
Median und Quartile
Spannweite und mittle...
Diagramme
Vermischte Aufgaben
Diagramme
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
Vermischte Aufgaben
Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsre...
Einstufige Zufallsexp...
Ergebnis und Ereignis
Gesetz der großen Zah...
Zufallsvariable und E...
Mehrstufige Zufallsex...
Sachrechnen
Zinseszins
Vermischte Aufgaben

Determinantenverfahren

Spickzettel
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Willst du ein reales Problem mit einem linearen Gleichungssystem modellieren, musst du folgende Punkte beachten:
  • lege für jede gesuchte Größe eine Variable an,
  • stelle für jede angegebene Bedingung eine Gleichung auf,
  • entscheide, welches Verfahren für das Lösen des LGS am einfachsten ist.
Beachte bei Textaufgaben immer prinzipiell folgendes Schaubild:
Lineares Gleichungssystem
Lineares Gleichungssystem
Gegeben ist immer eine reale Situation. Diese müssen wir so weit wie möglich vereinfachen, um dann ein reales Modell aufzustellen. Dieses Modell formulieren wir dann mathematisch, sodass wir ein mathematisches Modell erhalten. Mit diesem Modell können wir jetzt rechnen und das Problem mathematisch lösen. Es ist anschließend sehr wichtig die mathematische Lösung zu bewerten. Hierbei müssen wir uns nochmal die reale Situation anschauen und einen Antwortsatz formulieren.
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Aufgaben
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1.
Thomas ist dreimal so alt wie Lukas. Thomas sagt: „Vor vier Jahren war ich sogar viermal so alt wie Lukas.“. Wie alt sind Thomas und Lukas? Stelle ein Gleichungssystem auf.
2.
Anne und Viktor haben zusammen $40$ Euro. Anne sagt zu Viktor: „Wenn ich dir $5$ Euro gebe, haben wir genauso viel Geld.“. Wie viel Geld haben die beiden jeweils? Stelle ein Gleichungssystem auf.
3.
Frau Schneider will einen Obstsalat machen. Dabei stellt sie fest, dass sie noch Äpfel, Bananen und Kiwis braucht. Sie schickt ihren Sohn Marco mit einem Obstkorb zum Einkaufen. Er soll genau $12$ Früchte kaufen. Die Anzahl der Kiwis und Bananen zusammengenommen soll zweimal so groß sein wie die der Äpfel. Außerdem soll die Anzahl der Äpfel genau um eins größer sein, als die der Bananen. Wie viel Äpfel, Bananen und Kiwis muss Marco kaufen?
4.
Wir betrachten ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ und ein zweites Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $c$. Der Umfang des ersten Rechtecks soll anderthalb größer sein als der Umfang des zweiten Rechtecks. Die zweifache Länge der Seite $a$ ist dabei die Summe der Seite $b$ und dreimal die Seite $c$.
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Lösungen
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1.
Wie alt sind Thomas und Lukas?
Bezeichne mit der Variablen $x$ das Alter von Thomas und mit $y$ das Alter von Lukas. Dann folgt aus der Aussage „Thomas ist dreimal so alt wie Lukas. “ die Gleichung $$ x = 3y.$$ Aus der Aussage „Vor vier Jahren war Thomas viermal so alt wie Lukas.“ folgt die Gleichung $$ x-4 = 4 \cdot (y-4).$$ Benutze nun das Einsetzungsverfahren, um das LGS zu lösen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x&=3y& \quad \\ \text{II}\quad&x-4&= 4 \cdot (y-4)&\quad\\ \hline \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x&=3y& \quad \\ \text{IIa}\quad&3y-4&= 4y - 16 \Longrightarrow y = 12 &\quad\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x&=3y \\ \text{II}\quad&x-4&= 4 \cdot (y-4) \\ \end{array}$
Lukas ist also $12$ Jahre alt. Setzen wir nun das Alter von Lukas in die Bedingung $x = 3y$, so erhalten wir, dass Thomas $x = 36$ Jahre alt ist.
2.
Wie viel Geld haben Anne und Viktor jeweils?
Bezeichne mit der Variablen $x$ das Geld von Anne und mit der Variablen $y$ das von Viktor. Zusammengelegt müssen die beiden $40$ Euro haben. Daraus folgt die Gleichung $$x + y = 40. $$ Gibt nun Anne Viktor $5$ Euro ab, so hat Viktor $y + 5$ Euro und Anne $x - 5$ Euro. Diese beiden Beträge sind gleich. Also folgt daraus die Gleichung $$x - 5 = y + 5. $$ Benutze erneut das Einsetzungsverfahren , um das LGS zu lösen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x + y &=& 40\quad \\ \text{II}\quad&x - 5&=& y + 5\quad\\ \hline \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x&=& 40 - y\quad \\ \text{IIa}\quad&40 - y - 5&=& y + 5 \quad \Longrightarrow y = 15\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x + y &=& 40 \\ \text{II}\quad&x - 5&=& y + 5 \\ \end{array}$
Viktor besitzt also $15$ Euro. Setze dies in die erste Gleichung $x = 40 - y$ ein, um den Betrag von Anne zu bekommen. Anne hat somit $25$ Euro.
3.
Obstsalat
Modelliere die Anzahl der Äpfel als $a$, die der Bananen als $b$ und die Anzahl der Kiwis als $k$. Hier siehst du, dass wir $3$ Variablen haben, somit benötigst du $3$ Gleichungen, um die Variablen eindeutig einem Wert zuzuordnen. Es sollen genau $12$ Früchte eingekauft werden. Daraus folgt die erste Gleichung $$ a + b + k = 12.$$ Nun heißt es, dass die Anzahl der Äpfel die Hälfte der Anzahl der Bananen und Kiwis zusammengenommen ist $$ b + k = 2a.$$ Im Obstkorb muss ein Apfel mehr liegen als Bananen. Also ist die dritte Gleichung $$a = b + 1.$$ Somit ergibt sich folgendes LGS, dabei bekommt jede Variable eine einzelne Spalte.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 12 &=& a ~~~~~+ b + k \\ \text{II}\quad& 0 &=& -2a + b + k \\ \text{III}\quad& 1 &=& a ~~~~~- b \\ \ \end{array}$
Benutze nun das Additionsverfahren. Ziehe Gleichung II von Gleichung I ab
$\begin{array}{} \text{Ia}\quad& 12 &=& 3a \Longrightarrow a = 4 \\ \text{II}\quad& 0 &=& -2a + b + k \\ \text{III}\quad& 1 &=& a ~~~~~- b \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{Ia}\quad& …\\ \text{II}\quad& …\\ \text{III}\quad& ..\\ \end{array}$
Die Anzahl der Äpfel ist also $4$. Setze dies in die dritte Gleichung ein, um die Anzahl der Bananen zu bestimmen $$ 1 = a - b = 4 - b.$$ Die Anzahl der Bananen ist also $b=3$. Die Anzahl der Kiwis ergibt sich, indem man die Werte für $a$ und $b$ in die zweite Gleichung einsetzt $$0 = -2a + b + k $$= -2 \cdot 4 + 3 + k.$$ Die Anzahl der Kiwis beträgt somit $k = 5$.
Marco muss also $4$ Äpfel, $3$ Bananen und $5$ Kiwis kaufen.
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