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Rechnerisch lösen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren, dem Einsetzungsverfahren und dem Additionsverfahren. Was fällt dir auf?
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&y&=& 5x + 4 \quad &\\ \text{II}\quad&y&=& 6x - 2 \quad &\\ \end{array}$
#gleichsetzungsverfahren#einsetzungsverfahren#additionsverfahren

Aufgabe 1

Löse die Gleichungen und verwende das Gleichsetzungsverfahren.
b)
$\text{I}$ $\,$ $y = 2x + 1$
$\text{II}$ $\,$ $y =3x + 4$
d)
$\text{I}$ $\,$ $y - 4x = 1$
$\text{II}$ $\,$ $10y + 30x=50$
#gleichsetzungsverfahren

Aufgabe 2

Erkläre, warum diese Gleichungen Sonderfälle sind. Löse sie im Anschluss.
b)
$\text{I}$ $\,$ $2x - 4y = 12$
$\text{II}$ $\,$$4y + 4x = 6$
d)
$\text{I}$ $\,$ $3x - 42 = -2y$
$\text{II}$ $\,$$4x + 2y = 6$

Aufgabe 3

Löse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren. Verfahre wie in Aufgabenteil c) der Einführungsaufgabe.
b)
$\text{I}$ $\,$ $3x = 6y + 3$
$\text{II}$ $\,$ $5x - 12y = -3$
d)
$\text{I}$ $\,$ $7x + 9y = 58$
$\text{II}$ $\,$ $6x = 42y$
#einsetzungsverfahren

Aufgabe 4

Löse die folgenden Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren. Löse dafür eine Gleichung zuerst nach $x$ oder $y$ auf.
b)
$\text{I}$ $\,$ $30x - 2y = 24$
$\text{II}$ $\,$ $4x - 2y = -2$
d)
$\text{I}$ $\,$ $17x + 5y = 86$
$\text{II}$ $\,$ $3x + 5y = 44$
#einsetzungsverfahren

Aufgabe 5

Benutze das Additionsverfahren, um die Gleichungssysteme zu lösen.
b)
$\text{I}$ $\,$ $3x + y = 10$
$\text{II}$ $\,$ $2x -y = 5$
d)
$\text{I}$ $\,$ $12y = -x + 2$
$\text{II}$ $\,$ $12y = 5x -6$
#additionsverfahren

Aufgabe 6

Forme eine Gleichung des Gleichungssystems durch Multiplikation so um, dass du das Additionsverfahren anwenden kannst.
b)
$\text{I}$ $\,$ $3x + 5y = 10$
$\text{II}$ $\,$ $2x + y = 6$
d)
$\text{I}$ $\,$ $5x + 2y = -6$
$\text{II}$ $\,$ $2x + y = 5$
#additionsverfahren

Aufgabe 7

Löse die Gleichungssysteme mit einem Verfahren deiner Wahl.
b)
$\begin{array}[t]{lrl} \text{I}& 0,5x-4y&=& -1 \\[5pt] \text{II}& 1,5x+2y&=& 11 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{lrl} \text{I}& y&=& -3x-2 \\[5pt] \text{II}& y&=& -2x+4 \end{array}$

Aufgabe 8

Schau dir die Abbildungen 1-4 an. Du siehst jeweils drei Geraden. Diese haben entweder keinen, einen, zwei oder drei Schnittpunkte. Stelle fest, welcher dieser Fälle vorliegt.
Gleichungssysteme: Rechnerisch lösen
Abb. 2: Die Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.
Gleichungssysteme: Rechnerisch lösen
Abb. 2: Die Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.
Gleichungssysteme: Rechnerisch lösen
Abb. 4: Die Geraden schneiden sich an drei verschiedenen Punkten.
Gleichungssysteme: Rechnerisch lösen
Abb. 4: Die Geraden schneiden sich an drei verschiedenen Punkten.
b)
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& y &=& 2x + 1 &\quad \\ \text{II}\quad& y &=& -0,5x + 1 &\quad \\ \text{III}\quad& y &=& 0,5x + 3 &\quad \\ \end{array}$
d)
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& y - 1 &=& 2x &\quad \\ \text{II}\quad& y &=& x + 1 &\quad \\ \text{III}\quad& y &=& 1 -2x &\quad \\ \end{array}$
#geradengleichung

Aufgabe 9

Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts der Geragen $g$ und $h$.
Die Gerade $g$ hat die Steigung $m = 3$ und den $y$-Achsenabschnitt $t = -1$.
Die Gerade $h$ verläuft parallel zur Wineklhalbierenden des $\text{I.}$ und $\text{III.}$ Quadranten und verläuft durch den Punkt $P(0 \mid 5)$.
#geradengleichung
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
[2]
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[4]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
Tipp
Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach derselben Variablen auf. Durch das Gleichsetzen erhältst du dann eine Gleichung mit nur einer Variablen.
Tipp
Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach derselben Variablen auf. Durch das Gleichsetzen erhältst du dann eine Gleichung mit nur einer Variablen.
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&y&=& 5x + 4 \quad &\\ \text{II}\quad&y&=& 6x - 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{I}=\text{II} \\[5pt] \hline \text{I=II} \quad&\color{#87c800}{5x + 4}&=&\color{#87c800}{6x - 2} &\quad \scriptsize \mid\; -5x \\[5pt] \quad&4&=&\color{#87c800}{x} - 2 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{6}&=&x &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I} \quad&y&=& 5 \cdot \color{#87c800}{6} + 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad&y&=& \color{#87c800}{30} + 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere} \\[5pt] \quad&y&=& \color{#87c800}{34} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(6 \mid 34)$.
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
Tipp
Beim Einsetzungsverfahren löst du zuerst eine Gleichung nach einer Variablen auf. Dann setzt du diese Gleichung in die andere ein und du erhältst eine Gleichung mit nur einer Variablen.
Tipp
Beim Einsetzungsverfahren löst du zuerst eine Gleichung nach einer Variablen auf. Dann setzt du diese Gleichung in die andere ein und du erhältst eine Gleichung mit nur einer Variablen.
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&y&=& 5x + 4 \quad &\\ \text{II}\quad&y&=& 6x - 2 \quad &\\ \hline \text{I} \quad&\color{#87c800}{6x - 2} &=& 5x + 4&\quad \scriptsize \mid\; -5x \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{x }- 2&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] \quad&x&=&\color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I} \quad&y&=& 5 \cdot \color{#87c800}{6} + 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad&y&=& \color{#87c800}{30} + 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere} \\[5pt] \quad&y&=& \color{#87c800}{34} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(6 \mid 34)$.
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
Tipp
Beim Additionsverfahren formst du eine der Gleichungen äquivalent um, sodass du sie mit der zweiten Gleichung addieren kannst und eine Variable wegfällt. Es entsteht also eine Gleichung mit nur einer Variablen.
Tipp
Beim Additionsverfahren formst du eine der Gleichungen äquivalent um, sodass du sie mit der zweiten Gleichung addieren kannst und eine Variable wegfällt. Es entsteht also eine Gleichung mit nur einer Variablen.
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&y&=& 5x + 4 \quad &\\ \text{II}\quad&y&=& 6x - 2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot(-1) \\[5pt] \hline \text{II} \quad& \color{#87c800}{-y}&=& \color{#87c800}{-6x + 2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{I}+\text{II} \\[5pt] \hline \text{I+II} \quad& \color{#87c800}{0}&=& \color{#87c800}{-x} + \color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; -6 \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{-6}&=&-x &\quad \scriptsize \mid\; :(-1) \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{6}&=&x &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I} \quad&y&=& 5 \cdot \color{#87c800}{6} + 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad&y&=& \color{#87c800}{30} + 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere} \\[5pt] \quad&y&=& \color{#87c800}{34} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(6 \mid 34)$. Hier fällt auf, dass das Gleichsetzungsverfahren und das Einsetzungsverfahren sich sehr ähneln. Beim Additionsverfahren musst du zuerst die Gleichung $\text{II}$ mit $-1$ multiplizieren, was etwas umständlicher ist.

Aufgabe 1

Bei einem Gleichungssytem, bei dem jeweils eine Seite der Gleichung $\text{I}$ mit einer Seite der Gleichung $\text{II}$ identisch ist, kannst du das Gleichsetzungsverfahren anwenden. Du setzt also die Terme gleich. Dann berechnest du die erste Variable. Danach kannst du die errechnete Variable in die Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach der unbekannten Variable auflösen.
a)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $y = 3x + 5$
$\text{II}$ $\,$ $y =2x + 3$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 3x + 5 &=& 2x + 3 &\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] 3x&=&2x - \color{#87c800}{2} &\quad \scriptsize \mid\; -2x\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{-2} \\[5pt] \end{array}$
Setze nun $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& 3 \cdot \color{#87c800}{-2} + 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-1} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-2 \mid -1)$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $y = 2x + 1$
$\text{II}$ $\,$ $y =3x + 4$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 2x + 1 &=& 3x + 4 &\quad \scriptsize \mid\; -2x\\[5pt] 1&=&\color{#87c800}{x} + 4 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] x &=&\color{#87c800}{-3} \end{array}$
Setze nun $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& 3 \cdot \color{#87c800}{-3} + 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-5} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-3 \mid -5)$.
c)
$\blacktriangleright$  Term umformen und Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $y = -x + 2$
$\text{II}$ $\,$ $y + 5x = 2$
Hier musst du Gleichung $\text{II}$ umformen, damit $y$ auf einer Seite isoliert steht.
$\text{I}$ $\begin{array}[t]{rll} y + 5x&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; -5x\\[5pt] y&=&2 - \color{#87c800}{5x} \end{array}$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} - x + 2&=&2 - 5x &\quad \scriptsize \mid\; +5x\\[5pt] \color{#87c800}{4x} + 2&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] 4x&=&\color{#87c800}{0} &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{0} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt kannst du $x$ in die Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach $y$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& -\color{#87c800}{0} + 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] y&=& \color{#87c800}{2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(0 \mid 2)$.
d)
$\blacktriangleright$  Term umformen und Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $y - 4x = 1$
$\text{II}$ $\,$ $10y + 30x=50$
Hier musst du Gleichung $\text{I}$ umformen, damit $y$ auf einer Seite isoliert steht.
$\text{I}$ $\,$$\begin{array}[t]{rll} y - 4x&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; +4x\\[5pt] y&=&1 + \color{#87c800}{4x} \end{array}$
$\text{II}$ $\,$ $\begin{array}[t]{rll} 10y + 30x&=&50 &\quad \scriptsize \mid\; -30x\\[5pt] 10y&=&50 - \color{#87c800}{30x} &\quad \scriptsize \mid\; :10\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{5} - \color{#87c800}{3x} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 1 - 4x &=&5 - 3x &\quad \scriptsize \mid\; +3x\\[5pt] 1 + \color{#87c800}{x}&=&5 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{4 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt kannst du $x$ in die umgeformte Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach $y$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&1 + 4 \cdot \color{#87c800}{4} &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{17} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(4 \mid 17)$

Aufgabe 2

Bei den folgenden Gleichungen sind die Variablen nicht isoliert. Allerdings kannst du das Gleichsetzungsverfahren trotzdem anwenden, wenn die Variable zwar nicht isoliert, dafür aber identisch ist. Du kannst die Terme also gleichsetzen. Danach berechnest du die erste Variable. Die Lösung für die errechnete Variable kannst du dann in die Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach der unbekannten Variable auflösen.
a)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $3y - 1 = 2$
$\text{II}$ $\,$$3y + 12x = 15$
$3y$ ist in beiden Gleichungen gegeben. Du formst also die Gleichungen um, um $3y$ jeweils zu isolieren.
$\text{I}$ $\begin{array}[t]{rll} 3y - 1&=&2x &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 3y&=&2x + \color{#87c800}{1} \end{array}$
$\text{II}$ $\begin{array}[t]{rll} 3y + 12x &=&15 &\quad \scriptsize \mid\; -12x\\[5pt] 3y&=&15 \color{#87c800}{- 12x} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 2x + 1&=&15 - 12x &\quad \scriptsize \mid\; +12x\\[5pt] \color{#87c800}{14x} + 1&=&15 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] 14x&=&\color{#87c800}{14} &\quad \scriptsize \mid\; : 14\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze nun $x$ in die umgeformte Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} 3y&=&2 \cdot \color{#87c800}{1} + 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 3y&=&\color{#87c800}{3} &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{1 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(1 \mid 1)$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $2x - 4y = 12$
$\text{II}$ $\,$$4y + 4x = 6$
$4y$ ist in beiden Gleichungen gegeben. Du formst also die Gleichungen um, um $4y$ jeweils zu isolieren.
$\text{I}$ $\begin{array}[t]{rll} 2x - 4y&=&12 &\quad \scriptsize \mid\; -2x\\[5pt] - 4y&=&12 \color{#87c800}{- 2x} &\quad \scriptsize \mid\; :(-1)\\[5pt] 4y&=& \color{#87c800}{- 12} \color{#87c800}{+ 2x} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$\text{II}$ $\begin{array}[t]{rll} 4y + 4x &=&6 &\quad \scriptsize \mid\; -4x\\[5pt] 4y&=&6 \color{#87c800}{- 4x} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} - 12 + 2x&=&6 - 4x &\quad \scriptsize \mid\; +12\\[5pt] 2x&=&\color{#87c800}{18} - 4x &\quad \scriptsize \mid\; +4x\\[5pt] \color{#87c800}{6x}&=&18 &\quad \scriptsize \mid\; : 6\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze nun $x$ in die umgeformte Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} 4y&=& - 12 + 2 \cdot \color{#87c800}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 4y&=&\color{#87c800}{-6} &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{1,5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid 1,5)$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $5x +2y = 9$
$\text{II}$ $\,$$6y + 1 = 5x$
$5x$ ist in beiden Gleichungen gegeben. Du formst also die Gleichung $\text{I}$, um $5x$ zu isolieren.
$\text{I}$ $\begin{array}[t]{rll} 5x + 2y &=&9 &\quad \scriptsize \mid\; -2y\\[5pt] 5x&=&9 \color{#87c800}{- 2y} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 9 - 2y&=&6y + 1 &\quad \scriptsize \mid\; -9\\[5pt] -2y&=&6y \color{#87c800}{-8} &\quad \scriptsize \mid\; -6y\\[5pt] \color{#87c800}{-8y}&=&-8 &\quad \scriptsize \mid\; : (-8)\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze nun $x$ in die umgeformte Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} 5x&=&9 - 2 \cdot \color{#87c800}{1} &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 5x&=&\color{#87c800}{7} &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{1,4} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(1,4 \mid 1)$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $3x - 42 = -2y$
$\text{II}$ $\,$$4x + 2y = 6$
$2y$ ist in beiden Gleichungen gegeben. Du formst also die Gleichungen um, um $2y$ zu isolieren.
$\text{I}$ $\begin{array}[t]{rll} 3x -42 &=& - 2y &\quad \scriptsize \mid\; :(-1)\\[5pt] \color{#87c800}{-3x} \color{#87c800}{+ 42 }&=& 2y \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$\text{II}$ $\begin{array}[t]{rll} 4x + 2y &=&6 &\quad \scriptsize \mid\; -4x\\[5pt] 2y&=&6 \color{#87c800}{- 4x} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} -3x + 42&=&6- 4x &\quad \scriptsize \mid\; -6\\[5pt] -3x + \color{#87c800}{36} &=&-4x&\quad \scriptsize \mid\; +3x\\[5pt] 36&=&\color{#87c800}{-x} &\quad \scriptsize \mid\; :(-1)\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{-36} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze nun $x$ in die umgeformte Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} -3 \cdot \color{#87c800}{-36} + 42 &=& 2y &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 2y&=&\color{#87c800}{150} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{75} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-36 \mid 75)$.
#gleichsetzungsverfahren

Aufgabe 3

Zur Lösung der folgenden Aufgaben muss immer eine der beiden Gleichungen nach einer Variable aufgelöst werden.
a)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&x - y&=& 14 &\quad \\ \text{II}\quad& 5y &=& x-2 &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{I}$ nach $x$ auf. So erhältst du $\text{I'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{I}$.
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&x - y&=& 14 &\quad \\ \text{I'}\quad& \color{#87c800}{x} &=& 14 \color{#87c800}{+ y} &\quad \\ \end{array}$
Setze die umgeformte Gleichung $\text{I'}$ in Gleichung $\text{II}$ ein $\left(\text{I'} \rightarrow \text{II}\right)$. Löse die Gleichung anschließend nach $y$ auf.
$\begin{array}{lrl} \text{I' $\rightarrow$ II} \quad& 5y &=& \color{#87c800}{(14 + y)} - 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \quad& 5y &=&\color{#87c800}{14 + y - 2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] \quad& 5y &=& \color{#87c800}{12} + y &\quad \scriptsize \mid\; -\;y \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{4y} &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; :\;4 \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{y} &=& 3 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $y$ in Gleichung $\text{I'}$ ein, um $x$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} y \rightarrow \text{I'} \quad& x &=& 14 +\color{#87c800}{3}&\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere} \\[5pt] & x &=& \color{#87c800}{17} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(17 \mid 3)$.
b)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&3x&=&6y + 3 &\quad \\ \text{II}\quad&5x - 12y&=& -3 &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{I}$ nach $x$ auf. So erhältst du $\text{I'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{I}$.
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad& 3x &=& 6y + 3 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\ \text{I'}\quad& \color{#87c800}{x} &=& \color{#87c800}{2y + 1} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze die umgeformte Gleichung $\text{I'}$ in Gleichung $\text{II}$ ein $\left(\text{I'} \rightarrow \text{II}\right)$. Löse die Gleichung anschließend.
$\begin{array}{lrl} \text{I' $\rightarrow$ II} \quad& 5 \cdot (\color{#87c800}{2y + 1}) - 12y &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \quad& 5 \cdot(2y + 1) - 12y &=&-3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{10y + 5} - 12y &=&-3 &\quad \scriptsize \mid\; -\;5 \\[5pt] \quad& 10y - 12y &=& \color{#87c800}{-8} &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahieren} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{-2y} &=& -8 &\quad \scriptsize \mid\; :\;-2 \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{y} &=& \color{#87c800}{4} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $y$ in Gleichung $\text{I'}$ ein, um $x$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} y \rightarrow \text{I'} \quad& x &=& 2 \cdot \color{#87c800}{4} + 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multiplizieren} \\[5pt] & x &=& \color{#87c800}{8} + 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addieren} \\[5pt] & x &=& \color{#87c800}{9} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(9 \mid 4)$.
c)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\begin{array}{rll} \text{I}\quad&10x &=& 43 - 3y &\quad \\ \text{II}\quad&2x &=& y + 5 &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{II}$ nach $y$ auf. So erhältst du $\text{II'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{II}$.
$\begin{array}{lrl} \text{II}\quad& 2x &=& y + 5 &\quad \scriptsize \mid\; - 5 \\ \text{II'}\quad& 2x \color{#87c800}{- 5} &=& y &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze die umgeformte Gleichung $\text{II'}$ in Gleichung $\text{I}$ ein $\left(\text{II'} \rightarrow \text{I}\right)$. Löse die Gleichung anschließend nach $x$ auf.
$\begin{array}{lrl} \text{II' $\rightarrow$ I} \quad& 10x &=& 43 - 3 \cdot \color{#87c800}{(2x - 5)} &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \quad& 10x &=& 43 \color{#87c800}{- 6x + 15} &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad& 10x &=& \color{#87c800}{58} - 6x &\quad \scriptsize \mid\; +6x \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{16x} &=& 58 &\quad \scriptsize \mid\; :16 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{3,625 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $x$ in Gleichung $\text{II'}$ ein, um $y$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} y \rightarrow \text{II'} \quad& 2 \cdot \color{#87c800}{3,625} - 5 &=& y &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{7,25} - 5 &=& y &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{2,25} &=& y \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3,625 \mid 2,25)$.
d)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&7x + 9y &=& 58 &\quad \\ \text{II}\quad&6x &=& 42y &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{II}$ nach $x$ auf. So erhältst du $\text{II'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{II}$.
$\begin{array}{lrl} \text{II}\quad& 6x &=& 42y &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\ \text{II'}\quad& x &=& \color{#87c800}{7y} &\quad \\ \end{array}$
Setze die umgeformte Gleichung $\text{II'}$ in Gleichung $\text{I}$ ein $\left(\text{II'} \rightarrow \text{I}\right)$. Löse die Gleichung anschließend nach $x$ auf.
$\begin{array}{lrl} \text{II' $\rightarrow$ I} \quad& 7 \cdot \color{#87c800}{7y} + 9y &=& 58 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \quad& \color{#87c800}{49y} + 9y &=& 58 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{58y} &=& 58 &\quad \scriptsize \mid\; :58 \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{1} &\quad \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $y$ in Gleichung $\text{II'}$ ein, um $x$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} y \rightarrow \text{II'} \quad& x &=& 7 \cdot \color{#87c800}{1} &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{7} &\quad \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(7 \mid 1)$.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Löse Gleichung $\text{I}$ nach $x$ auf. So erhältst du $\text{I'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{I}$.
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad& 14x - 3y &=& 16 &\quad \\ \text{II}\quad& 2x + 3y &=& 16 &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{II}$ nach $3y$ auf. So erhältst du $\text{II'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{II}$.
$\begin{array}{lrl} \text{II}\quad& 2x + 3y &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; - 2x\\[5pt] \text{II'}\quad& 3y &=& 16 - \color{#87c800}{2x} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze die umgeformte Gleichung $\text{II'}$ in Gleichung $\text{I}$ ein $\left(\text{II'} \rightarrow \text{I}\right)$. Löse die Gleichung anschließend nach $x$ auf.
$\begin{array}{lrl} \text{II' $\rightarrow$ I} \quad& 14x - \color{#87c800}{(16 - 2x)} &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \quad& 14x \color{#87c800}{- 16 + 2x} &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] \quad& \color{#87c800}{16x} - 16 &=& 16&\quad \scriptsize \mid\; + 16 \\[5pt] \quad& 16x &=& \color{#87c800}{32} &\quad \scriptsize \mid\; :\;16 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $x$ in Gleichung $\text{II'}$ ein, um $y$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x \rightarrow \text{II'} \quad& 3y &=& 16 - 2 \cdot \color{#87c800}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& 3y &=& 16 - \color{#87c800}{4} &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad& 3y &=& \color{#87c800}{12} &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{4} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(2 \mid 4)$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Löse Gleichung $\text{I}$ nach $x$ auf. So erhältst du $\text{I'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{I}$.
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad& 30x - 2y &=& 24 &\quad \\ \text{II}\quad& 4x - 2y &=& -2 &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{II}$ nach $-2y$ auf. So erhältst du $\text{II'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{II}$.
$\begin{array}{lrl} \text{II}\quad& 4x - 2y &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; - 4x\\[5pt] \text{II'}\quad& -2y &=& -2 \color{#87c800}{-4x} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze die umgeformte Gleichung $\text{II'}$ in Gleichung $\text{I}$ ein $\left(\text{II'} \rightarrow \text{I}\right)$. Löse die Gleichung anschließend nach $x$ auf.
$\begin{array}{lrl} \text{II' $\rightarrow$ I} \quad& 14x - \color{#87c800}{(16 - 2x)} &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \quad& 30x - 2 - 4x &=& 24 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] \quad& \color{#87c800}{26x} - 2 &=& 24 &\quad \scriptsize \mid\; + 2 \\[5pt] \quad& 26x &=& \color{#87c800}{26} &\quad \scriptsize \mid\; :26 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $x$ in Gleichung $\text{II'}$ ein, um $y$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x \rightarrow \text{II'} \quad& -2y &=& -2 - 4 \cdot \color{#87c800}{1} &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& -2y &=& -2 \color{#87c800}{- 4} &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad& -2y &=& \color{#87c800}{-6} &\quad \scriptsize \mid\; : (-2) \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(1 \mid 3)$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Löse Gleichung $\text{I}$ nach $x$ auf. So erhältst du $\text{I'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{I}$.
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad& 6x - 2y &=& -2 &\quad \\ \text{II}\quad& 6x + 4y &=& 40 &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{II}$ nach $6x$ auf. So erhältst du $\text{II'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{II}$.
$\begin{array}{lrl} \text{II}\quad& 6x + 4y &=& 40 &\quad \scriptsize \mid\; - 4y\\[5pt] \text{II'}\quad& 6x &=& 40 \color{#87c800}{-4y} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze die umgeformte Gleichung $\text{II'}$ in Gleichung $\text{I}$ ein $\left(\text{II'} \rightarrow \text{I}\right)$. Löse die Gleichung anschließend nach $x$ auf.
$\begin{array}{lrl} \text{II' $\rightarrow$ I} \quad& \color{#87c800}{(40 - 4y)} -2y &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \quad& \color{#87c800}{40 -4y} - 2y &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] \quad& 40 \color{#87c800}{-6y} &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; -40 \\[5pt] \quad& -6y &=& \color{#87c800}{-42} &\quad \scriptsize \mid\; :(-6) \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{7} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $y$ in Gleichung $\text{II'}$ ein, um $x$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x \rightarrow \text{II'} \quad& 6x &=& 40 - 4 \cdot\color{#87c800}{7} &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& 6x &=& 40 \color{#87c800}{-28} &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad& 6x &=& \color{#87c800}{12} &\quad \scriptsize \mid\; : 6 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(2 \mid 7)$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Löse Gleichung $\text{I}$ nach $x$ auf. So erhältst du $\text{I'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{I}$.
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad& 17x + 5y &=& 86 &\quad \\ \text{II}\quad& 3x + 5y &=& 44 &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{II}$ nach $5y$ auf. So erhältst du $\text{II'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{II}$.
$\begin{array}{lrl} \text{II}\quad& 3x + 5y &=& 44 &\quad \scriptsize \mid\; - 3x\\[5pt] \text{II'}\quad& 5y &=& 44 \color{#87c800}{-3x} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze die umgeformte Gleichung $\text{II'}$ in Gleichung $\text{I}$ ein $\left(\text{II'} \rightarrow \text{I}\right)$. Löse die Gleichung anschließend nach $x$ auf.
$\begin{array}{lrl} \text{II' $\rightarrow$ I} \quad& 17x + \color{#87c800}{(44 - 3x)} &=& 86 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \quad& 17x + \color{#87c800}{44 -3x} &=& 86 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] \quad& \color{#87c800}{14x} + 44 &=& 86 &\quad \scriptsize \mid\; -44 \\[5pt] \quad& 14x &=& \color{#87c800}{42} &\quad \scriptsize \mid\; :14 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $x$ in Gleichung $\text{II'}$ ein, um $y$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x \rightarrow \text{II'} \quad& 5y &=& 44 -3 \cdot \color{#87c800}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& 5y &=& 44 \color{#87c800}{-9} &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad& 5y &=& \color{#87c800}{35} &\quad \scriptsize \mid\; : 5 \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{7} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid 7)$.

Aufgabe 5

Bei dieser Aufgabe wendest du das Additionsverfahren an. Du addierst also Gleichung $\text{I}$ mit Gleichung $\text{II}$. Somit löschst du eine Variable weg. Löse danach nach der verbleibenden Variable auf. Die Lösung für diese Variable setzt du nun in Gleichung $\text{I}$ ein und löst nach der übrig gebliebenen Variable auf. Daraus ergibt sich dann die Lösung.
a)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $4x + 2y = 2$
$\text{II}$ $\,$ $x -2y =3$
Wende jetzt das Additionsverfahren $\text{I}$ + $\text{II}$ an.
$\begin{array}{lll} \text{I}\quad&4x + 2y&=&2 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&x - 2y&=& 3 &\quad\\ \hline \text{I + II} \quad& \color{#87c800}{5x} &=&\color{#87c800}{5} &\quad \scriptsize\mid\; :5\\ \quad& x &=& \color{#87c800}{1} &\quad\\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 4 \cdot \color{#87c800}{1} + 2y&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{4} + 2y&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] 2y&=&\color{#87c800}{-2} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(1 \mid -1)$.
b)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $3x + y = 10$
$\text{II}$ $\,$ $2x -y = 5$
Wende jetzt das Additionsverfahren $\text{I}$ + $\text{II}$ an.
$\begin{array}{lll} \text{I}\quad&3x + y&=&10 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&2x - y&=&5 &\quad\\ \hline \text{I + II} \quad& \color{#87c800}{5x} &=&\color{#87c800}{15} &\quad \scriptsize\mid\; :5\\ \quad& x&=&\color{#87c800}{ 3} &\quad\\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot \color{#87c800}{3} + y&=&10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{9} + y&=&10 &\quad \scriptsize \mid\; -9\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{1 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid 1)$.
c)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $5x + 7y = 8$
$\text{II}$ $\,$ $2x - 7y = 13$
Wende jetzt das Additionsverfahren $\text{I}$ + $\text{II}$ an.
$\begin{array}{lll} \text{I}\quad&5x + 3y&=&8 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&2x - 3y&=&13 &\quad\\ \hline \text{I + II} \quad& \color{#87c800}{7x} &=&\color{#87c800}{21} &\quad \scriptsize\mid\; :7\\ \quad& x&=& \color{#87c800}{3} &\quad\\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 5 \cdot\color{#87c800}{ 3} + 7y&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{15} + 7y&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; -15\\[5pt] 7y&=&\color{#87c800}{-7} &\quad \scriptsize \mid\; :7\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid -1)$.
d)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $12y = -x + 2$
$\text{II}$ $\,$ $-12y = 5x -6$
Wende jetzt das Additionsverfahren $\text{I}$ + $\text{II}$ an.
$\begin{array}{lll} \text{I}\quad&8y&=&-x + 2 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&-8y&=&5x - 6 &\quad\\ \hline \text{I + II} \quad& \color{#87c800}{0} &=&\color{#87c800}{4x} \color{#87c800}{-4} &\quad \scriptsize\mid\; +4\\ \quad& \color{#87c800}{4}&=& 4x &\quad \scriptsize\mid\; :4\\ \quad& x&=& \color{#87c800}{1} &\quad\\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 12y&=&-\color{#87c800}{1} + 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] 12y&=&\color{#87c800}{1} &\quad \scriptsize \mid\; :12\\[5pt] y&=& \color{#87c800}{\dfrac{1}{12} } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $\left(1 \mid \frac{1}{12}\right)$.

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung umformen und Gleichungssystem lösen
$\text{I}$ $\,$ $10x + 4y = 8$
$\text{II}$ $\,$ $2x + 8y =52$
Zuerst formst du die Gleichung $\text{I}$ um, indem du mit $-2$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{lll} 10x + 4y&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-2)\\[5pt] \color{#87c800}{-20x} \color{#87c800}{- 8y}&=&\color{#87c800}{-16} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&-20x - 8y&=& -16 \quad &\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&2x + 8y&=&52 \quad &\\ \hline \text{I+II} \quad&\color{#87c800}{-18x}&=&\color{#87c800}{36} \quad &\scriptsize\mid\; : (-18)\\ \quad&x&=& \color{#87c800}{-2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ jetzt in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 10 \cdot \color{#87c800}{-2} + 4y&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{-20} + 4y&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; +20\\[5pt] 4y&=&\color{#87c800}{28} &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{7 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-2 \mid 7)$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung umformen und Gleichungssystem lösen
$\text{I}$ $\,$ $3x + 5y = 9$
$\text{II}$ $\,$ $2x + y = 6$
Zuerst formst du die Gleichung $\text{II}$ um, indem du mit $-5$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} 2x + y&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-5)\\[5pt] \color{#87c800}{-10x - 5y}&=&\color{#87c800}{-30 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&3x + 5y &=& 9 \quad &\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&-10x - 5y&=&-30 \quad &\\ \hline \text{I+II} \quad&\color{#87c800}{-7x}&=&\color{#87c800}{-21} \quad &\scriptsize\mid\; : (-7)\\ \quad&x&=& \color{#87c800}{3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ jetzt in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot \color{#87c800}{3} + 5y&=&9 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{9} + 5y&=&9 &\quad \scriptsize \mid\; -9\\[5pt] 5y&=&\color{#87c800}{0} &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{0} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid 0)$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung umformen und Gleichungssystem lösen
$\text{I}$ $\,$ $2x + 3y = 4$
$\text{II}$ $\,$ $-x - 6y = 16$
Zuerst formst du die Gleichung $\text{I}$ um, indem du mit $2$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} 2x + 3y&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] \color{#87c800}{4x} + \color{#87c800}{6y}&=&\color{#87c800}{8 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&4x + 6y &=& 8 \quad &\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&-x - 6y&=&16\quad &\\ \hline \text{I+II} \quad&\color{#87c800}{3x}&=&\color{#87c800}{24} \quad &\scriptsize\mid\; : 3\\ \quad&x&=& \color{#87c800}{8} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ jetzt in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot \color{#87c800}{8} + 3y&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{16} + 3y&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; -16\\[5pt] 3y&=&\color{#87c800}{-12} &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-4} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(8 \mid -4)$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung umformen und Gleichungssystem lösen
$\text{I}$ $\,$ $5x + 2y = -6$
$\text{II}$ $\,$ $2x + y = 5$
Zuerst formst du die Gleichung $\text{II}$ um, indem du mit $-2$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} 2x + y&=&5 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-2)\\[5pt] \color{#87c800}{-4x -2y}&=&\color{#87c800}{-10 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&5x + 2y &=& -6 \quad &\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&-4x - 2y&=&-10\quad &\\ \hline \text{I+II} \quad&x&=&\color{#87c800}{-16} \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ jetzt in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 5 \cdot \color{#87c800}{-16} +2y&=&-6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{-80} + 2y&=&-6 &\quad \scriptsize \mid\; +80\\[5pt] 2y&=&\color{#87c800}{74} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{37} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-16 \mid 37)$.

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
Hier macht es Sinn, das Einsetzungsverfahren anzuwenden, da die Variable $x$ bereits isoliert ist. Du setzt also $x$ in Gleichung $\text{II}$ ein und löst dann nach $y$ auf. $y$ setzt du dann in Gleichung $\text{I}$ ein; löse anschließend nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{lrl} \text{I} \quad &y+3&=& x &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{II} \\[5pt] \text{II}\quad&2y+4x&=& 6 \\[5pt] \hline \text{II} \quad& 2y + 4 \cdot (\color{#87c800}{y+3}) &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] \quad& 2y + \color{#87c800}{4y} + \color{#87c800}{12} &=& 6&\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{6y} + 12 &=& 6&\quad \scriptsize \mid\; -12 \\[5pt] \quad& 6y &=& \color{#87c800}{-6}&\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{-1}&\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I}\quad &\color{#87c800}{-1}+3&=& x &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \text{I}\quad &\color{#87c800}{2}&=& x &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(2 \mid -1)$.
b)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
Hier macht es Sinn, das Additionsverfahren anzuwenden. Multipliziere Gleichung $\text{II}$ mit $2$ und addiere dann die beiden Gleichungen und löse dann nach $x$ auf. $x$ kannst du dann in Gleichung $\text{I}$ einsetzen und dann nach $y$ auflösen.
$\begin{array}[t]{lrl} \text{I}& 0,5x-4y&=& -1 &\quad \\[5pt] \text{II}& 1,5x+2y&=& 11 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] \hline \text{II} \quad& \color{#87c800}{3x} + \color{#87c800}{4y} &=& \color{#87c800}{22} &\quad \scriptsize \mid\; \text{I+II} \\[5pt] \hline \text{I+II} \quad& \color{#87c800}{3,5x} &=& \color{#87c800}{21} &\quad \scriptsize \mid\; :3,5 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{6}&\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I}\quad &0,5 \cdot \color{#87c800}{6} - 4y&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad &\color{#87c800}{3} - 4y&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] \quad &- 4y&=&\color{#87c800}{-4} &\quad \scriptsize \mid\; :(-1) \\[5pt] \quad &y&=&\color{#87c800}{1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(6 \mid 1)$.
c)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
Hier macht es Sinn, das Einsetzungsverfahren anzuwenden, da die Variable $y$ bereits isoliert ist. Du setzt also $y$ in Gleichung $\text{II}$ ein und löst dann nach $x$ auf. Anschließend setzt du dein Ergebnis für $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löst nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{lrl} \text{I}& y&=& 2x+1 &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{II} \\[5pt] \text{II}& 3x+2y&=& -5 &\quad \\[5pt] \hline \text{II} \quad& 3x+2 \cdot (\color{#87c800}{2x+1})&=& -5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] \quad& 3x+\color{#87c800}{4x} + \color{#87c800}{2}&=& -5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{7x} + 2&=& -5 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] \quad& 7x &=& \color{#87c800}{-7} &\quad \scriptsize \mid\; :7 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{-1} &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I} \quad& y&=& 2 \cdot\color{#87c800}{-1} +1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{-2} + 1&\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad &y &=& \color{#87c800}{-1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-1 \mid -1)$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
Hier macht es Sinn, das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, da die Variable $x$ bereits isoliert ist. Du setzt also $x$ in Gleichung $\text{II}$ ein und löst dann nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{lrl} \text{I}& y&=& -3x-2 \\[5pt] \text{II}& y&=& -2x+4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{I=II} \\[5pt] \hline \text{I=II} \quad& \color{#87c800}{-3x-2}&=& \color{#87c800}{-2x+4} &\quad \scriptsize \mid\; +2x \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{-x }- 2&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] \quad& -x&=& \color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; :(-1) \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{-6}&\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I} \quad& y&=& -3 \cdot \color{#87c800}{-6} -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{18} - 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad &y &=& \color{#87c800}{16} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-6 \mid 16)$.
#gleichsetzungsverfahren#additionsverfahren#einsetzungsverfahren

Aufgabe 8

Hier sollst du berechnen, ob die drei verschiedenen Geraden aus a) - d) sich schneiden und sie dem dementsprechenden Bild zuordnen. Dazu berechnest du jeweils $x$ und $y$ der Gleichungen $\text{I}$ und $\text{II}$. Im Anschluss setzt du die berechneten Variablen in Gleichung $\text{III}$ ein. Wenn das ERgebnis übereinstimmt, schneiden sich alle Geraden in einem Punkt. Wenn es nicht übereinstimmt, musst du Gleichungen $\text{I}$ und $\text{III}$ nach $x$ und $y$ auflösen. Egal ob es eine Lösung hierfür gibt, du musst im Anschluss noch Gleichungen $\text{II}$ und $\text{III}$ jeweils nach $x$ und $y$ auflösen. Gibt es hierfür eine Lösung, schneiden sich alle drei Geraden an verschiedenen Punkten. Gibt es keine Lösung, dann gibt es nur zwei Schnittpunkte, also eine Gerade schneidet die beiden anderen Geraden. Gibt es allerdings keine Lösung, wenn du die Gleichungen $\text{I}$ und $\text{II}$ nach $x$ und $y$ auflöst, so musst du wieder die Gleichungen $\text{I}$ und $\text{III}$ nach den Variablen auflösen. Gibt es hierfür wieder keine Lösung, so musst du noch die Gleichungen $\text{II}$ und $\text{III}$ nach den Variablen auflösen. Solltest du dann wieder keine Lösung berechnen können, schneiden sich die Geraden nicht.
a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y + 0,5x - 3 &=& 0 &\quad \\ \text{II}\quad& 0,5x + y&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; -0,5x \\ \hline \text{II}\quad& y &=& 1 \color{#87c800}{- 0,5x} &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I}\quad& \color{#87c800}{1 - 0,5x} + 0,5x - 3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& \color{#db2416}{-2} &=& \color{#db2416}{0 } &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Geraden $\text{I}$ und $\text{II}$ schneiden sich also nicht. Jetzt musst du noch berechnen, ob Gleichung $\text{I}$ und $\text{III}$ sich schneiden.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y + 0,5x - 3 &=& 0 &\quad \\ \text{III}\quad& y &=& 2x + 1 &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I}\quad& \color{#87c800}{2x + 1} + 0,5x - 3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& \color{#87c800}{2,5x -2} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\ \quad& 2,5x &=& \color{#87c800}{2} &\quad \scriptsize \mid\; :2,5 \\ \quad& x &=& \color{#87c800}{0,8} &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{III} \\ \hline \text{III}\quad& y &=& 2 \cdot \color{#87c800}{0,8} + 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& y &=& \color{#87c800}{2,6} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Geraden $\text{I}$ und $\text{III}$ schneiden sich also im Punkt $P \; (0,8 \mid 2,6)$. Jetzt musst du noch berechnen, ob sich die Geraden $\text{II}$ und $\text{III}$ schneiden.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad& 0,5x + y&=& 1 &\quad \\ \text{III}\quad& y &=& 2x + 1 &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{II} \\ \hline \text{II}\quad& 0,5x + \color{#87c800}{2x +1} &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& \color{#87c800}{2,5x} +1 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\ \quad& 2,5x &=& \color{#87c800}{0} &\quad \scriptsize \mid\; :2,5 \\ \quad& x &=& \color{#87c800}{0} &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{III} \\ \hline \text{III}\quad& y &=& 2 \cdot \color{#87c800}{0} + 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& y &=& \color{#87c800}{1} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Geraden $\text{II}$ und $\text{III}$ schneiden sich im Punkt $L \; (0 \mid 1)$. Also kannst du diese Gleichungen der Abbildung 3 zuordnen.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& y &=& 2x + 1 &\quad \\ \text{II}\quad& y &=& -0,5x + 1 &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I}\quad& \color{#87c800}{-0,5x + 1} &=& 2x + 1 &\quad \scriptsize \mid\; +0,5x \\ \quad& 1 &=& \color{#87c800}{2,5x} + 1 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\ \quad& \color{#87c800}{0} &=& 2,5x &\quad \scriptsize \mid\; :2,5 \\ \quad& \color{#87c800}{0} &=& x &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{II} \\ \hline \text{II}\quad& y &=& -0,5 \cdot \color{#87c800}{0} + 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& y &=& \color{#87c800}{1} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Geraden $\text{I}$ und $\text{II}$ schneiden sich also im Punkt $P \; (0 \mid 1)$. Jetzt kannst du leicht überprüfen, ob sich die Geraden noch mit Gerade $\text{III}$ schneiden, indem du den gerade berechneten Punkt $P$ in Gleichung $\text{III}$ einsetzt. Überprüfe das Ergebnis.
$\begin{array}{lrll} \text{III}\quad& \color{#87c800}{1} &=& 0,5 \cdot \color{#87c800}{0} + 3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& \color{#db2416}{1} &=& \color{#db2416}{3} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Punkt $P \; (0 \mid 1)$ liegt also nicht auf der Geraden $\text{III}$. Überprüfe also ob sich die Gerade $\text{III}$ und $\text{I}$ schneiden.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& y &=& 2x + 1 &\quad \\ \text{III}\quad& y &=& 0,5x + 3 &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I}\quad& \color{#87c800}{0,5x + 3} &=& 2x + 1 &\quad \scriptsize \mid\; -0,5x \\ \quad& 3 &=& \color{#87c800}{1,5x} + 1 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\ \quad& \color{#87c800}{2} &=& 1,5x &\quad \scriptsize \mid\; :1,5 \\ \quad& \color{#87c800}{\dfrac{4}{3}} &=& x &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{III} \\ \hline \text{III}\quad& y &=& 0,5 \cdot \color{#87c800}{\dfrac{4}{3}} + 3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& y &=& \color{#87c800}{\dfrac{11}{3}} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Geraden $\text{I}$ und $\text{III}$ schneiden sich also im Punkt $L \; \left(\frac{4}{3} \mid \frac{11}{3}\right)$. Jetzt kannst du leicht überprüfen, ob sich die Geraden noch mit Gerade $\text{II}$ schneiden, indem du den gerade berechneten Punkt $P$ in Gleichung $\text{II}$ einsetzt. Überprüfe das Ergebnis.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad& \color{#87c800}{\dfrac{11}{3}} &=& -0,5 \cdot \color{#87c800}{\dfrac{4}{3}} + 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& \color{#db2416}{\dfrac{11}{3}} &=& \color{#db2416}{\dfrac{1}{3}} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Punkt $L \; \left(\frac{4}{3} \mid \frac{11}{3}\right)$ liegt also nicht auf der Geraden $\text{II}$. Überprüfe also, ob sich die Gerade $\text{II}$ und $\text{III}$ schneiden.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad& y &=& -0,5x + 1 &\quad \\ \text{III}\quad& y &=& 0,5x + 3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{II} + \text{III} \\ \hline \text{II + III}\quad& \color{#87c800}{2y} &=&\color{#87c800}{ 4} &\quad \scriptsize \mid\; : 2 \\ \quad& y &=& \color{#87c800}{2} &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{II} \\ \hline \text{II}\quad& \color{#87c800}{2} &=& -0,5x + 1 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\ \quad& \color{#87c800}{1} &=& -0,5x &\quad \scriptsize \mid\; : (-0,5)\\ \quad& \color{#87c800}{-2} &=& x &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Geraden $\text{II}$ und $\text{III}$ schneiden sich also im Punkt $M \; (-2 \mid 2)$. Also schneiden sich alle Geraden in unterschiedlichen Punkten. Es passt also Abbildung 4.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& y - 2x &=& -2 &\quad \\ \text{II}\quad& y &=& 2x &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I}\quad& \color{#87c800}{2x} - 2x &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& \color{#db2416}{0} &=& \color{#db2416}{-2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Geraden $\text{I}$ und $\text{II}$ schneiden sich also nicht. Jetzt musst du noch berechnen, ob Gleichung $\text{I}$ und $\text{III}$ sich schneiden.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& y - 2x &=& -2 &\quad \\ \text{III}\quad& y - 3 &=& 2x &\quad \scriptsize \mid\; +3\\ \hline \text{III}\quad& y &=& 2x + \color{#87c800}{3} &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I}\quad& \color{#87c800}{2x +3} - 2x &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& \color{#db2416}{3} &=& \color{#db2416}{-2 } &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Geraden $\text{I}$ und $\text{III}$ schneiden sich also nicht. Jetzt musst du noch berechnen, ob Gleichung $\text{II}$ und $\text{III}$ sich schneiden.
$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad& y &=& 2x &\quad \\ \text{III}\quad& y &=& 2x + 1 &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{II} \\ \hline \text{II}\quad& \color{#87c800}{2x + 1} &=& 2x &\quad \scriptsize \mid\; -2x \\ \quad& \color{#db2416}{1} &=& \color{#db2416}{0} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Geraden $\text{I}$ und $\text{III}$ schneiden sich also nicht. Es schneidet sich also keine der drei Geraden. Also kannst du diese Gleichungen der Abbildung 1 zuordnen.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& y - 1 &=& 2x &\quad \\ \text{II}\quad& y &=& x + 1 &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I} \quad& \color{#87c800}{x + 1} - 1 &=& 2x &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& \color{#87c800}{x} &=& 2x &\quad \scriptsize \mid\; -x \\ \quad& \color{#87c800}{0} &=& x &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{II} \\ \hline \text{II} \quad& y &=& \color{#87c800}{0} + 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& y &=& \color{#87c800}{1} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Geraden $\text{I}$ und $\text{II}$ schneiden sich also im Punkt $P \; (0 \mid 1)$. Jetzt musst du überprüfen, ob du den Punkt $P$ auch in Gerade $\text{III}$ einsetzen kannst.
$\begin{array}{lrll} \text{III}\quad& \color{#87c800}{1} &=& 1 -2 \cdot \color{#87c800}{0} &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& 1 &=& 1 &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Der Punkt $P \; (0 \mid 1)$ ist also auch eine Lösung der Gleichung $\text{III}$. Somit schneiden sich die drei Geraden alle im $P \; (0 \mid 1)$. Es passt also Abbildung 2.

Aufgabe 9

Du weißt, dass die Gerade $g$ die Steigung $m = 3$ und den $y$-Achsenabschnitt $t = -1$ hat. Die Normalform einer Gleichung lautet:
$y= m \cdot x+t$
$y= m \cdot x+t$
Dabei ist $m$ die Steigung und $t$ der $y$-Achsenabschnitt. Wenn du jetzt die Werte für die Gerade $g$ in die Normalform einsetzt hast du die erste Gleichung. Sie lautet:
$ \text{I} \quad y = 3x - 1$
Die zweite Gleichung $\text{II}$ beschreibt die Gerade $h$. Sie verläuft parallel zur Winkelhalbierenden des $\text{I.}$ und $\text{III.}$ Quadranten und hat also die Steigung $x$. Du weißt, dass die Gerade durch den Punkt $P(0 \mid 5)$ verläuft. Der $y$-Achsenabschnitt ist also $t = 5$. Jetzt kannst du die Werte in die Normalform einsetzen und hast somit Gleichung $\text{II}$:
$ \text{II} \quad y = x+5$
Jetzt kannst du ein Gleichungssystem aufstellen und dann $x$ und $y$ auflösen. Damit berechnest du den Schnittpunkt der beiden Geraden.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& 3x - 1 &\quad \\ \text{II}\quad&y&=& x+5 &\quad \scriptsize\mid\; y \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I}\quad& \color{#87c800}{x+5 }&=& 3x - 1 &\quad \scriptsize\mid\; -x \\ \quad& 5&=& \color{#87c800}{2x } - 1 &\quad \scriptsize\mid\; +1 \\ \quad& \color{#87c800}{6}&=& 2x &\quad \scriptsize\mid\; : 2 \\ \quad& \color{#87c800}{3}&=& x &\quad \scriptsize\mid\; x \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I}\quad& y &=& 3 \cdot \color{#87c800}{3} - 1 &\quad \scriptsize\mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& y &=& \color{#87c800}{8 } &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Geraden $g$ und $h$ schneiden sich im Punkt $L(3 \mid 8)$.
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