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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Funktionen und Gleich...
Lineare Gleichungen
Einführung
Einfache lineare Glei...
Gleichungen mit Klamm...
Gleichungen mit Brüch...
Gleichungen mit Brüch...
Gleichungen in Zahlen...
Gleichungen in Sachau...
Quadratische Gleichun...
Einführung
Sonderfälle
Reinquadratische Glei...
x<sup>2</sup>+px=0
Gleichungen lösen
P-q-Formel
Mitternachtsformel
Satz von Vieta
Bruchgleichungen
Vermischte Aufgaben
Lineares Gleichungssy...
Einführung
Graphisches Lösungsve...
Rechnerisches Lösungs...
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Einsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Determinantenverfahre...
Vermischte Aufgaben
Lineare Funktionen
Einführung
Funktionsgraphen zeic...
Funktionsgleichungen ...
Schnittpunkte
Parallele und orthogo...
Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktion...
Einführung
Funktionsterm
Verschiebung in y-Ric...
Verschiebung in x-Ric...
Stauchung und Strecku...
Vermischte Aufgaben
Scheitelform und allg...
Funktionsgleichung au...
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Achsenschnittpunkte
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Potenzgesetze
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Exponentialfunktionen
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Logarithmusfunktion
Verschiebung und Spie...
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Eigenschaften der Sin...
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Streckung und Stauchu...
Streckung und Strauch...
Vermischte Aufgaben
Proportionale Zuordnu...
Rechnen mit proportio...
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Gleichschenkliges Dre...
Gleichseitiges Dreiec...
Allgemeines Dreieck
Sinussatz
Kosinussatz
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Rechtwinkliges Dreiec...
Einführung
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
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Sinus, Kosinus und Ta...
Flächeninhalt und Umf...
Vermischte Aufgaben
Vierecke und Vielecke
Einführung
Quadrat
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Trapez
Drachen
Allgemeines Viereck
Regelmäßiges Vieleck
Vermischte Aufgaben
Kreis
Einführung
Flächeninhalt und Umf...
Kreisring
Kreissektor und Kreis...
Kreissegment
Geraden und Winkel am...
Vermischte Aufgaben
Geometrische Konstruk...
Einführung
Mittelsenkrechte
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Senkrechte
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Dreieckskonstruktione...
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Körper
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Potenzen
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Quadratzahlen und Pot...
Rechnen mit Potenzen
Einfache Potenzen
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Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
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Rechnen mit Wurzeln u...
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Diagramme
Vermischte Aufgaben
Diagramme
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Balkendiagramm
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Boxplot
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Gesetz der großen Zah...
Zufallsvariable und E...
Mehrstufige Zufallsex...
Sachrechnen
Zinseszins
Vermischte Aufgaben

Einführung

Spickzettel
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Eine Funktion $f$ ist eine Zuordnung. Sie beschreibt also das Verhältnis zwischen zwei Größen, die meistens mit $x$ und $y$ bezeichnet werden. Sie ordnet jedem $\color{#87c800}{x}$-Wert genau einen $\color{#87c800}{y}$-Wert zu.

Beispiel

Die Zahl $x$ könnte zum Beispiel die Anzahl von Äpfeln beschreiben, die du kaufen möchtest. Den Preis, den du zahlen musst kannst du dann mit $y$ bezeichnen. Wenn jeder Apfel $0,50$ € kostet, kannst du den Preis von $x$-Äpfeln in € wie folgt darstellen:
$y = 0,5\cdot x$
Setzt du nun für $x$ die Anzahl der Äpfel ein, die du kaufen möchtest, kannst du so $y$ ausrechnen und weißt dadurch, wie viel du bezahlen musst. Möchtest du also $3$ Äpfel kaufen, dann setzt du in die obige Gleichung $x=3$ ein:
$y = 0,5 \cdot 3 = 1,5 $
Für $3$ Äpfel musst du dann also $1,50\,$€ zahlen.

Schreibweise

Funktionen können auf verschiedene Weisen aufgeschrieben werden:
  • Zuordnungsvorschrift: $\,f: x \mapsto 0,5x$
  • Funktionsgleichung: $\,f: y = 0,5x \quad$ oder $\quad f(x) = 0,5x$
Der Teil rechts vom Gleichheitszeichen, in dem Fall also $0,5x$, wird auch Funktionsterm genannt.

Graphische Darstellung

Eine Funktion kann man mit Hilfe eines Funktionsgraphen bildlich darstellen. Dazu benötigt man ein Koordinatensystem. Meistens werden auf der horizontalen Achse die $x$-Werte und auf der vertikalen Achse die $y$-Werte abgetragen. Der Graph von $f$ ist dann die Menge aller möglichen Punkte $(x\mid y)$, bei denen $f$ dem $x$-Wert den $y$-Wert zuordnet.
Hier kannst du zum Beispiel den Graphen der Funktion $y=2x+1$ sehen, in dem ein paar Beispielpunkte eingezeichnet sind:
Lineare Funktionen: Einführung
Lineare Funktionen: Einführung
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Aufgaben
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1. Graph einer Funktion
Bestimme die Koordinaten der Punkte aus dem Koordinatensystem. Zeichne die Punkte $P_1(2 \mid 3)$, $P_2(-4 \mid 0)$, $P_3(-0,5 \mid 1,5)$ und $P_4(-3 \mid -2)$ in das Koordinatensystem unten ein.
Lineare Funktionen: Einführung
Lineare Funktionen: Einführung
2.  Bestimme die fehlenden Koordinaten so, dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion $y=-\dfrac{1}{2}x+2$ liegen.
a)  $P(2 \mid ?)$
b)  $Q(-1 \mid ?)$
c)  $T(? \mid 4)$
d)  $A(? \mid -6)$
3.  Überprüfe, ob der angegebene Punkt auf dem Graphen der Funktion $y=-3x+1$ liegt.
a)  $A(0 \mid 0)$
b)  $B(-1 \mid 4)$
c)  $C(3 \mid -8)$
d)  $D(10 \mid -30)$
4.  Gegeben ist die Funktion $y=-x+1$. Bestimme zwei beliebige Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen. Bestimme einen weiteren Punkt, der den $y$-Wert $5$ besitzt.
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Lösungen
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1. Graph einer Funktion
  $\blacktriangleright$ Die x-Werte und dann die y-Werte ablesen
$A\,(2 \mid 2)$; $B\,(-1 \mid 1,5)$; $C\,(0 \mid -1)$; $D\,(-3 \mid 2)$ und $E\,(1 \mid 0,5)$
  $\blacktriangleright$ Punkte ins Koordinatensystem einzeichnen
Wenn du Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen möchtest, musst du auch hier immer in $x$-Richtung und danach in $y$-Richtung bewegen.
Lineare Funktionen: Einführung
Lineare Funktionen: Einführung
2.  Fehlende Koordinaten bestimmen
Rechne mit der Geradengleichung $y=-\dfrac{1}{2}x+2$ die fehlenden Koordinaten aus.
a)  $P\,(2 \mid ?)$ - Einsetzen von $x=2$ in die Geradengleichung liefert:
$y=-\dfrac{1}{2}\cdot2+2=-1+2=1$.
Damit liegt der Punkt $P\,(2 \mid 1)$ auf der Geraden.
b)  $Q\,(-1 \mid ?)$ - Einsetzen von $x=-1$ in die Geradengleichung liefert:
$y=-\dfrac{1}{2}\cdot(-1)+2=\dfrac{1}{2}+2=2,5$
Damit liegt der Punkt $Q\,(-1 \mid 2,5)$ auf der Geraden.
c)  $T\,(? \mid 4)$ - Einsetzen von $y=4$ in die Geradengleichung liefert:
$\begin{array}{rll} 4=&-\dfrac{1}{2}x +2&\quad\mid\; -2 \\[5pt] 2=&-\dfrac{1}{2} x&\quad\mid\; :\left(-\dfrac{1}{2}\right) \\[5pt] x=&-4 \end{array}$
Damit liegt der Punkt $T\,(-4 \mid 4)$ auf der Geraden.
d)  $A\,(? \mid -6)$ - Einsetzen von $y=-6$ in die Geradengleichung liefert:
$\begin{array}{rll} -6=&-\dfrac{1}{2}x +2&\quad\mid\; -2 \\[5pt] -8=&-\dfrac{1}{2} x&\quad\mid\; :\left(-\dfrac{1}{2}\right) \\[5pt] x=&16 \end{array}$
Damit liegt der Punkt $A\,(16 \mid -6)$ auf der Geraden.
3.  Überprüfen, ob der Punkt auf dem Graphen liegt
Um zu überprüfen, ob die Punkte auf der Geraden $ y=-3 x+1$ liegen, setze die Koordinaten der Punkte in die Geradengleichung ein und überprüfe das Ergebnis.
a)   $A\,( 0 \mid 0)$
$\begin{array}{rll} 0 =&-3\cdot 0+1&\quad\\[5pt] 0=&1&\quad \small{\text{falsche Aussage}}\\[5pt] \end{array}$
$\Longrightarrow$ Der Punkt liegt nicht auf der Geraden
b)   $B\,(-1 \mid 4)$
$\begin{array}{rll} 4=&-3\cdot(-1)+1&\quad\\[5pt] 4=&4&\quad \small{\text{wahre Aussage}}\\[5pt] \end{array}$
$\Longrightarrow$ Der Punkt liegt auf der Geraden
c)   $C\,( 3 \mid -8)$
$\begin{array}{rll} -8=&-3\cdot3+1&\quad\\[5pt] -8=&-8&\quad \small{\text{wahre Aussage}}\\[5pt] \end{array}$
$\Longrightarrow$ Der Punkt liegt auf der Geraden.
d)   $D\,( 10 \mid -30)$
$\begin{array}{rll} -30=&-3\cdot10+1&\quad\\[5pt] -30=&-29&\quad \small{\text{falsche Aussage}}\\[5pt] \end{array}$
$\Longrightarrow$ Der Punkt liegt nicht auf der Geraden
a)   $A\,( 0 \mid 0)$
$\begin{array}{rll} 0 =&-3\cdot 0+1&\quad\\[5pt] 0=&1&\quad \small{\text{falsche Aussage}}\\[5pt] \end{array}$
$\Longrightarrow$ Der Punkt liegt nicht auf der Geraden
b)   $B\,(-1 \mid 4)$
$\begin{array}{rll} 4=&-3\cdot(-1)+1&\quad\\[5pt] 4=&4&\quad \small{\text{wahre Aussage}}\\[5pt] \end{array}$
$\Longrightarrow$ Der Punkt liegt auf der Geraden
c)   $C\,( 3 \mid -8)$
$\begin{array}{rll} -8=&-3\cdot3+1&\quad\\[5pt] -8=&-8&\quad \small{\text{wahre Aussage}}\\[5pt] \end{array}$
$\Longrightarrow$ Der Punkt liegt auf der Geraden.
d)   $D\,( 10 \mid -30)$
$\begin{array}{rll} -30=&-3\cdot10+1&\quad\\[5pt] -30=&-29&\quad \small{\text{falsche Aussage}}\\[5pt] \end{array}$
$\Longrightarrow$ Der Punkt liegt nicht auf der Geraden
4.   Punkte bestimmen
Setze zwei verschiedene $x$-Werte in die Funktionsgleichung ein.
Zum Beispiel $x=2$ eingesetzt in $y=-x+1$ liefert $y=-2+1=-1$ $\Longrightarrow\;P\,(2 \mid -1)$.
$x=-3$ eingesetzt in $y=-x+1$ liefert $y=-(-3)+1=4$ $\Longrightarrow\;Q\,(-3 \mid 4)$
Damit hast du die Koordinaten zweier Punkte \(P\,(2 \mid -1)\) und \(Q\,(-3 \mid 4)\) bestimmt, die auf dem Schaubild der gegebenen Funktion liegen. Du hättest hier natürlich auch andere \(x\)-Werte wählen können.
Bestimmung des Punktes mit $\boldsymbol{y=5}$
$y=5$ eingesetzt in $y=-x+1$ liefert:
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 5=&-x+1&& \mid\; -1\\[5pt] 4=&-x&& \mid\; \cdot(-1)\\[5pt] x=&-4&& \\[5pt] \end{array}$
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