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Einfache lineare Gleichungen

Spickzettel
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Eine Äquivalenzumformung bezeichnet eine Umformung einer Gleichung, bei welcher sich die Lösung der Gleichung nicht verändern.
Beispiele für Äquivalenzumformungen sind:
  1. Beidseitige Addition oder Subtraktion eines Terms oder einer Zahl
  2. Beidseitige Multiplikation oder Division mit einer Zahl, die nicht gleich Null ist
Tipp
  1. Vereinfachen der Terme
  2. Beidseitige Addition oder Subtraktion, um alle Variablen auf die linke Seite zu bringen
  3. Vereinfachen der Terme
  4. Wenn die Variable noch nicht alleine steht, kannst du sie durch beidseitige Multiplikation oder Division von der Zahl trennen

Beispiele

1.
$\begin{array}[t]{rlll} \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{2}}+\boldsymbol{\color{#dc1400}{5x+3x}}+\boldsymbol{\color{#2D6EC8}{1}}&=& \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{7}}-\boldsymbol{\color{#dc1400}{x}} & \scriptsize \mid\;\text{vereinfachen} & \scriptsize \text{vereinfachen des linken Terms}\\ \boldsymbol{\color{#dc1400}{8x}}+\boldsymbol{\color{#2D6EC8}{3}}&=& \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{7}}-\boldsymbol{\color{#dc1400}{x}} & \scriptsize \mid\; +\;x& \scriptsize \text{beidseitiges Addieren von }x \\ \boldsymbol{\color{#dc1400}{9x}}+\boldsymbol{\color{#2D6EC8}{3}}&=& \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{7}}& \scriptsize \mid\; - 3 &\scriptsize \text{beidseitiges Subtrahieren von 3}\\ \boldsymbol{\color{#dc1400}{9x}}&=& \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{4}}& \scriptsize \mid\; :9 & \scriptsize \text{beidseitiges Dividieren durch }9 \\ \boldsymbol{\color{#dc1400}{x}}&=& \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{\dfrac{4}{9}}} & &\scriptsize \text{direktes Ablesen der Lösung} \\[5pt] \end{array}$
$ \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{2}}+\boldsymbol{\color{#dc1400}{5x}}+\boldsymbol{\color{#2D6EC8}{1}}= \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{7}}-\boldsymbol{\color{#dc1400}{x}}+\boldsymbol{\color{#dc1400}{3x}} $
2.
$\begin{array}[t]{rlll} \boldsymbol{\color{#dc1400}{4a}}+\boldsymbol{\color{#2D6EC8}{2}}&=& \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{3}}(\boldsymbol{\color{#dc1400}{a}}+\boldsymbol{\color{#2D6EC8}{1}}) & \scriptsize \mid\;\text{vereinfachen} & \scriptsize \text{vereinfachen des rechten Terms}\\ \boldsymbol{\color{#dc1400}{4a}}+\boldsymbol{\color{#2D6EC8}{2}}&=& \boldsymbol{\color{#dc1400}{3a}}+\boldsymbol{\color{#2D6EC8}{3}} & \scriptsize \mid\;-3a & \scriptsize \text{beidseitiges Subtrahieren von }3a\\ \boldsymbol{\color{#dc1400}{a}}+\boldsymbol{\color{#2D6EC8}{2}}&=& \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{3}} & \scriptsize \mid\;-2 & \scriptsize \text{beidseitiges Subtrahieren von }2\\ \boldsymbol{\color{#dc1400}{a}}&=& \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{1}} & \scriptsize & \scriptsize \text{direktes Ablesen der Lösung}\\ \end{array}$
$ \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{\frac{1}{4}}}+\boldsymbol{\color{#dc1400}{\frac{2a}{3}}}+\boldsymbol{\color{#2D6EC8}{2}}= \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{\frac{2}{4}}}+\boldsymbol{\color{#dc1400}{\frac{a}{3}}} $
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Im Einführungsskript hast du bereits gelernt, dass in einer Gleichung zwei Terme gleichgesetzt werden. In diesem Skript möchten wir dir zeigen, wie du Gleichungen selbst aufstellen und lösen kannst.

Einführung

Endlich Sommerferien! Steffi freut sich vor allem auf die erste Woche, in der sie an einem fünftägigen Theaterworkshop teilnehmen wird. Dazu muss sie jeden Tag mit der U-Bahn in die Stadt fahren und benötigt für die Hin- und Rückfahrt je ein Ticket. Außerdem will sie mit ihrer Freundin Julia ein paar Ausflüge unternehmen. Auch hier kann sie oft die U-Bahn nutzen.
Sie überlegt, ob es günstiger ist gleich zu Beginn des Monats ein Monatsticket ($45,50\,€$) oder ein Wochenticket für die Workshopwoche ($21,20\,€$) und Einzeltickets (je $2,80\,€$) für die Ausflüge zu kaufen.
Wieviele Ausflüge muss Steffi unternehmen, damit sich ein Monatsticket lohnt?

Erklärung

Um herauszufinden, wann sich ein Monatsticket für Steffi lohnt, kannst du aus den gegebenen Informationen eine Gleichung aufstellen. Auf eine Seite der Gleichung schreibst du die Kosten für ein Wochenticket und mehrere Einzeltickets und auf die andere Seite die Kosten für ein Monatsticket. Dabei führst du eine Variable, zum Beispiel $\boldsymbol{\color{#dc1400}{x}}$ ein, die für die Anzahl der Einzeltickets steht.
$\begin{array}[t]{rll} \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{21,20}}+\boldsymbol{\color{#0096c8}{2,80}} \cdot \boldsymbol{\color{#dc1400}{x}} &=& 45,50 \end{array}$
Wenn Steffi also $\boldsymbol{\color{#dc1400}{x}}$ Einzeltickets und ein Wochenticket kauft, hat sie genauso viel ausgegeben, wie wenn sie ein Monatsticket gekauft hätte. Ziel ist es jetzt den Wert für $\boldsymbol{\color{#dc1400}{x}}$ zu bestimmen. Dazu musst die die Gleichung nach $\boldsymbol{\color{#dc1400}{x}}$ auflösen.
Um eine solche Gleichung nach einer Variablen aufzulösen, führst du Rechenoperationen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens durch. Das nennt man Äquivalenzumformung. Ganz wichtig ist, dass alle Rechnungen auf beiden Seiten stattfinden. So bleibt der Wert des linken Terms gleich dem Wert des rechten Terms.
Du kannst auf beiden Seiten
  • eine Zahl oder einen Term addieren oder subtrahieren $(\;+$ oder $-\;)$,
  • mit einer Zahl ungleich Null multiplizieren oder dividieren $(\;\cdot $ oder $:\;)$
bis die Variable (z.B.  $x$) alleine auf einer Seite der Gleichung steht.
Hierbei führst du immer die Gegenoperation durch:
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{+}} \text {Zahl}$ heißt, dass du die Zahl subtrahieren musst.
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{-}} \text {Zahl}$ heißt, dass du die Zahl addieren musst.
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{\cdot}} \text {Zahl}$ heißt, dass du durch die Zahl dividieren musst.
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{:}} \text {Zahl}$ heißt, dass du mit der Zahl multiplizieren musst.
Für die oben aufgestellte Gleichung bedeutet das, dass zuerst die Zahl $\boldsymbol{\color{#2D6EC8}{21,20}}$ entfernt werden muss. Als Gegenoperation zur Addition musst du jetzt eine Subtraktion durchführen. Also rechnest du auf beiden Seiten $-\boldsymbol{\color{#2D6EC8}{21,20}}$.
Die Zahl $\boldsymbol{\color{#0096c8}{2,80}}$ entfernst du, indem du die Gegenoperation zur Multiplikation, eine Division, durchführst. Du rechnest auf beiden Seiten $:\boldsymbol{\color{#0096c8}{2,80}}$.
$\begin{array}[t]{rll} \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{21,20}}+\boldsymbol{\color{#0096c8}{2,80}} \cdot \boldsymbol{\color{#dc1400}{x}}&=& 45,50 &\quad \scriptsize \mid\; -\boldsymbol{\color{#2D6EC8}{21,20}} \\[5pt] \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{21,20}}+\boldsymbol{\color{#0096c8}{2,80}} \cdot \boldsymbol{\color{#dc1400}{x}}-\boldsymbol{\color{#2D6EC8}{21,20}}&=& 45,50-\boldsymbol{\color{#2D6EC8}{21,20}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \boldsymbol{\color{#0096c8}{2,80}}\cdot \boldsymbol{\color{#dc1400}{x}}&=&24,30 &\quad \scriptsize \mid\; :\boldsymbol{\color{#0096c8}{2,80}} \\[5pt] \boldsymbol{\color{#0096c8}{2,80}}\cdot \boldsymbol{\color{#dc1400}{x}}:\boldsymbol{\color{#0096c8}{2,80}}&=&24,30:\boldsymbol{\color{#0096c8}{2,80}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \boldsymbol{\color{#dc1400}{x}}&\approx&8,7 \end{array}$
$ \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{21,20}}+\boldsymbol{\color{#0096c8}{2,80}} \cdot \boldsymbol{\color{#dc1400}{x}}= 45,50 $
Wenn Steffi also zusätzlich zur Wochenkarte noch genau $8,7$ Einzeltickets kaufen würde, würde sie genau so viel Geld ausgeben wie für ein Monatsticket. Da nur ganze Tickets gelöst werden können, lohnt sich eine Monatskarte ab mindestens $9$ einzelnen Fahrten. Steffi muss also mindestens $5$ Ausflüge mit Hin- und Rückfahrt unternehmen, damit sich das Monatsticket lohnt.
Kannst du das noch?
1.
Vereinfache und fasse wenn möglich zusammen
b)
$1,5(4x-4)-4(5-2x)$
d)
$(-6)\cdot3y^2+63y:9-3y^2$
Lösung ein-/ausblenden
$\blacktriangleright$Zum Skript

Beispiel

Steffi und Julia fahren in die Stadt zum Shoppen. Steffi bezahlt für beide das Hin- und Rückfahrticket. Als sie in der Bahn sitzen sagt Julia: „Das passt ja perfekt, dann gebe ich dir 7€, schließlich schulde ich dir noch das Geld für den Kaffee heute morgen.“ Steffi überlegt kurz, ob Julias Überlegung stimmt, da sie nicht mehr genau weiß, was der Kaffee gekostet hat.
Um zu berechnen, wieviel ein Kaffee kostet, kannst du erneut eine Gleichung aufstellen. Steffi muss Julia das Geld für $\color{#0096C8}{2}$ Tickets zum Preis von $\boldsymbol{\color{#783C96}{2,80\,€}}$ zahlen und die Kosten für den Kaffee. Julia meint, sie käme damit auf $\boldsymbol{\color{#A0321E}{7\,€}}$. Wenn der Preis für den Kaffee unbekannt ist, kannst du ihn wieder mit einer Variablen, beispielsweise $\boldsymbol{\color{#FA7D19}{y}}$ bezeichnen. Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \boldsymbol{\color{#0096C8}{2}} \cdot \boldsymbol{\color{#783C96}{2,8}} + \boldsymbol{\color{#FA7D19}{y}}&=& \boldsymbol{\color{#A0321E}{7}} \end{array}$
Die Gleichung kannst du zunächst vereinfachen:
$\begin{array}[t]{rll} 5,6 + \boldsymbol{\color{#FA7D19}{y}}&=& \boldsymbol{\color{#A0321E}{7}} \end{array}$
Damit $\boldsymbol{\color{#FA7D19}{y}}$ alleine steht, muss $5,6$ auf die andere Seite der Gleichung gebracht werden. Hierbei kannst du wieder die Gegenoperation anwenden. Da zwischen der 5,60€ und der Variablen ein + steht, musst du also auf beiden Seiten 5,60€ subtrahieren, um auf die Lösung für $\boldsymbol{\color{#FA7D19}{y}}$ zu kommen.
$\begin{array}[t]{rll} 5,6 + \boldsymbol{\color{#FA7D19}{y}}&=& \boldsymbol{\color{#A0321E}{7}} &\quad \scriptsize \mid\; -5,6 \\[5pt] 5,6 + \boldsymbol{\color{#FA7D19}{y}}-5,6&=& \boldsymbol{\color{#A0321E}{7}}-5,6 &\quad \scriptsize \\[5pt] \boldsymbol{\color{#FA7D19}{y}}&=& 1,40 \end{array}$
$ 5,6 + \boldsymbol{\color{#FA7D19}{y}}= \boldsymbol{\color{#A0321E}{7}} $
Steffi sagt, dass der Kaffee dann 1,40€ gekostet haben muss. Julia gibt ihr Recht und gibt ihrer Freundin 7€.
Nachdem du einfache Gleichungen lösen kannst, geht es hier direkt zu den Aufgaben, oder du machst mit Gleichungen mit Klammern weiter.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Aufgaben
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1.
Löse die Gleichungen durch Äquivalenzumformungen.
b)
$53+2y=169$
d)
$2x+16=116$
f)
$44+4a=20$
h)
$115= 11 +8b$
2.
Bestimme den Wert der Variablen $x$.
b)
$10x-4=26$
d)
$47=5x-8$
f)
$\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}=2$
h)
$\frac{1}{6}x-\frac{2}{3}=4$
3.
Fasse zuerst zusammen und bestimme dann den Wert der Variablen.
b)
$174=23s-20+13s+14$
d)
$27 = 49x-13+x-10$
f)
$83=4b+17+3b+24$
h)
$230 = 17x-31-26x+9$
4.
Vereinfache zuerst beide Seiten und bestimme dann den Wert der Variablen.
b)
$10x-26+2x=33-17+5x$
d)
$40x+1-27=21x+16-2x$
f)
$17x-3+7x=20x+6-21$
h)
$9v+16v-10 = 15-26v+26$
5.
Zeige, dass die beiden Gleichungen äquivalent zueinander sind.
b)
$-2x+1=0\;$ und $\;10x+8=13$
d)
$6y-y+20=y\;$ und $\;3y+3=-12$
f)
$24t+5-18t=23\;$ und $\;\frac{1}{6}t=\frac{1}{2}$
h)
$6v=-\frac{6}{5}\;$ und $\;6=15v+14+25v$
6.
Berechne den Preis.
7.
Finde die gesuchte Zahl.
8.
Bestimme die Anzahl der Monate.
Max hat zu seinem Geburtstag $500\,€$ bekommen und damit ein Girokonto eröffnet. Auf seinem Sparbuch hatte er zusätzlich noch $300\,€$.
Jetzt möchte sich Max ein neues Handy für $400\,€$ kaufen und einen neuen Handyvertrag abschließen. Für den Handyvertrag muss er künftig $20\,€$ pro Monat bezahlen.
Nach wie vielen Monaten hat Max weniger als $100\,€$ auf dem Konto?
9.
Innenwinkelsumme eines $n$-Ecks
Ein $n$-Eck ist eine Fläche mit $n$ Ecken. Stelle eine Gleichung zur Bestimmung der Innenwinkelsumme in einem $n$-Eck auf. Wieviele Ecken hat ein $n$-Eck mit der Innenwinkelsumme $720 ^\circ$, wie viel eines mit $1.080^\circ$?
10.
Modellierungsaufgabe: Niederschlag und Abfluss
Woche 1Woche 2 Woche 3 Woche 4
Niederschlag in mm$25\,\text{mm}$$9\,\text{mm}$ $60\,\text{mm}$ $11\,\text{mm}$
Zu Beginn des Monats ist das Becken kommplett leer und pro Woche werden $10\,\text{Mio. Liter}$ in einen Fluss geleitet.
Wie viele Liter Wasser befinden sich am Ende des Monats in dem Auffangbecken?
Das Auffangbecken fasst $50\,\text{Mio. Liter}$. Reicht das aus, um die Wassermassen aufzufangen? Wenn nicht, wie könnte die Stadt reagieren?
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.
Die Gleichungen lösen
b)
$\begin{array}[t]{rllllllll} 53+2y&=&169&& \mid\; -53\\ 2y&=&116& &\mid\; :2\\ y&=&58 %Text bitte zwischen () statt nach \mid\; schreiben \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rlll} 2x+16&=&116& \mid\; -16\\ 2x&=&100& \mid\;\;:2\\ x&=&50%Text bitte zwischen () statt nach \mid\; schreiben \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rlll} 44+4a&=&20& \mid\; -44\\ 4a&=&-24& \mid\;\;:4\\ a&=&-6 \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{rll} 115&=&11+8b& \mid\; -11\\ 104&=&8b& \mid\;\;:8\\ 13&=&b \end{array}$
2.
Den Wert von $\boldsymbol{x}$ bestimmen
b)
$\begin{array}[t]{rlll} 10x-4&=&26& \mid\; +4\\ 10x&=&30& \mid\;\;:10\\ x&=&3%Text bitte zwischen () statt nach \mid\; schreiben \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rlll} 47&=&5x-8& \mid\; +8\\ 55&=&5x& \mid\;\;:5\\ 11&=&x%Text bitte zwischen () statt nach \mid\; schreiben \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rlll} \frac{1}{4}x-\frac{1}{2}&=&2& \mid\; +\frac{1}{2}\\ \frac{1}{4}x&=&\frac{5}{2}& \mid\;\;:\frac{1}{4}\\ x&=&10 \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{rllll} \frac{1}{6}x-\frac{2}{3}&=&4& \mid\; \cdot 6\\ 1x - 4&=&24& \mid\; +4\\ x&=&28 \end{array}$
3.
Zusammenfassen und den Wert der Variablen bestimmen
a)
$\begin{array}[t]{rllll} 5y-20-2y+20&=&150&&& \small{\text{zusammenfassen}}\\ 3y&=&150&&& \mid\;\;:3\\ y&=&50%Text bitte zwischen () statt nach \mid\; schreiben \end{array}$
$ 5y-20-2y+20=150$
b)
$\begin{array}[t]{rllll} 174&=&23s-20+13s+14&& \small{\text{zusammenfassen}}\\ 174&=&36s-6&& \mid\; +6\\ 180&=&36s&& \mid\;\;:36\\ 5&=&s \end{array}$
$174=23s-20+13s+14$
c)
$\begin{array}[t]{rlll} 5+3t-10+9t&=&31&& \small{\text{zusammenfassen}}\\ -5+12t&=&31&& \mid\; +5\\ 12t&=&36&& \mid\;\;:12\\ t&=&3 \end{array}$
$5+3t-10+tx=31$
d)
$\begin{array}[t]{rllll} 27&=&49x-13+x-10&& \small{\text{zusammenfassen}}\\ 27&=&50x-23&& \mid\; +23\\ 50&=&50x&& \mid\;\;:50\\ 1&=&x \end{array}$
$27=49x-13+x-10$
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}ll} 7a+54-9a-22&=&178&& \small{\text{zusammenfassen}}\\ -2a+32&=&178&& \mid\; -32\\ -2a&=&146&& \mid\;\;:(-2)\\ a&=&-73 \end{array}$
$7a+54-9a-22=178$
f)
$\begin{array}[t]{rllll} 83&=&4b+17+3b+24&& \small{\text{zusammenfassen}}\\ 83&=&7b+41&& \mid\; -41\\ 42&=&7b&& \mid\;\;:7\\ 6&=&b \end{array}$
$83=4b+17+3b+24$
g)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}ll} 13x-7-4x+25&=&63&& \small{\text{zusammenfassen}}\\ 9x+18&=&63&& \mid\; -18\\ 9x&=&45&& \mid\;\;:9\\ x&=&5 \end{array}$
$13x-7-4x+25=63$
h)
$\begin{array}[t]{rllll} 230&=&17x-31-26x+9&& \small{\text{zusammenfassen}}\\ 230&=&-9x-22&& \mid\; +22\\ 252&=&-9x&& \mid\;\;:(-9)\\ -28&=&x \end{array}$
$230=17x-31-26x+9$
4.
Zusammenfassen und die Gleichung nach der Variablen auflösen
a)
$\begin{array}[t]{rlll} 5x-5+3&=&2x-6+5x&& \small{\text{zusammenfassen}}\\%Text bitte zwischen () statt nach \mid\; schreiben 5x-2&=&7x-6&& \mid\; -7x\\ -2x-2&=&-6&& \mid\; +2\\ -2x&=&-4&& \mid\;\;:(-2)\\ x&=&2 \end{array}$
$5x-5+3=2x-6+5x$
b)
$\begin{array}[t]{rlll} 10x-26+2x&=&33-17+5x&& \small{\text{zusammenfassen}}\\%Text bitte zwischen () statt nach \mid\; schreiben 12x-26&=&16+5x&& \mid\; -5x\\ 7x-26&=&16&& \mid\; +26\\ 7x&=&42&& \mid\;\;:7\\ x&=&6 \end{array}$
$10x-26+2x=33-17+5x$
c)
$\begin{array}[t]{rlll} 56-3x+6x&=&71+41-5x&& \small{\text{zusammenfassen}}\\%Text bitte zwischen () statt nach \mid\; schreiben 56+3x&=&112-5x&& \mid\; +5x\\ 56+8x&=&112&& \mid\; -56\\ 8x&=&56&& \mid\;\;:8\\ x&=&7 \end{array}$
$56-3x+6x=71+41-5x$
d)
$\begin{array}[t]{rlll} 40x+1-27&=&21x+16-2x&& \small{\text{zusammenfassen}}\\%Text bitte zwischen () statt nach \mid\; schreiben 40x-26&=&19x+16&& \mid\; -19x\\ 21x-26&=&16&& \mid\; +26\\ 21x&=&42&& \mid\;\;:21\\ x&=&2 \end{array}$
$40x+1-27=21x+16-2x$
e)
$\begin{array}[t]{rlll} 89-45+19x&=&24x+4+25&& \small{\text{zusammenfassen}}\\%Text bitte zwischen () statt nach \mid\; schreiben 44+19x&=&24x+29&& \mid\; -24x\\ 44-5x&=&29&& \mid\; -44\\ -5x&=&-15&& \mid\;\;:(-5)\\ x&=&3 \end{array}$
$89-45+19x=24x+4+25$
f)
$\begin{array}[t]{rlllll} 17x-3+7x&=&20x+6-21&& \small{\text{zusammenfassen}}\\ 24x-3&=&20x-15&& \mid\; -20x\\ 4x-3&=&-15&& \mid\; +3\\ 4x&=&-12&& \mid\;\;(4)\\ x&=&-3&\end{array}$
$17x-3+7x=20x+6-21$
g)
$\begin{array}[t]{rlllll} 36u-12+2u&=&148+7u-5&& \small{\text{zusammenfassen}}\\ 38u-12&=&143+7u&& \mid\; -7u\\ 31u-12&=&143&& \mid\; +12\\ 31u&=&155&& \mid\;\;:31\\ u&=&5 \end{array}$
$36u-12+2u=148+7u-5$
h)
$\begin{array}[t]{rlllll} 9v+16v-10&=&15-26v+26&& \small{\text{zusammenfassen}}\\ 25v-10&=&41-26v&& \mid\; +26v\\ 51v-10&=&41&& \mid\; +10\\ 51v&=&51&& \mid\;\;:51\\ v&=&1 \end{array}$
$9v+16v-10=15-26v+26$
5.
Äquivalenz zeigen
Um die Äquvalenz der beiden Gleichungen zu zeigen, musst die sie nach der Variablen auflösen. Hat diese in beiden Gleichungen den gleichen Wert, sind die Gleichungen äquivalent.
Alternativ kannst du auch nur eine Gleichung auflösen und den Wert der Variablen in die zweite Gleichung einsetzen. Entsteht eine wahre Aussage, sind die Gleichungen äquivalent.
a)
$\begin{array}[t]{rlllll} x-\frac{4}{3}&=&0& \mid\; +\frac{4}{3}\\ x&=&\frac{4}{3} \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rlllll} 10x+8&=&13& \mid\; -8\\ 10x&=&5& \mid\;\;:10\\ x&=&\frac{1}{2} \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rlllll} 3b&=&\frac{3}{2}& \mid\; :3\\ b&=&\frac{1}{2} \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rlllll} 3y+3&=&-12& \mid\; -3\\ 3y&=&-15& \mid\; :3\\ y&=&-5& \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{rlllll} 2x&=&10+x& \mid\; -x\\ x&=&10& \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rlllll} \frac{1}{6}t&=&\frac{1}{2}& \mid\; \cdot 6\\ t&=&3& \end{array}$
g)
$\begin{array}[t]{rlllll} 35&=&5+2a& \mid\; -5\\ 30&=&2a& \mid\; :2\\ 15&=&a& \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{r@{ = }lll@{\hspace{1cm}}l} 6&=&15v+14+25v& \\ 6&=&40v+14& \mid\; -14\\ -8&=&40v& \mid\; :40\\ -\frac{8}{40}&=&v \\ -\frac{1}{5}&=&v \end{array}$
6.
Stelle für jede Aufgabe eine Gleichung auf und löse sie.
a)
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot x&=& 5,00 - 3,40 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 2\cdot x&=& 1,60 &\quad \scriptsize \mid\; \; :2 \\[5pt] x&=& 0,80 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Eine Kugel Eis kostet $80\,$Cent.
b)
$\begin{array}[t]{rll} 1,20+2y&=& 10-5,14 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 1,20 +2\cdot y&=& 4,86 &\quad \scriptsize \mid\; \ -1,20 \\[5pt] 2\cdot y&=&3,66 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] y&=&1,83 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Ein Liter Milch kostet $1,83\,€$.
7.
Die Zahlenrätsel lösen
a)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„…Wenn du zu der Zahl die Hälfte von 16 addierst“ $x+8$
„… erhältst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…das Dreifache der gesuchten Zahl“ $3x$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{rlllll} x+8&=&3x&& \mid\;-x\\[5pt] 8&=&2x&& \mid\;:2\\[5pt] x&=&4 \end{array}$
b)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Wenn du $24$“ $24$
„…von der Hälfte der Zahl subtrahierst“ $0,5x-24$
„…so erhältst du…“ $=$
„Wenn du $24$“ $24$
„…von der Hälfte
der Zahl subtrahierst“ $0,5x-24$
„… erhältst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…die Differenz aus der Zahl“ $x\;-$
„…und $54$“ $x-54$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{rlllll} 0,5x-24&=&x-54&& \mid\;-x\\[5pt] -0,5x-24&=&-54&& \mid\;+24\\[5pt] -0,5x&=&-30&& \mid\;:(-0,5)\\[5pt] x&=&60 \end{array}$
$ 0,5x-24 = x-54 $
c)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Wenn du zum Fünffachen der gesuchten Zahl“ $5x$
„…$4$ addierst“ $5x+4$
„…bekommst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…das Sechsfache der Zahl“ $6x$
„…vermindert um $8$“ $6x-8$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{rlllll} 5x+4&=&6x-8&& \mid\;-5x\\[5pt] 4&=&x-8&& \mid\;+8\\[5pt] x&=&12 \end{array}$
d)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Subtrahierst du von $120$“ $120\;-$
„…das Zehnfache einer Zahl“ $120-10x$
„…addierst dann das Fünffache der gleichen Zahl“ $120-10x+5x$
„… erhältst du…“ $=$
„Subtrahierst du von $120$“ $120\;-$
„…das Zehnfache einer Zahl“ $120-10x$
„…addierst du dann das $120-10x$
Fünffache der gleichen Zahl“ $+5x$
„… erhältst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…die Differenz aus der gesuchten Zahl“ $x\;-$
„…und $15$“ $x-15$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{rlllll} 120-10x+5x&=&x-15&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 120-5x&=&x-15&& \mid\;+5x\\[5pt] 120&=&6x-15&& \mid\;+15\\[5pt] 135&=&6x&& \mid\;:6\\[5pt] x&=&22,5 \end{array}$
$ 120-10x+ … $
e)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Wenn du zum vierten Teil der gesuchten Zahl“ $\dfrac{1}{4}x$
„…$14$ addierst“ $\dfrac{1}{4}x+14$
„…erhältst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…das Dreifache einer Zahl“ $3x$
„…vermindert um $8$“ $3x-8$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{rlllll} \dfrac{1}{4}x+14&=&3x-8&& \mid\;\cdot 4\\[5pt] \dfrac{1\cdot \color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}{4}}x+14\cdot 4&=&3x\cdot 4-8\cdot 4&&\small{\text{kürzen}}\\[5pt] x+56&=&12x-32&& \mid\;-x\\[5pt] 56&=&11x-32&& \mid\;+32\\[5pt] 88&=&11x&& \mid\;:11\\[5pt] x&=&8 \end{array}$
$ \dfrac{1}{4}x+14 = 3x-8 $
f)
1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„…Addierst du zu $45$“ $45\;+$
„…den dritten Teil einer Zahl“ $45+\dfrac{1}{3}x$
„… erhältst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…Produkt aus $7$ und $9$“ $63$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{rlllll} 45+\dfrac{1}{3}x&=&63&& \mid\;\cdot 3\\[5pt] 45\cdot 3+\dfrac{1\cdot \color{#87c800}{3}}{\color{#87c800}{3}}x&=&63\cdot 3&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 135+x&=&189&& \mid\;-135\\[5pt] x&=&54 \end{array}$
$ 45+\dfrac{1}{3}x = 63 $
8.
Bestimme die Anzahl der Monate.
Um auf die Anzahl der Monate zu kommen, musst du herausfinden, in welchem Monat Max erstmals weniger als $100€$ hat.
Das kannst du ausrechnen, indem du eine Gleichung mit allen Einnahmen und Ausgaben aufstellst. Die Anzahl der Monate musst du dabei mit einer Variablen, zum Beispiel $m$, angeben.
$\begin{array}[t]{rll} 500+300-400-20m&=& 100&\quad \\[5pt] 400-20m&=& 100 &\quad \scriptsize \mid\;- 400 \\[5pt] -20m&=& -300 &\quad \scriptsize \mid\;\; :-20 \\[5pt] m&=& 15 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Nach 15 Monaten hat Max also noch genau $100€$. Das heißt, dass er nach $16$ Monaten erstmals weniger als $100€$ hat.
9.
Innenwinkelsumme eines $n$-Eck
Schreibe dir zuerst die Innenwinkelsumme für kleine $n$ auf. Da es kein Vieleck mit $n=1$ und $n=2$ geben kann, beginnst du mit $n=3$.
$n$InnenwinkelsummeBerechnung
$3$$180^\circ$$1\cdot 180^\circ$
$4$$360^\circ$$2\cdot 180^\circ$
$5$$540^\circ$$3\cdot 180^\circ$
$6$$720^\circ$$4\cdot 180^\circ$
In der Tabelle kannst du erkennen, dass immer $180^\circ$ pro Ecke hinzu kommen. Da dies aber erst ab $n=3$ stimmt, ergibt sich die Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Innenwinkelsumme}&=&(n-2)\cdot 180^\circ &\quad \scriptsize\; \\[5pt] \end{array}$
Um zu wissen, welches $n$-Eck zur Innenwinkelsumme $720^\circ$ ($1080^\circ$) gehört, kannst du deine aufgestellte Gleichung nutzen:
$\begin{array}[t]{rll} 720^\circ&=&(n-2)\cdot 180^\circ &\quad \scriptsize \mid\; :180 \\[5pt] 4&=& n-2 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] n&=& 6 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 1080^\circ&=&(n-2)\cdot 180^\circ &\quad \scriptsize \mid\; :180 \\[5pt] 6&=& n-2 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] n&=& 8 \end{array}$
Ein $n$-Eck mit der Innenwinkelsumme $720^\circ$, hat 6 Ecken. Eins mit $1080^\circ$ hat $8$ Ecken.
10.
Modellierungsaufgabe: Niederschlag und Abfluss
Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine Modellierungsaufgabe, welche man über verschiedene Wege lösen kann. Wie hast du die Aufgabe gelöst? Wir freuen uns über deinen Lösungsweg!
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