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Stauchung und Streckung

Spickzettel
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Wenn wir die Parabel mit der Funktionsgleichung $y=ax^2$ mit der Normalparabel (Funktionsgleichung $y=x^2$) vergleichen, dann wurde sie gestreckt oder gestaucht. Wir nennen den Faktor $a$ Streckfaktor. Es gilt:
  • $\vert a \vert>1:$ Die Parabel ist schmaler als die Normalparabel, also in y-Richtung gestreckt.
  • $\vert a \vert<1:$ Die Parabel ist breiter als die Normalparabel, also in y-Richtung gestaucht.
  • $a$ positiv: Die Parabel ist nach oben geöffnet.
  • $a$ negativ: Die Parabel ist nach unten geöffnet, wurde also an der x-Achse gespiegelt.
Gleiches gilt auch für alle anderen Parabeln. Durch einen Faktor $a$ vor dem gesamten Funktionsterm, wird die ursprüngliche Parabel nach dem obigen Muster gestreckt bzw. gestaucht.

Beispiele

2.
$\begin{array}[t]{lll} \text{Streckfaktor:}& a=\dfrac{1}{2}\\ \text{Funktionsgleichung:}& y=\dfrac{1}{2}x^2 \end{array}$
Quadratische Funktionen: Stauchung und Streckung
Quadratische Funktionen: Stauchung und Streckung
$\begin{array}[t]{lll} \text{Streckfaktor:}& …\\ \text{Funktionsgleichung:}& … \end{array}$
Stauchung in y-Richtung
4.
$\begin{array}[t]{lll} \text{Streckfaktor:}& a=-\dfrac{1}{4}\\ \text{Funktionsgleichung:}& y=-\dfrac{1}{4}x^2 \end{array}$
Quadratische Funktionen: Stauchung und Streckung
Quadratische Funktionen: Stauchung und Streckung
$\begin{array}[t]{lll} \text{Streckfaktor:}& …\\ \text{Funktionsgleichung:}& … \end{array}$
Stauchung in y-Richtung,
Spiegelung an der x-Achse
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Aufgaben
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1.
Graphen zeichnen
Zeichne die Normalparabel mit $y=x^2$ in ein Koordinatensystem. Zeichne die Graphen der Funktionen mit $y=0,5x^2$, $y=3x^2$ und $y=-1,5x^2$ ein.
2.
Funktionsgleichungen bestimmen
Bestimme die Funktionsgleichungen der Parabeln mit der allgemeinen Funktionsgleichung $y=ax^2$.
Quadratische Funktionen: Stauchung und Streckung
Quadratische Funktionen: Stauchung und Streckung
3.
Funktionsgleichung bestimmen
Bestimme den Faktor $a$ so, dass der Graph der Funktion mit $y=ax^2$ durch den Punkt $P$ verläuft.
b)
$P(3\mid36)$
d)
$P(2\mid-3)$
4.
Vergleich mit Normalparabel
Beschreibe in Worten, wie die Parabeln aus der Normalparabel mit $y=x^2$ hervorgehen. Der Punkt $A(3|9)$ liegt auf der Normalparabel. Welchen y-Wert nehmen die Parabeln jeweils an der Stelle $x=3$ an? Ist er kleiner oder größer als bei der Normalparabel?
b)
$y=0,5x^2$
d)
$y=-0,25x^2$
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Lösungen
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1.
Graphen zeichnen
Um die Funktionen zu zeichnen, musst du dir überlegen was der Faktor $a$ bewirkt. Ist dieser zwischen $0$ und $1$ bzw. zwischen $-1$ und $0$, so ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel in y-Richtung gestaucht. Für $a>1$ und $a<-1$ ist die Parabel in y-Richtung gestreckt. Durch das Vorzeichen $-$ ist die Parabel an der x-Achse gespiegelt, also nach unten geöffnet.
Quadratische Funktionen: Stauchung und Streckung
Quadratische Funktionen: Stauchung und Streckung
2.
Funktionsgleichungen bestimmen
  • $\;$ Parabel $A$:
    Ansatz: $y=ax^2$
    Du kannst den Punkt $(1\mid2)$ der Parabel ablesen. Jetzt setzt du den x- und y-Wert in den Ansatz ein:
    $\begin{array}[t]{rll} 2=&a\cdot1^2&\quad\\ a=&2\\ \end{array}$
    Damit erhältst du die Funktionsgleichung $y=2x^2$.
  • $\;$ Parabel $B$:
    Ansatz: $y=ax^2$
    Du kannst den Punkt $(5\mid5)$ der Parabel ablesen. Einsetzen ergibt
    $\begin{array}[t]{rll} 5=&a\cdot5^2&\quad\\ 5=&25a&\quad \mid\;:25\\ a=&0,2&\quad \\ \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} 5=&a\cdot5^2&\quad\\ 5=&25a&\quad \\ a=&0,2&\quad \\ \end{array}$
    Damit erhältst du die Funktionsgleichung $y=0,2x^2$.
  • $\;$ Parabel $C$:
    Ansatz: $y=ax^2$
    Du kannst den Punkt $(2\mid-2)$ der Parabel ablesen. Einsetzen ergibt
    $\begin{array}[t]{rll} -2=&a\cdot2^2&\quad\\ -2=&4a&\quad \mid:4\\ a=&-\dfrac{1}{2}&\quad \\ \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} -2=&a\cdot2^2&\quad\\ -2=&4a&\\ a=&-\dfrac{1}{2}&\quad \\ \end{array}$
    Damit erhältst du die Funktionsgleichung $y=-\dfrac{1}{2}x^2$.
3.
Funktionsgleichung bestimmen
a)
Einsetzen der Koordinaten von $P(-2\mid 10)$ in $y=ax^2$
$\begin{array}[t]{rll} 10=&a\cdot (-2)^2&\quad\\ 10=&4a&\quad \mid\;:4\\ a=&\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}=2,5 \\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} a=&2,5 \\ \end{array}$
Damit ergibt sich die Funktionsgleichung $y=2,5x^2$.
b)
Einsetzen der Koordinaten von $P(3\mid36)$ in $y=ax^2$
$\begin{array}[t]{rll} 36=&a\cdot 3^2&\quad\\ 36=&9a&\quad \mid:9\\ a=&4 \\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} a=&4 \\ \end{array}$
Damit ergibt sich die Funktionsgleichung $y=4x^2$.
c)
Einsetzen der Koordinaten von $P(5\mid-6,25)$ in $y=ax^2$
$\begin{array}[t]{rll} -6,25=&a\cdot 5^2&\quad\\ -6,25=&25a&\quad \mid\;:25\\ a=&-0,25 \\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} a=&-0,25 \\ \end{array}$
Damit ergibt sich die Funktionsgleichung $y=-0,25x^2$.
d)
Einsetzen der Koordinaten von $P(2\mid-3)$ in $y=ax^2$
$\begin{array}[t]{rll} -3=&a\cdot2^2&\quad\\ -3=&4a&\quad \mid\;:4\\ a=&-\dfrac{3}{4}=-0,75 \\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} a=&-0,75 \\ \end{array}$
Damit ergibt sich die Funktionsgleichung $y=-0,75x^2$.
4.
Vergleich mit Normalparabel
a)
Die Parabel mit $y=-x^2$ geht aus der Normalparabel hervor, indem man sie an der $x$-Achse spiegelt. Dann ist sie nach unten geöffnet. An der Stelle $x=3$ nimmt die Parabel den Wert $y=-9$ an. Dieser Wert ist kleiner als bei der Normalparabel.
b)
Die Parabel mit $y=0,5x^2$ ist um den Faktor $a=0,5$ in y-Richtung gestaucht. Dies bedeutet, dass die $y$-Werte bei gleichem $x$ kleiner sind (nämlich genau die Hälfte). Der $y$-Wert an der Stelle $x=3$ ist somit kleiner als 9 (nämlich 4,5).
c)
Die Parabel mit $y=2x^2$ ist um den Faktor $a=2$ in y-Richtung gestreckt. Dies bedeutet, dass die $y$-Werte bei gleichem $x$ größer sind (nämlich genau doppelt so groß). Der $y$-Wert an der Stelle $x=3$ ist somit größer als 9 (nämlich 18).
d)
Die Parabel mit $y=-0,25x^2$ ist um den Faktor $a=0,25$ in y-Richtung gestaucht. Außerdem ist die Parabel an der x-Achse gespiegelt und somit nach unten geöffnet. Der $y$-Wert an der Stelle $x=3$ ist somit kleiner als $9$.
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