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Quadrat
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Senkrechte
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Potenzen
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Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
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Zinseszins
Vermischte Aufgaben

Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.
Ordne den Graphen $A$, $B$, $C$, $D$ und $E$ die passende Funktionsgleichung zu. Begründe kurz deine Entscheidung.
$y=2x^2-1$
$y=-(x-2)^2$
$y=(x+3)^2-3$
$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+4$
$y=-x^2-1$
2.
Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel und beschreibe wie die Parabel durch Verschiebung und Streckung aus $y=x^2$ hervorgeht.
b)
$y=-x^2+2$
d)
$y=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-1$
f)
$y=(x+3)^2+\dfrac{1}{2}$
h)
$y=-3(x-1)^2-1$
3.
Bestimme jeweils die Funktionsgleichung.
a)
Die Normalparabel wird um zwei Einheiten nach rechts und drei Einheiten nach unten verschoben.
b)
Die Normalparabel wird um vier Einheiten nach links und zwei Einheiten nach oben verschoben. Die neue Parabel ist nach unten geöffnet.
4.
Bestimme jeweils die Funktionsgleichung.
a)
Die Normalparabel wird um $0,5$ Einheit nach links und eine Einheit nach unten verschoben. Sie geht durch den Punkt $(0,5\mid2)$.
b)
Die Normalparabel wird fünf Einheiten nach rechts verschoben. Sie geht durch die Punkte $(5\mid1)$ und $(3\mid-7)$.
5.
Bestimme die Funktionsgleichungen der drei Parabeln.
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
6.
Das Foto zeigt den Triumphbogen in Paris. Der Gewölbebogen kann annähernd durch eine Parabel beschrieben werden.
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
a)
In wie viel Metern Höhe setzt der Gewölbebogen am Punkt $P$ an?
b)
Wie hoch und wie breit ist der Triumphbogen insgesamt? Wie breit ist der Durchgang?
c)
Die Parabel die den Gewölbebogen beschreibt hat ihren Scheitelpunkt bei $S(22,5\mid30)$. Wie hoch ist der höchste Punkt des Gewölbebogens? Bestimme eine Funktionsgleichung der Parabel.
d)
Berechne die Länge der Strecke $\overline{PS}$. Notiere deine Rechnung.
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
e)
Der Gewölbebogen wird durch die Parabel $y=-\dfrac{1}{2}x^2+3x-0,5$ beschrieben. Bestimme den höchsten Punkt des Gewölbebogens.
f)
Wie breit ist der Gewölbebogen, wenn er in einer Höhe von $2$m ansetzt?
7.
Die zwei Funktionen $g$: $y=10x-20$ und $h$: $y=-0,25x^2+100$ beschreiben die Gewinne $y$ in Tausend Euro zweier Unternehmen in Abhängigkeit der Zeit $x$ in Monaten.
a)
Welche Gewinne haben die zwei Unternehmen nach 6 Monaten? Zu welchem Zeitpunkt haben die Unternehmen keinen Gewinn erwirtschaftet?
b)
Folgende Aussage hat der Geschäftsführer einer der beiden Unternehmen getroffen:
“Nach ein paar schwierigen Monaten haben wir uns gut erholt. Jeden Monat verbuchen wir nun einen konstanten Zuwachs an Gewinnen. Ich stimme mich positiv zur Zukunft unseres Unternehmens.”
Welche Funktion passt zu dieser Aussage? Was würdest du als Geschäftsführer des anderen Unternehmens sagen?
c)
Wann ist der erwirtschaftete Gewinn der beiden Unternehmen gleich? Wie hoch ist dieser Gewinn?
8.
Die Länge des Bremswegs eines Fahrzeugs kann näherungsweise mit der Faustformel $y=a\cdot x^2$ berechnet werden. Folgende Messungen wurden für drei verschiedene PKWs durchgeführt.
Geschwindigkeit $v$ PKW A (Bremsweg) PKW B (Bremsweg) PKW C (Bremsweg)
50 10 m 12,5 m 7,5 m
60 14,4 m 18 m 10,8 m
80 25,6 m 32 m 19,2 m
100 40 m 50 m 30 m
Geschwindigkeit $v$ PKW A (Bremsweg)
50 10 m
60 14,4 m
80 25,6 m
100 40 m
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
a)
Welcher Bremsweg der drei PKWs aus der Tabelle oben wurde in diesem Graph dargestellt? Begründe deine Wahl.
b)
Der PKW aus dem Graph fährt in einer Ortschaft. In 30 m Entfernung sieht er ein Kind auf die Straße laufen. Er bremst sofort. Bei welcher Geschwindigkeit ist ein Unfall auszuschließen? Begründe.
c)
In der Situation aus Teilaufgabe b) fährt der Fahrer des PKWs nun $50\frac{\text{km}}{\text{h}}$. In der Entfernung von 30m sieht er ein Kind auf die Straße laufen. Nach einer Reaktionszeit von $1$ s bremst der Fahrer. Kommt das Auto noch rechtzeitig zum Stoppen? Begründe mithilfe des Graphen.
d)
Berechne den Bremsfaktor $a$ aus der Faustformel $y=a\cdot x^2$ mithilfe der Werte aus der Tabelle für den PKW A und B. Welchen Wert erwartest du für den Bremsfaktor $a$ des PKWs C?
e)
Der Bremsfaktor $a$ ist Abhängig von der Bremsleistung des PKWs und der Beschaffenheit der Straße. In der Messung oben in der Tabelle fuhren alle PKWs auf einer trockenen Straße. Wie würde sich der Bremsfaktor $a$ bei einer nassen Straße bzw. bei Glatteis ändern? Begründe. Zeichne ohne weitere Rechnung für den PKW im Koordinatensystem oben, einen Graph für das Bremsen bei Glatteis ein.
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Lösungen
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1.
Graph $A$ und $B$
Beide Graphen schneiden die $y$-Achse im Punkt $(0\mid -1)$. Damit kommen nur die Funktionsgleichungen $y=2x^2-1$ und $y=-x^2-1$. Der Graph $A$ ist nach unten geöffnet. Damit gilt $A$ $\Longrightarrow\;$$y=-x^2-1$ und $B$ $\Longrightarrow\;y=2x^2-1$.
Graph $E$
Graph $E$ liegt auf der $x$-Achse. Der Scheitelpunkt ist $(2\mid 0)$. Daraus folgt $n=0$.
Damit gilt $E$ $\Longrightarrow\;$$y=-(x-2)^2$.
Graph $C$
Der Scheitelpunkt liegt bei $(-1\mid 4)$ und die Parabel ist nach unten geöffnet.
Damit gilt $C$ $\Longrightarrow\;$$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+4$.
Graph $D$
Der Scheitelpunkt liegt bei $(-3\mid -3)$. Damit gilt $D$ $\Longrightarrow\;$$y=(x+3)^2-3$
2.
a)
$y=x^2-1$
Der Scheitelpunkt ist $S(0\mid -1)$. Ausgehend von $y=x^2$ ist diese Parabel um eine Einheit nach unten verschoben.
b)
$y=-x^2+2$
Der Scheitelpunkt ist $S(0\mid 2)$. Ausgehend von $y=x^2$ ist die Parabel um $2$ Einheiten nach oben verschoben. Außerdem ist sie nach unten geöffnet.
c)
$y=(x-2)^2+1$
Der Scheitelpunkt ist $S(2\mid 1)$. Ausgehend von $y=x^2$ ist diese Parabel um zwei Einheiten nach rechts verschoben und eine Einheit nach oben.
d)
$y=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-1$
Der Scheitelpunkt ist $S\left(\dfrac{1}{2}\mid -1\right)$. Ausgehend von $y=x^2$ ist diese Parabel um $0,5$ Einheiten nach rechts verschoben und eine Einheit nach unten. Die Parabel ist nach unten geöffnet.
e)
$y=\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2$
Der Scheitelpunkt ist $S\left(-\dfrac{1}{4}\mid 0\right)$. Ausgehend von $y=x^2$ ist diese Parabel um $\dfrac{1}{4}$ Einheiten nach links verschoben.
f)
$y=(x+3)^2+\dfrac{1}{2}$
Der Scheitelpunkt ist $S\left(-3\mid \dfrac{1}{2}\right)$. Ausgehend von $y=x^2$ ist diese Parabel um $3$ Einheiten nach links und $0,5$ Einheiten nach oben verschoben.
g)
$y=\dfrac{1}{2}(x+2)^2+4$
Der Scheitelpunkt ist $S(-2\mid 4)$. Ausgehend von $y=x^2$ ist diese Parabel um $2$ Einheiten nach links und um $4$ Einheiten nach oben verschoben. Außerdem ist die Parabel um den Faktor $\dfrac{1}{2}$ gestaucht.
h)
$y=-3(x-1)^2-1$
Der Scheitelpunkt ist $S(1\mid -1)$. Ausgehend von $y=x^2$ ist die Parabel um $1$ Einheit nach rechts und $1$ Einheit nach unten verschoben. Außerdem ist sie um den Faktor $3$ gestreckt und nach unten geöffnet.
3.
a)
Zwei Einheiten nach rechts verschieben $\Longrightarrow$ $y=(x-2)^2$. Drei Einheiten nach unten verschieben $\Longrightarrow$ $y=(x-2)^2-3$.
b)
Vier Einheiten nach links verschieben $\Longrightarrow$ $y=(x+4)^2$. Zwei Einheiten nach oben verschieben $\Longrightarrow$ $y=(x+4)^2+2$. Die Parabel ist nach unten geöffnet $\Longrightarrow$ $y=-(x+4)^2+2$.
4.
a)
0,5 Einheiten nach links verschoben $\Longrightarrow$ $y=a(x+0,5)^2$. Eine Einheit nach unten verschieben $\Longrightarrow$ $y=a(x+0,5)^2-1$.
Parabel geht durch den Punkt $(0,5\mid 2)$ (Punkt in $y=a(x+0,5)^2-1$ eingesetzt)
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 2=&a(0,5+0,5)^2-1& \mid\; \scriptsize+1 \\ 3=&a\cdot1^2& \\ a=&3& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 2=&a(0,5+0,5)^2-1 \\ 3=&a\cdot1^2 \\ a=&3& \\ \end{array}$
$\Longrightarrow$ $y=3(x+0,5)^2-1$
b)
Fünf Einheiten nach rechts verschieben $\Longrightarrow$ $y=a(x-5)^2+n$. Parabel geht durch die Punkte $(5\mid 1)$ und $(3\mid -7)$ (Punkte eingesetzt in $y=a(x-5)^2+n$).
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 1=&a(5-5)^2+n& \\ -7=&a(3-5)^2+n& \\\hline 1=&n& \\ -7=&4a+n& \\ \end{array}$ $n=1$ eingesetzt in die untere Gleichung liefert
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} -7=&4a+1&\mid\; \scriptsize -1 \\ -8=&4a& \mid\; \scriptsize:4 \\ -2=&a& \\ \end{array}$
Mit $n=1$ und $a=-2$ folgt $y=-2(x-5)^2+1$.
5.
Bestimmung der Funktionsgleichung von $f_1$
$f_1$ hat den Scheitelpunkt bei $S(-2\mid 5)$. Daraus folgt eine vorläufige Funktionsgleichung der Parabel in Scheitelform
$f_1:$ $y=a(x+2)^2+5$.
Aus dem Graph liest man ab, dass der Punkt $(-1\mid 1)$ auf der Parabel liegt. Setzt man diesen in die Funktionsgleichung ein, kann man $a$ bestimmen.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&a(x+2)^2+5& (-1\mid 1) \;\scriptsize \text{einsetzen}\\ 1=&a(-1+2)^2+5&\mid-5\\ -4=&a&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} -4=&a \\ \end{array}$
Damit ergibt sich die vollständige Funktionsgleichung der Parabel mit $f_1:$ $y=-4(x+2)^2+5$.
Bestimmung der Funktionsgleichung von $f_2$
$f_2$ hat den Scheitelpunkt bei $S(2\mid 2)$. Daraus folgt eine vorläufige Funktionsgleichung der Parabel in Scheitelform
$f_2:$ $y=a(x-2)^2+2$.
Aus dem Graph liest man ab, dass der Punkt $(3\mid 0)$ auf der Parabel liegt. Setzt man diesen in die Funktionsgleichung ein, kann man $a$ bestimmen.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&a(x-2)^2+2& (3\mid 0)\scriptsize \text{einsetzen}\\ 0=&a(3-2)^2+2& \mid\; \scriptsize-2\\ -2=&a&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} -2=&a\\ \end{array}$
Damit ergibt sich die vollständige Funktionsgleichung der Parabel mit $f_2:$ $y=-2(x-2)^2+2$.
Bestimmung der Funktionsgleichung von $f_3$
$f_3$ hat den Scheitelpunkt bei $S(-1\mid -2)$. Daraus folgt eine vorläufige Funktionsgleichung der Parabel in Scheitelform
$f_2:$ $y=a(x+1)^2-2$.
Aus dem Graph liest man ab, dass der Punkt $(0\mid -1)$ auf der Parabel liegt. Setzt man diesen in die Funktionsgleichung ein, kann man $a$ bestimmen.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&a(x+1)^2-2& (0\mid -1)\;\scriptsize \text{einsetzen}\\ -1=&a(0+1)^2-2&\mid\; \scriptsize +2\\ 1=&a&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 1=&a\\ \end{array}$
Damit ergibt sich die vollständige Funktionsgleichung der Parabel mit $f_3:$ $y=(x+1)^2-2$.
6.
a)
Aus dem Punkt $P(15\mid 24)$ liest man ab, dass der Punkt sich in einer Höhe von $24$ m befinden muss. Damit setzt der Gewölbebogen in einer Höhe von $24$ m an.
b)
Aus dem Schaubild liest man ab, dass der Triumphbogen insgesamt $45$ m breit und $50$ m hoch ist.
Der Durchgang ist $30\;\text{m}-15\;\text{m}=15\;\text{m}$ breit.
c)
Höhe des höchsten Punktes
Aus dem Schaubild sieht man, dass die Parabel nach unten geöffnet ist. Der Scheitelpunkt liegt bei $S(22,5\mid 30)$. $S(22,5\mid 30)$ ist damit auch der höchste Punkt. Der Gewölbebogen ist damit am höchsten Punkt $30$ m hoch.
Bestimmung der Funktionsgleichung der Parabel
Aus dem Scheitelpunkt kann man die Funktionsgleichung $y=a(x-22,5)^2+30$ aufstellen.
Um $a$ zu bestimmen setzt man entweder $P$ oder $Q$ in die Funktionsgleichung ein
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&a(x-22,5)^2+30&\scriptsize \text{P eingesetzt} \\ 24=&a(15-22,5)^2+30&\scriptsize\mid\; -30 \\ -6=&a(-7,5)^2&\scriptsize\\ -6=&56,25a&\scriptsize\mid\; :56,25 \\ a=&\dfrac{-6}{56,25}\approx-0,1067 \\ \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} a\approx-0,1067 \\ \end{array}$
Damit ergibt sich die Funktionsgleichung
$y=-0,1067(x-22,5)^2+30$
d)
Bestimmung der Strecke $\overline{SP}$
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
Die Strecke $\overline{SP}$ berechnet man mit Hilfe des Satz des Pythagoras. Es ist
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \overline{SP}^2=&7,5^2+6^2=92,25&\scriptsize\mid\;\sqrt{\;\;} \\ \overline{SP}\approx&9,6&\scriptsize\\ \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \overline{SP}\approx&9,6\\ \end{array}$
Es ist $\overline{SP}\approx 9,6$ m.
e)
Der höchste Punkt des Gewölbebogens ist der Scheitelpunkt der Parabel. Um diesen zu bekommen musst du die Funktionsgleichung in die Scheitelform umwandeln.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&-\dfrac{1}{2}x^2+3x-0,5&\scriptsize\\ y=&-\dfrac{1}{2}(x^2-6x+1)&\scriptsize\\ y=&-\dfrac{1}{2}(\underbrace{x^2-6x+3^2}_{(x-3)^2}-3^2+1)&\scriptsize \\ y=&-\dfrac{1}{2}((x-3)^2-8)&\scriptsize\\ y=&-\dfrac{1}{2}(x-3)^2+4&\scriptsize\\ \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&-\dfrac{1}{2}(x-3)^2+4 \\ \end{array}$
Aus der Funktionsgleichung liest man den Scheitelpunkt $S(3\mid 4)$ ab. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist $S(3\mid 4)$ das Maximum. Der Gewölbebogen ist also am höchsten Punkt $4$ m hoch.
f)
Gesucht ist nach den $x$-Werten, wenn $y=2$ ist.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&-\dfrac{1}{2}x^2+3x-0,5&\scriptsize y=2\; \text{einsetzen} \\ 2=&-\dfrac{1}{2}x^2+3x-0,5&\scriptsize\mid\;-2 \\ -\dfrac{1}{2}x^2+3x-2,5=&0&\scriptsize\mid\;\cdot(-2) \\ x^2-6x+5=&0&\scriptsize\\ \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} x^2-6x+5=&0 \\ \end{array}$
$x_{1,2}=-\dfrac{-6}{2}\pm \sqrt {\left( {\dfrac{-6}{2}} \right)^2 - 5}$
$x_{1,2}=3\pm \sqrt {4}$
$x_{1}=3-2=1$; $x_{2}=3+2=5$
Die Breite des Gewölbebogens ergibt sich damit mit $5\;\text{m}-1\;$$\text{m}=4\;\text{m}$.
7.
a)
Gewinn nach 6 Monaten
$x$ gibt die Monate an, $y$ den Gewinn in Euro.
Der Gewinn nach 6 Monaten $(x=6)$ ist für das Unternehmen 1 mit $y=10x-20$ ist $y=10\cdot6-20=40$. Demnach hat das Unternehmen 1 nach 6 Monaten $40.000$€ Gewinn erwirtschaftet.
Der Gewinn nach 6 Monaten $(x=6)$ ist für das Unternehmen 2 mit $y=-0,25x^2+100$ ist $y=-0,25\cdot6^2+100=91$. Demnach hat das Unternehmen 2 nach 6 Monaten $91.000$€ Gewinn erwirtschaftet.
Zeitpunkt zu dem das Unternehmen kein Gewinn erwirtschaftet hat
Keinen Gewinn zu erwirtschaften bedeutet, dass $y=0$ oder $y<0$ ist. Gesucht sind also die Nullstellen der Funktionen
Unternehmen 1 mit $y=10x-20$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&10x-20& y=0 \text{setzen}\\ 0=&10x-20& \mid\;\scriptsize+20\\ 20=&10x& :2 \\ x=&2& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} x=&2 \\ \end{array}$
Der Graph der Funktion $y=10x-20$ ist eine steigende Gerade, die den $y$-Achsenabschnitt $(0\mid -20)$ besitzt. Für $0\leq x\leq2$ (in den ersten 2 Monaten) sind die $y$-Werte negativ. Dies bedeutet, dass das Unternehmen 1 in den ersten 2 Monaten keinen Gewinn erwirtschaftet hat. Anders formuliert bedeutet dies, dass in den ersten 2 Monaten das Unternehmen Verluste eingefahren hat.
Unternehmen 2 mit $y=-0,25x^2+100$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&-0,25x^2+100& y=0 \text{setzen}\\ 0=&-0,25x^2+100& \mid\;\scriptsize -100\\ -100=&-0,25x^2& :(-0,25) \\ x^2=&400& \\ x_{1,2}=&\pm20& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} x_{1,2}=&\pm20 \\ \end{array}$
Die Lösung $x=-20$ ist für diese Aufgabenstellung nicht sinnvoll. Die Lösung $x=20$ allerdings beschreibt, dass das Unternehmen 2 nach 20 Monaten keinen Gewinn erwirtschaftet.
Die Funktion des Unternehmens 2 ist eine Parabel, die nach unten geöffnet ist und deren $y$-Werte immer kleiner werden. Dies bedeutet für das Unternehmen 2, dass die Gewinne immer kleiner werden, bis sie schließlich nach 20 Monaten Null sind. Nach 20 Monaten macht das Unternehmen die ersten Verluste.
Somit erwirtschaftet das Unternehmen 2 für $x>20$ keine Gewinne mehr.
b)
Die Aussage trifft auf das Unternehmen 1 zu, denn dieses hat nach anfänglichen Verlusten (die ersten 2 Monate), nun einen konstanten Gewinnzuwachs. (siehe auch Teilaufgabe a))
Der Geschäftsführer des Unternehmens 1 könnte z.B. sagen:
“Die ersten Monate konnten wir hohe Gewinne verbuchen, bis diese kontinuierlich immer stärker einbrachen. Am Ende des 2. Jahres haben wir die ersten Verluste gemacht. Wenn sich jetzt nicht etwas ändert, wird es schwierig das Unternehmen weiter zu halten.”
c)
Die Unternehmen erwirtschaften den gleichen Gewinn, wenn die beiden Funktionsgleichungen sich schneiden.
$y=10x-20$ und $y=-0,25x^2+100$ gleichsetzen liefert
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 10x-20=&-0,25x^2+100& \mid\;\scriptsize +0,25x^2-100 \\ 0,25x^2+10x-120=&0 & \mid\; \scriptsize:0,25 \\ x^2+40x-480=&0 & \\ \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} x^2+40x-480=&0 \\ \end{array}$
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2}=-\dfrac{40}{2}\pm \sqrt {\left( {\dfrac{40}{2}} \right)^2 - (-480)}$
$x_{1,2}=-20\pm\sqrt {880}\approx-20\pm30$
$x_{1}=-20-30=-50$; $x_{2}=-20+30=10$
$x_{1}=-20-30=-50$; $x_{2}=-20+30=10$
Die Lösung $x=-50$ ist für diese Aufgabenstellung nicht sinnvoll. Die Lösung $x=10$ beschreibt den gesuchten Schnittpunkt.
Demnach erwirtschaften die Unternehmen nach $10$ Monaten den gleichen Gewinn.
Will man den Gewinn noch ausrechnen, so setzt man $x=10$ in eine der beiden Gleichungen ein
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&10x-20& \scriptsize x=10 \text{eingesetzt}\\ y=&10\cdot10-20=80&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&10\cdot10-20=80\\ \end{array}$
Somit haben die Unternehmen nach 10 Monaten beide einen Gewinn von $80.000$€ erwirtschaftet.
8.
a)
Aus dem Graph liest man den Punkt $(100\mid 50)$. Dies bedeutet, dass der Bremsweg bei $100\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$, $50$ m beträgt. Die Tabelle gibt dies in der zweiten Spalte ganz unten für den PKW B an. Damit muss es sich also um den “Bremsgraphen” des PKW B handeln.
b)
Gesucht ist nach dem $x$-Wert für $y=30$ (die Geschwindigkeit, bei der der Bremsweg gerade $30$ m beträgt). Aus dem Graph liest man ab, dass dies ungefähr bei $x=78$ ist. Dies bedeutet also, dass das Auto bei einer Geschwindigkeit von weniger als $78\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ einen Bremsweg hat, der kleiner als $30$ m ist. Er kommt somit noch rechtzeitig zum stehen.
Da man in der Ortschaft eine Geschwindigkeit von $50\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ maximal fahren darf, ist ein Unfall bei rechtzeitigem Bremsen auszuschließen.
c)
Wenn der Fahrer eine Reaktionszeit von 1 Sekunden hat, bedeutet dies, dass er noch 1 Sekunden mit einer Geschwindigkeit von $50\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ weiterfährt. Erst dann fängt er an zu bremsen.
Es sind $50\dfrac{\text{km}}{\text{h}}\approx14\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Von den $30$ m bleiben also noch $30\;\text{m}-14\;\text{m}=16\;\text{m}$ übrig. $16$ m vor dem Kind bremst nun der PKW.
Aus dem Graphen liest man bei einer Geschwindigkeit von $50\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ einen Bremsweg von $12,5m$ ab. In dieser Rechnung müsste also der PKW $16\;\text{m-12,5}\;\text{m=3,5}\;\text{m}$ vor dem Kind rechtzeitig zum Stehen kommen.
d)
Bremsfaktor $a$ für PKW $A$
Der Punkt $(50\mid 10)$ liegt auf dem “Bremsgraphen” des PKW A (siehe Tabelle). Eingesetzt in $y=a\cdot x^2$ ergibt dies
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&a\cdot x^2&\scriptsize \\ 10=&a\cdot 50^2&\scriptsize \\ 10=&2500a&\scriptsize\mid:2500 \\ a=&0,004&\scriptsize \\ \end{array}$ Damit ergibt sich $y=0,004\cdot x^2$.
Bremsfaktor $a$ für PKW $B$
Der Punkt $(50\mid 12,5)$ liegt auf dem “Bremsgraphen” des PKW B (siehe Tabelle). Eingesetzt in $y=a\cdot x^2$ ergibt dies
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&a\cdot x^2&\scriptsize \\ 12,5=&a\cdot 50^2&\scriptsize \\ 12,5=&2500a&\scriptsize\mid:2500 \\ a=&0,005&\scriptsize \\ \end{array}$
Damit ergibt sich $y=0,005\cdot x^2$.
Erwartungen für den Bremsfaktor $a$ des PKW $C$
Aus dem Bremsfaktor des PKW $A$ und $B$ kann man ablesen, dass der Bremsfaktor für lange Bremswege größer ist und für kurze Bremswege dementsprechend kleiner ist.
PKW C hat die kürzesten Bremswege und damit die besten Bremsen. Dies bedeutet, dass der Bremsfaktor kleiner als der des PKW $A$ sein muss. Eine Vermutung wäre z.B. $a=0,003$ oder $a=0,002$.
e)
Bevor wir den Graphen einzeichnen, müssen wir zunächst ein paar Vorüberlegungen treffen. Bei nasser Straße, muss man längere Bremswege einplanen, da z.B. durch Aqua-Planing der Kontakt zur Straße und damit die Bremsleistung erheblich abnimmt.
Bei Glatteis ist dies noch extremer. Hier passiert es schnell, dass man trotz hervorragendem Bremsens, mit dem Auto weiterrutscht. Der Bremsweg verlängert sich also bei Glatteis noch mehr als bei einer nassen Straße. Für den Bremsfaktor $a$ bedeutet dies, dass er viel größer wird, also z.B. $a=0,009$ bei Nässe und $a=0,02$ bei Glatteis.
Für den Graphen bedeutet ein großer Bremsfaktor eine Streckung in $y$-Richtung. Es ergibt sich damit z.B. ein Graph bei Glatteis mit
Quadratische Funktionen: Vermischte Aufgaben
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