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Ableitungsfunktion

Spickzettel
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Erklärung

Der Graph einer Funktion $\boldsymbol{f}$ besitzt in jedem Punkt des Definitionsbereichs eine Steigung. Steigungen können mit verändertem $x$-Wert ebenfalls variieren. Diese Steigung kann mit Hilfe der ersten Ableitungsfunktion ausgedrückt werden. Man schreibt für diese $\boldsymbol{f'}$ und es wird jedem $x$-Wert eine Steigung $f'(x)$ zugeordnet. Du erhältst also eine neue Funktion.
Du kannst eine bereits abgeleitete Funktion erneut ableiten. Wir nennen diese dann zweite Ableitung $\boldsymbol{f''}$ bzw. dritte Ableitung $\boldsymbol{f'''}$ usw.

Ableitungen

Funktion Ableitung Funktion Ableitung
$f(x)=k$ $f'(x)=0$ $f(x)=a\cdot x^b$ $f'(x)=a\cdot b\cdot x^{b-1}$
$f(x)=a^x$ $f'(x)=a^x \cdot \ln(a)$ $f(x)=\mathrm{e}^x$ $f'(x)=\mathrm{e}^x$
$f(x)=\ln(x)$ $f'(x)=\frac{1}{x}$ $f(x)=\log_a(x)$ $f'(x)=\frac{1}{\ln(a)\cdot x}$
$f(x)=\sqrt{(x)}$ $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{(x)}}$ $f(x)=x^{\frac{1}{n}}$ $f'(x)=\frac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1}$
$f(x)=\sin(x)$ $f'(x)=\cos(x)$ $f(x)=\cos(x)$ $f'(x)=-\sin(x)$
$f(x)=\tan(x)$ $f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$ $f(x)=\frac{1}{x^a}$ $f'(x)=\frac{-a}{x^{a+1}}$
Tabelle

Beispiel

Gegeben ist die Funktion $f(x)=2 \cdot x^3$. Berechne die erste und zweite Ableitung.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&2 \cdot x^3 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] f'(x)&=&2\cdot 3 \cdot x^{3-1} &=&6 \cdot x^{2} \\ \end{array}$
Die zweite Ableitungsfunktion erhältst du, indem du den Term $f'(x)$ erneut ableitest.
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&6 \cdot x^{2} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] f''(x)&=&6\cdot 2 \cdot x^{2-1} &=&12 \cdot x^{1}\\ \end{array}$
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Aufgaben
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Aufgabe 1

Leite die folgenden Funktionsterme einmal ab.
b)
$\quad f_2(x)=x^5+4x^2+3$
d)
$\quad f_4(x)=4$
f)
$\quad f_6(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x^3}$
h)
$\quad f_8(x)=2 \cdot \ln(x)$
j)
$\quad f_{10}(x)=\log_{10}(9x)$
l)
$\quad f_{12}(x)=x^{\frac{1}{5}}$
n)
$\quad f_{14}(x)=\sin(x)+3$
p)
$\quad f_{16}(x)=2\cdot \mathrm{e}^x$
r)
$\quad f_{18}(x)=7\cdot \sqrt[4]{x^2}-\sin(x)$

Aufgabe 2

In einer Spalte steht jeweils der Term einer Funktion und ihre erste sowie zweite Ableitung. Entscheide, welcher Term Funktion, erste bzw. zweite Ableitung darstellt.
b)
$\quad f_a(x)=x^3-12x^2+12x$
$\quad f_b(x)=6x-24$
$\quad f_c(x)=3x^2-24x+12$
d)
$\quad f_a(x)=3 \cdot \ln(x)$
$\quad f_b(x)=-3 \cdot \frac{1}{x^2}$
$\quad f_c(x)=\frac{3}{x}$
f)
$\quad f_a(x)=\sqrt[3]{x}$
$\quad f_b(x)=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$
$\quad f_c(x)=-\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^5}}$
h)
$\quad f_a(x)=\frac{1}{x}+2x$
$\quad f_b(x)=-\frac{1}{x^2}+2$
$\quad f_c(x)=\ln(x)+x^2$
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Lösungen
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Aufgabe 1

Nimm die Tabelle aus dem Spickzettel gegebenenfalls als Hilfestellung.
a)
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_1(x)&=& x^2-4 & \\[5pt] f_1'(x)&=& 2x & \\[5pt] \end{array}$
b)
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_2(x)&=& x^5+4x^2+3 & \\[5pt] f_2'(x)&=& 5x^4+8x & \\[5pt] \end{array}$
c)
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_3(x)&=& x^3-8x+16 & \\[5pt] f_3'(x)&=& 3x^2-8 & \\[5pt] \end{array}$
d)
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_4(x)&=& 4 & \\[5pt] f_4'(x)&=& 0 & \\[5pt] \end{array}$
e)
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_5(x)&=& 2\sqrt{x} & \\[5pt] f_5'(x)&=& 2\cdot \frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}} & \\[5pt] &=& \frac{1}{\sqrt{x}} & \\[5pt] \end{array}$
f)
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_6(x)&=& \frac{1}{2}\sqrt{x^3} & \\[5pt] f_6'(x)&=& \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}} & \\[5pt] &=& \frac{3}{4} \sqrt{x} & \\[5pt] \end{array}$
g)
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_7(x)&=& x+1 & \\[5pt] f_7'(x)&=& 1 & \\[5pt] \end{array}$
h)
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_8(x)&=& 2 \cdot \ln(x) & \\[5pt] f_8'(x)&=& \frac{2}{x} & \\[5pt] \end{array}$
i)
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_9(x)&=& -3 \cdot \ln(x+4) & \\[5pt] f_9'(x)&=& -\frac{3}{x+4} & \\[5pt] \end{array}$
j)
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_{10}(x)&=& \log_{10}(9x) &=&\log_{10}(9)+\log_{10}(x) \\[5pt] f_{10}'(x)&=& \frac{1}{\ln(10)\cdot x} & \\[5pt] \end{array}$
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_{10}'(x)&=& \frac{1}{\ln(10)\cdot x} & \\[5pt] \end{array}$
k)
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_{11}(x)&=& 2\cdot \log_{3}(x) & \\[5pt] f_{11}'(x)&=& \frac{2}{\ln(3)\cdot x} & \\[5pt] \end{array}$
l)
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_{12}(x)&=& x^{\frac{1}{5}} & \\[5pt] f_{12}'(x)&=& \frac{1}{5}\cdot x^{-\frac{4}{5}} & \\[5pt] &=& \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} & \\[5pt] \end{array}$
m)
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_{13}(x)&=& 3x^{\frac{4}{3}}+3 & \\[5pt] f_{13}'(x)&=& \frac{4}{3}\cdot 3 \cdot x^{\frac{1}{3}} & \\[5pt] &=& 4 \sqrt[3]{x} & \\[5pt] \end{array}$
n)
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_{14}(x)&=& \sin(x)+3 & \\[5pt] f_{14}'(x)&=& \cos(x) & \\[5pt] \end{array}$
o)
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_{15}(x)&=& -5 \cdot \cos(x+\pi) & \\[5pt] f_{15}'(x)&=& -5 \cdot (-\sin(x+\pi)) & \\[5pt] &=& 5 \cdot \sin(x+\pi) & \\[5pt] \end{array}$
p)
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_{16}(x)&=& 2\cdot \mathrm{e}^x & \\[5pt] f_{16}'(x)&=& 2\cdot \mathrm{e}^x & \\[5pt] \end{array}$
q)
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_{17}(x)&=& \mathrm{e}^{x-4} & \\[5pt] f_{17}'(x)&=& \mathrm{e}^{x-4} & \\[5pt] \end{array}$
r)
$\quad \begin{array}[t]{lll} f_{18}(x)&=& 7\cdot \sqrt[4]{x^2}-\sin(x) & \\[5pt] f_{18}'(x)&=& 7\cdot \frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}-\cos(x) & \\[5pt] &=& \frac{7}{2\sqrt{x}}-\cos(x) & \\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 2

In einer Spalte steht jeweils der Term einer Funktion und ihre erste sowie zweite Ableitung. Entscheide, welcher Term Funktion, erste bzw. zweite Ableitung darstellt.
a)
Hierbei handelt es sich um Polynome. Da beim Ableiten vom Exponenten immer der Wert $1$ subtrahiert wird, kannst du davon ausgehen, dass das Polynom mit dem höchsten Exponenten $f$ ist und in absteigender Reihenfolge erste bzw. zweite Ableitung folgen:
$f(x)=x^2+9x+20 \quad\quad f'(x)=2x+9 \quad\quad f''(x)=2$
$f(x)=x^2+9x+20 \\ f'(x)=2x+9 \\ f''(x)=2$
b)
Hierbei handelt es sich um Polynome. Da beim Ableiten vom Exponenten immer der Wert $1$ subtrahiert wird, kannst du davon ausgehen, dass das Polynom mit dem höchsten Exponenten $f$ ist und in absteigender Reihenfolge erste bzw. zweite Ableitung folgen:
$f(x)=x^3-12x^2+12x \quad\quad f'(x)=3x^2-24x+12 \quad\quad f''(x)=6x-24$
$f(x)=x^3-12x^2+12x \\ f'(x)=3x^2-24x+12 \\ f''(x)=6x-24$
c)
Auch hier kannst du nach dem höchsten Exponenten schauen und ableiten.
$f(x)=x^{\frac{3}{2}} \quad\quad f'(x)=\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}} \quad\quad f''(x)=\frac{3}{4}\cdot x^{-\frac{1}{2}}$
$f(x)=x^{\frac{3}{2}} \\ f'(x)=\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}} \\ f''(x)=\frac{3}{4}\cdot x^{-\frac{1}{2}}$
d)
Du weißt, dass $(\ln(x))'=\frac{1}{x}$ gilt. Dementsprechend muss zu $f$ der Funktionsterm mit dem $\ln$ gehören.
$f(x)=3 \cdot \ln(x) \quad\quad f'(x)=\frac{3}{x} \quad\quad f''(x)=-3 \cdot \frac{1}{x^2}$
$f(x)=3 \cdot \ln(x) \\ f'(x)=\frac{3}{x} \\ f''(x)=-3 \cdot \frac{1}{x^2}$
e)
Auch hier verrät der höchste Exponent die Funktion $f$. Beachte, dass $(\cos(x))'=-\sin(x)$ gilt.
$f(x)=2x^4+3\cos(x+5)-1 \quad\quad f'(x)=8x^3-3\sin(x+5) \quad\quad f''(x)=24x^2-3\cos(x+5)$
$f(x)=2x^4+3\cos(x+5)-1 \\ f'(x)=8x^3-3\sin(x+5) \\ f''(x)=24x^2-3\cos(x+5)$
f)
Beim Differenzieren von Wurzelfunktionen kannst du verwenden, dass $\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$ gilt. Wir erwarten also beim Ableiten von $\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$ einen gebrochenrationalen Term.
$f(x)=\sqrt[3]{x} $$ \quad\quad f'(x)=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} $$ \quad\quad f''(x)=-\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^5}}$
$f(x)=\sqrt[3]{x} \\ f'(x)=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \\ f''(x)=-\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^5}}$
g)
Die $\mathrm{e}$-Funktion verändert sich beim Ableiten nicht. Daher musst du auf andere Faktoren im Term achten.
$f(x)=\mathrm{e}^x+3x-2 $$ \quad\quad f'(x)=\mathrm{e}^x+3 $$ \quad\quad f''(x)=\mathrm{e}^x$
$f(x)=\mathrm{e}^x+3x-2 \\ f'(x)=\mathrm{e}^x+3 \\ f''(x)=\mathrm{e}^x$
h)
Verwende, dass $(\ln(x))'=\frac{1}{x}$ gilt. Des Weiteren kannst du auch den Term $x^2$ betrachten und überprüfen, ob die Ableitung zu dem Logarithmus zur Basis $2$ passt.
$f(x)=\ln(x)+x^2 $$ \quad\quad f'(x)=\frac{1}{x}+2x $$ \quad\quad f''(x)=-\frac{1}{x^2}+2$
$f(x)=\ln(x)+x^2 \\ f'(x)=\frac{1}{x}+2x \\ f''(x)=-\frac{1}{x^2}+2$
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