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Symmetrie

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Für eine Funktion $f$, also auch insbesondere für eine ganzrationale Funktion, gelten folgende Symmetrieeigenschaften:
  • $f$ ist achsensymmetrisch zu einer Geraden $x_0$, falls folgende Gleichung erfüllt ist:
    $f(x_0+h)=f(x_0-h).$
    $f(x_0+h)=f(x_0-h).$
  • $f$ ist punktsymmetrisch zu einem Punkt $P(x_0\mid y_0)$, falls folgende Gleichung erfüllt ist:
    $f(x_0+h)+f(x_0-h)=2y_0.$
    $f(x_0+h)+f(x_0-h)=2y_0.$
$h$ ist dabei eine beliebige Zahl aus dem Definitionsbereich der Funktion. Achsensymmetrie zur $y$-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung sind Spezialfälle der Symmetrie.

Achsensymmetrie zur $y$-Achse

Eine ganzrationale Funktion
$f(x) = a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1} +… + a_1 \cdot x+a_0$
$ f(x)=… $
ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, falls $f$ gerade ist, d.h. für alle ungeraden $i$ ist der Koeffizient $a_i = 0$.

Punktsymmetrie zum Ursprung

Eine ganzrationale Funktion
$f(x) = a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1} +… + a_1 \cdot x+a_0$
$ f(x)=… $
ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, falls $f$ ungerade ist, d.h. für alle geraden $i$ ist der Koeffizient $a_i = 0$.

Beispiele

Links ist ein Beispiel für eine achsensymmetrische Funktion zur $y$-Achse, rechts für eine punktsymmetrische Funktion zum Ursprung.
Ganzrationale Funktionen: Symmetrie
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Aufgaben
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1.
Entscheide, ob folgende ganzrationale Funktionen achsensymmtrisch zur $y$-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung sind. Begründe kurz.
a)
$x^5 + x^3 - 4x $
b)
$x^6 - 11x^8 + 5x - 1$
c)
$7x^4 + 3x^2 + \frac{1}{2}$
d)
$3x(x+1)^2 - 6x^2$
e)
$x^{100} + 17 x^{58} + 3x^{11} \cdot 5x^3$
2.
Entscheide, ob folgende ganzrationale Funktionen symmetrisch zu einer Geraden $x_0$ oder einem angegebenen Punkt sind.
a)
$\dfrac{1}{2}(x+2)^3-(x+2) + 3$, $P(-2 \mid 3)$
b)
$\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{4}$, $x_0=1$
3.
Gebe alle ganzrationalen Funktionen 4.Grades an, die
a)
punktsymmetrisch zum Punkt $P(1 \mid 1)$ sind,
b)
achsensymmetrisch zur Geraden $x_0 = 2$ sind.
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Lösungen
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1.
Entscheide
a)
$ f(x) = x^5 + x^3 - 4x $ ist eine ungerade Funktion und somit punktsymmetrisch zum Ursprung.
b)
$f(x) = x^6 - 11x^8 + 5x - 1$ ist weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur $y$-Achse, denn es gibt sowohl gerade als auch ungerade Exponenten.
c)
$f(x) = 7x^4 + 3x^2 + \frac{1}{2}$ ist eine gerade Funktion und somit achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
d)
$f(x) = 3x(x+1)^2 - 6x^2 $$= 3x(x^2 + 2x + 1) - 6x^2$$ = 3x^3 + 3x$ ist eine ungerade Funktion und somit
punktsymmetrisch zum Ursprung.
e)
$f(x) = x^{100} + 17 x^{58} + 3x^{11} \cdot 5x^3 $$= x^{100} + 17 x^{58} + 15x^{14}$ ist eine gerade Funktion
und somit achsensymmtrisch zur $y$-Achse.
2.
Entscheide
a)
Für Punktsymmetrie an einem Punkt $P(x_0\mid y_0)$ muss $f(x_0+h)+f(x_0-h)=2y_0$ gelten. Setze also die entsprechenden Werte ein und überprüfe, ob die Gleichung für alle Punkte erfüllt ist.
Aus $P(-2 \mid 3)$ und $f(x) = \dfrac{1}{2}(x+2)^3-(x+2) + 3$ folgt
$\begin{array}[t]{rll} f(x_0+h)+f(x_0-h) &=& f(-2+h)+f(-2-h)\\[5pt] &=& \left( \dfrac{1}{2}((-2+h)+2)^3-((-2+h)+2) + 3 \right) \\[5pt] && + \left( \dfrac{1}{2}((-2-h)+2)^3-((-2-h)+2) + 3 \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} h^3 - h + 3 - \dfrac{1}{2} h^3 + h + 3 \\[5pt] &=& 6 \\[5pt] &=& 2y_0 \end{array}$
$ f(x_0+h)+… $
Die Bedingung für Punktsymmetrie ist erfüllt, also ist $f$ punktsymmetrisch zum Punkt $P$.
b)
Für die Symmetrie einer Funktion $f$ zu einer Geraden $x_0$, muss folgenden
Gleichung $f(x_0 + h) - f(x_0 - h) = 0$ erfüllt sein. Setze also erneut die entsprechenden Werte ein und überprüfe, ob die Gleichung für alle Punkte erfüllt ist. Aus $x_0 = 1$ und $f(x) = \dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{4}$ folgt
$\begin{array}[t]{rll} f(x_0 + h) - f(x_0 - h) &=& f(1 + h) - f(1 - h) \\[5pt] &=& \left( \dfrac{3}{4}(1+h)^2-\dfrac{3}{2}(1+h)+\dfrac{1}{4} \right) - \left( \dfrac{3}{4}(1-h)^2-\dfrac{3}{2}(1-h)+\dfrac{1}{4} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{3}{4} (1 + 2h + h^2) - \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2}h + \dfrac{1}{4} \\[5pt] & & - \dfrac{3}{4} (1 - 2h + h^2) + \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2}h - \dfrac{1}{4} \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ f(x_0 + h) -… $
Die Bedingung für die Achsensymmetrie zu einer Geraden ist erfüllt, also ist $f$ achsensymmetrisch zur Geraden $x_0$.
3.
Symmetrie von Funktionen 4.Grades
Gesucht sind in beiden Fällen Funktionen 4.Grades, d.h. wir betrachten Funktionen der Form $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.
a)
Konstruiere Funktionen der Form $ax^4 + bx^3 + cx + d$, die punktsymmetrisch zum Ursprung sind und verschiebe sie anschließend. Für Punktsymmetrie zum Ursprung muss für die Funktion $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ $a=c=e=0$ gelten, d.h. Funktionen der Form $bx^3 + dx$ sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Verschiebe sie nun um $1$ Einheit nach oben und $1$ Einheit nach rechts $$g(x)=b(x-1)^3 + d(x-1) + 1.$$ Somit sind Funktionen obiger Form punktsymmetrisch zum Punkt $P(1 \mid 1).$
b)
Konstruiere Funktionen der Form $ax^4 + bx^3 + cx + d$, die achsensymmetrisch zur $y$-Achse sind und verschiebe sie anschließend. Für Achsensymmetrie an der $y$-Achse muss für die Funktion $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ $b=d=0$ gelten, d.h. Funktionen der Form $ax^4 + cx^2 + e$ sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Verschiebe sie nun um $2$ Einheiten nach rechts $$h(x) = a(x-2)^4 + c(x-2)^2 + e. $$ Somit sind Funktionen obiger Form achsensymmetrisch zur Geraden $x_0 = 2.$
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