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Normalparabel

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Ein Quadrat hat die Seitenlänge $a$, den Flächeninhalt $a^2$ und den Umfang $4 \cdot a$.
a)
Vervollständige die Tabelle für die unterschiedlichen Seitenlängen. Bei welcher Seitenlänge $a$ haben der Flächeninhalt und der Umfang den gleichen Zahlenwert und warum?
Seitenlänge $a \, (\text{cm})$$1 $$ 2$$ 2,5$$3 $$ 4$
Flächeninhalt $A \, (\text{cm}^2)$$ $$ $$ $$ $$ $
Umfang $U \, (\text{cm})$$ $$ $$ $$ $$ $
Seitenlänge $a \, (\text{cm})$Flächeninhalt $A \, (\text{cm}^2)$Umfang $U \, (\text{cm})$
$1 $$ $$ $
$ 2$$ $$ $
$2,5 $$ $$ $
$ 3$$ $$ $
$ 4$$ $$ $
b)
Im Koordinatensystem ist bereits die Gerade, die den Umfang des Quadrats in Abhängigkeit zur Seitenlänge beschreibt, eingezeichnet. Ergänze den Graphen, der den Flächeninhalt in Abhängigkeit zur Seitenlänge beschreibt.
Wie viele Punkte musst du im Koordinatensystem einzeichnen, um den Graphen für den Umfang zeichnen zu können?
Wie viele Punkte musst du im Koordinatensystem einzeichnen, um den Graphen für den Flächeninhalt zeichnen zu können?
c)
Stelle für den Graphen, der den Umfang zeigt, und für den Graphen, der den Flächeninhalt zeigt, je eine Funktionsgleichung auf.
#tabelle#funktionsgleichung

Aufgabe 1

Die Funktion $f(x) = x^2$ gilt auch für negative Werte.
a)
Vervollständige die Tabellen, zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie zu einer Kurve.
$x$$-3 $$ -2$$-1,5 $$-1 $$-0,5 $$0 $
$y$$ $$ $$ $$ $$ $$ $
$x$$y$
$-3 $$ $
$-2 $$ $
$ -1,5$$ $
$ -1$$ $
$ -0,5$$ $
$0$$ $
$x$$0 $$0,5 $$1 $$1,5 $$ 2$$ 3$
$y$$ $$ $$ $$ $$ $$ $
$x$$y$
$0 $$ $
$0,5 $$ $
$ 1$$ $
$1,5 $$ $
$ 2$$ $
$ 3$$ $
b)
Können jedem $y-$Wert zwei $x-$Werte zugeordnet werden? Begründe.
#tabelle

Aufgabe 2

Welche der Punkte liegen auf der Normalparabel?
b)
$B \, (-1 \mid 1)$
d)
$D \, (-2,5 \mid 6,25)$
F)
$F \, (0,1 \mid -0,01)$
#parabel
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

Ein Quadrat hat die Seitenlänge $a$, den Flächeninhalt $a^2$ und den Umfang $4 \cdot a$.
a)
$\blacktriangleright$  Tabelle vervollständigen
Seitenlänge $a \, (\text{cm})$$1 $$ 2$$ 2,5$$3 $$ 4$
Flächeninhalt $A \, (\text{cm}^2)$$\color{#87c800}{1 }$$\color{#87c800}{ 4}$$\color{#87c800}{6,25 }$$ \color{#87c800}{9}$$ \color{#87c800}{16}$
Umfang $U \, (\text{cm})$$ \color{#87c800}{4}$$ \color{#87c800}{8}$$\color{#87c800}{10} $$\color{#87c800}{ 12}$$\color{#87c800}{16 }$
Seitenlänge $a \, (\text{cm})$Flächeninhalt $A \, (\text{cm}^2)$Umfang $U \, (\text{cm})$
$1 $$\color{#87c800}{1} $$\color{#87c800}{4 }$
$ 2$$\color{#87c800}{4} $$\color{#87c800}{8} $
$2,5 $$\color{#87c800}{6,25} $$\color{#87c800}{10} $
$ 3$$ \color{#87c800}{9}$$ \color{#87c800}{12}$
$ 4$$\color{#87c800}{16} $$\color{#87c800}{ 16}$
Bei der Seitenlänge $a = 4 \, \text{cm}$ haben der Flächeninhalt und der Umfang den gleichen Zahlenwert. Das liegt daran, wie sich diese beiden Werte berechnen. Der Flächeninhalt berechnet sich mit $A = a^2$ also in diesem Fall $A = 4^2 = 16$ und der Umfang berechnet sich mit $U = 4 \cdot a$ also in diesem Fall $U = 4 \cdot 4 = 16$.
b)
$\blacktriangleright$  Graph zeichnen
Um den Graphen für den Umfang zu zeichnen, reicht es, nur zwei Punkte ins Koordinatensystem einzuzeichnen, denn der Graph ist eine Gerade.
Um den Graphen für den Flächeninhalt zu zeichnen, ist es am besten, möglichst viele Punkte ins Koordinatensystem einzuzeichnen, denn der Graph ist eine Kurve. Gerade wenn du anfängst, Parabeln zu zeichnen, solltest du am besten alle Punkte, die du berechnet hast, einzeichnen und dann zur Kurve verbinden.
c)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung aufstellen
In den beiden Graphen bildest du den Umfang beziehungsweise den Flächeninhalt in Abhängigkeit zur Seitenlänge $a$ ab. Die Funktionsgleichung ist also die Gleichung, die dir angibt, wie du den Umfang beziehungsweise den Flächeninhalt in Abhängigkeit zur Seitenlänge $a$ berechnest.
Flächeninhalt:
$f(x) = x ^2$
#parabel

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Funktion für negative $x-$Werte berechnen und Graph zeichnen
a)
$x$$-3 $$ -2$$-1,5 $$-1 $$-0,5 $$0 $
$y$$\color{#87c800}{9 }$$\color{#87c800}{4} $$\color{#87c800}{2,25} $$\color{#87c800}{1 }$$\color{#87c800}{0,25 }$$\color{#87c800}{0} $
$x$$y$
$-3 $$\color{#87c800}{9} $
$-2 $$ \color{#87c800}{4}$
$ -1,5$$\color{#87c800}{2,25} $
$ -1$$\color{#87c800}{1} $
$ -0,5$$ \color{#87c800}{0,25}$
$0$$\color{#87c800}{0} $
$x$$0 $$0,5 $$1 $$1,5 $$ 2$$ 3$
$y$$\color{#87c800}{0} $$\color{#87c800}{0,25} $$\color{#87c800}{1} $$\color{#87c800}{2,25} $$\color{#87c800}{4} $$\color{#87c800}{9} $
$x$$y$
$0 $$\color{#87c800}{0} $
$0,5 $$\color{#87c800}{0,25} $
$ 1$$\color{#87c800}{1} $
$1,5 $$\color{#87c800}{2,25} $
$ 2$$\color{#87c800}{4} $
$ 3$$\color{#87c800}{9} $
b)
Es können nicht jedem $y-$Wert zwei $x-$Werte zugeordnet werden. Zwar hat fast jeder $y-$Wert zwei $x-$Werte, aber beim Scheitelpunkt, der bei der Normalparabel im Ursprung liegt, gibt es für den $y-$Wert nur einen $x-$Wert.
#parabel

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Lage der Punkte bestimmen
Um herauszufinden, welche der Punkte auf der Normalparabel liegen, setze die Koordinaten in die Funktionsgleichung $y = x^2$ ein und rechne aus.
a)
$A \, (2 \mid 2)$
$A$ liegt nicht auf der Normalparabel, denn die Lösung der Gleichung $2 = 2^2$ ist falsch.
b)
$B \, (-1 \mid 1)$
$B$ liegt auf der Normalparabel, denn die Lösung der Gleichung $1 = (-1)^2$ ist richtig.
c)
$C \, (1,5 \mid 2,25)$
$C$ liegt auf der Normalparabel, denn die Lösung der Gleichung $2,25 = 1,5^2$ ist richtig.
d)
$D \, (-2,5 \mid 6,25)$
$D$ liegt auf der Normalparabel, denn die Lösung der Gleichung $6,25 = (-2,5)^2$ ist richtig.
e)
$E \, (2 \mid -2)$
$E$ liegt nicht auf der Normalparabel, denn die Lösung der Gleichung $-2 = 2^2$ ist falsch. Wenn man eine Zahl quadriert, kann das Ergebnis nie negativ sein.
F)
$F \, (0,1 \mid -0,01)$
$F$ liegt nicht auf der Normalparabel, denn die Lösung der Gleichung $-0,01 = 0,1^2$ ist falsch. Wenn man eine Zahl quadriert, kann das Ergebnis nie negativ sein.
#funktionsgleichung
Bildnachweise [nach oben]
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