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Dreiecke

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Die Abbildungen $1-3$ zeigen die einzelnen Kostruktionsschritte, die nötig sind, um ein Dreieck zu zeichnen. Versuche die Anleitung nachzuvollziehen und beschreibe ausführlich das Vorgehen.
Die Längen am Dreieck sind in $cm$ angegeben.
Worin unterscheiden sich die Dreiecke aus den Aufgabenteilen $a$, $b$ und $c$?
a)

Aufgabe 1

Zeichne mithilfe folgender Planfiguren passende Dreiecke (Angaben in $\text{cm}$).

Aufgabe 2

Zeichne folgende Dreiecke, lege zuerst eine Planfigur an.
a)
gleichseitiges Dreieck mit $a=5\;\text{cm}$
b)
gleichschenkliges Dreieck mit Basis $a=4\;\text{cm}$ und Schenkel $b=6\;\text{cm}$
c)
Dreieck mit den Seitenlängen $a=7\;\text{cm}$, $b=5,5\;\text{cm}$ und dem Winkel $\gamma=60°$

Aufgabe 3

Erstelle eine Planfigur und zeichne die passenden Dreiecke.
a)b)c)
$\text{a}$$5\;\text{cm}$$4\;\text{cm}$
$\text{b}$$7\;\text{cm}$$3,5\;\text{cm}$
$\text{c}$$6\;\text{cm}$$6,5\;\text{cm}$
$\alpha$$35°$
$\beta$$65°$
$\gamma$$45°$

Aufgabe 4

Aufgabe 5

Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Konstruktionsschritte beschreiben, um ein Dreieck zu zeichnen
In der Abbildung $1$ ist die Vorgehensweise ein Dreieck zu zeichnen dargestellt. Diese Vorgehensweise kannst du anwenden, wenn die Längen aller Seiten gegeben sind, es wird keine Winkelangabe benötigt.
Im ersten Schritt wird eine Planfigur erstellt, dabei zeichnet man eine Figur, die die gegebenen Zahlenwerte enthält. Diese Skizze dient der Übersicht und muss nicht maßstabsgetreu gezeichnet werden.
Im nächsten Schritt beginnt die Konstukruktion des Dreiecks. Dazu wählt man eine beliebige Seite des Dreiecks mit bekannter Länge aus und zeichnet eine Strecke mit entsprechender Länge auf ein Blatt. In diesem Fall z.B die Seite $c$ mit der Länge $4\;\text{cm}$.
Im dritten Schritt kannst du sehen, dass die Seite $a$ mit einer Länge von $a=2\;\text{cm}$ konstruiert wird. Da du nicht weißt in welchem Winkel die Seite $a$ zur Seite $b$ stehen soll, deswegen verwendest du deinen Zirkel und zeichnest einen Kreis um den Punkt $B$, mit dem Radius $a=r=2\;\text{cm}$.
Im vierten Schritt wird nun die Seite $b$ mit der Seitenlänge $b=3\;\text{cm}$ konstruiert, indem du die Zirkelnadel in den Punkt $A$ setzt und einen Kreis mit Radius $b=r=3\;\text{cm}$ zeichnest. Du kannst sehen, dass sich die beiden Kreise schneiden. Dieser Schnittpunkt entspricht dem Punkt $C$ des Dreiecks. Wenn man alle Punkte $A,B$ und $C$ verbindet, erhält man das gesuchte Dreieck.
b)
$\blacktriangleright$ Konstruktionsschritte beschreiben, um ein Dreieck zu zeichnen
In der Abbildung $2$ ist die Vorgehensweise ein Dreieck zu zeichnen dargestellt. Diese Vorgehensweise kannst du anwenden, wenn die Längen von zwei Seiten angegeben sind und der Winkel zwischen den beiden Seiten ebenfalls bekannt ist.
Im ersten Schritt wird eine Planfigur erstellt, dabei zeichnet man eine Figur, die die gegebenen Zahlenwerte enthält. Diese Skizze dient der Übersicht und muss nicht maßstabsgetreu gezeichnet werden.
Im nächsten Schritt beginnt die Konstukruktion des Dreiecks. Dazu wählt man eine beliebige Seite des Dreiecks mit bekannter Länge aus und zeichnet eine Strecke mit entsprechender Länge auf ein Blatt. In diesem Fall z.B die Seite $c$ mit der Seitenlänge $4\;\text{cm}$.
Dann wird der Winkel zwischen $c$ und $a$ gezeichnet. Diesen Winkel kann man mit dem Geodreieck abmessen.
Im vierten Schritt kannst du sehen, dass die Seite $a$ mit einer Länge von $a=2\;\text{cm}$ konstruiert wird. Dazu verwendest du deinen Zirkel und zeichnest einen Kreis um den Punkt $B$, mit dem Radius $a=r=2\;\text{cm}$.
Es ergibt sich ein Schnittpunkt, der dem Punkt $C$ entspricht. Im vierten Schritt werden nun alle Punkte $A,B$ und $C$ verbunden und man erhält das gesuchte Dreieck.
c)
$\blacktriangleright$ Konstruktionsschritte beschreiben, um ein Dreieck zu zeichnen
In der Abbildung $3$ ist die Vorgehensweise ein Dreieck zu zeichnen dargestellt. Diese Vorgehensweise kannst du anwenden, wenn zwei Winkel angegeben sind und dazwischen die Länge einer Seite bekannst ist.
Im ersten Schritt wird eine Planfigur erstellt, dabei zeichnet man eine Figur, die die gegebenen Zahlenwerte enthält. Diese Skizze dient der Übersicht und muss nicht maßstabsgetreu gezeichnet werden.
Im nächsten Schritt beginnt die Konstukruktion des Dreiecks. Dazu zeichnet man die Seite mit bekannter Länge auf ein Blatt. In diesem Fall z.B die Seite $c$ mit der Seitenlänge $4\;\text{cm}$.
Dann wird der Winkel zwischen $c$ und $a$ gezeichnet. Diesen Winkel kann man mit dem Geodreieck abmessen.
Im vierten Schritt wird der Winkel zwischen $c$ und $b$ eingezeichnet. Es ergibt sich ein Schnittpunkt der dem Punkt $C$ entspricht. Es werden nun alle Punkte $A,B$ und $C$ verbunden und man erhält das gesuchte Dreieck.
#winkel#dreieck

Aufgabe 1

Du sollst die passenden Dreiecke zu den gegebenen Planfiguren zeichnen. Dazu kannst du dich an die Konstruktionsvorschriften der Einführungsaufgabe halten.
a)
$\blacktriangleright$ passendes Dreieck zeichnen
Du sollst ein Dreieck zeichnen, von dem zwei Winkel und eine Seitenlänge bekannt sind. Bei solchen Dreiecken kannst du dich an die Konstruktionsvorschrift aus der Einführungsaufgabe $c$ halten.
Zeichne zuserst eine Strecke mit der Seitenlänge $c=6\;\text{cm}$. Zeichne mit Hilfe des Geodreiecks eine Gerade im Winkel von $50°$ zur Strecke $c$.
Zeichne nun eine Gerade im Winkel von $80°$ zur Strecke $c$. Verwende dazu dein Geodreieck.
Du erhältst einen Schnittpunkt, der dem Punkt $C$ entspricht. Verbinde die Punkte $A,B$ und $C$ und du erhältst folgendes Dreieck.
b)
$\blacktriangleright$ passendes Dreieck zeichnen
Du sollst ein Dreieck zeichnen, von dem ein Winkel und zwei Seitenlängen gegeben sind. Bei solchen Dreiecken kannst du dich an die passende Konstruktionsvorschrift aus der Einführungsaufgabe $b$ halten.
Zeichne zuerst eine Strecke der Länge $c=9\;\text{cm}$. Zeichne nun vom Punkt $A$ ausgehend, mit Hilfe des Geodreiecks, eine Gerade im Winkel von $65°$ zur Strecke $c$.
Setze die Zirkelnadel in den Punkt $A$ und zeichne einen Kreis mit dem Radius $b=r=5\;\text{cm}$ um den Punkt. Du erhältst einen Schnittpunkt, der dem Punkt $C$ entspricht. Verbinde die Punkte $A,B$ und $C$ und du erhältst folgendes Dreieck.
c)
$\blacktriangleright$ passendes Dreieck zeichnen
Du sollst ein Dreieck zeichnen, von dem drei Seitenlängen gegeben sind. Bei solchen Dreiecken kannst du dich an die passende Konstruktionsvorschrift aus der Einführungsaufgabe $a$ halten.
Zeichne zuerst eine Strecke mit der Länge $c=4\;\text{cm}$. Setzte die Zirkelnadel in den Punkt $A$ und zeichne einen Kreis mit dem Radius $b=r=8\;\text{cm}$ um den Punkt. Setze nun die Zirkelnadel in den Punkt $B$ und Zeichne einen Kreis mit dem Radius $b=r=6\;\text{cm}$ um den Punkt. Du erhältst einen Schnittpunkt, der dem Punkt $C$ entspricht. Verbinde die Punkte $A,B$ und $C$ und du erhältst folgendes Dreieck.
d)
$\blacktriangleright$ passendes Dreieck zeichnen
Du sollst ein Dreieck zeichnen, von dem zwei Winkel und eine Seitenlänge gegeben ist. Bei solchen Dreiecken kannst du dich an die passende Konstruktionsvorschrift aus der Einführungsaufgabe $b$ halten.
Zeichne zuerst eine Strecke mit der Seitenlänge $c=8\;\text{cm}$. Zeichne nun mit Hilfe des Geodreiecks eine Gerade im Winkel von $70°$ zur Gerade $c$.
Zeichne nun eine Gerade im Winkel von $30°$ zur Geraden $c$. Verwende dazu dein Geodreieck.
Du erhältst einen Schnittpunkt, der dem Punkt $C$ entspricht. Verbinde die Punkte $A,B$ und $C$ und du erhältst folgendes Drieck.
#winkel#dreieck

Aufgabe 2

a)
Zeichne ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $a=5\;\text{cm}$. Du sollst zuerst eine Planfigur erstellen. Dafür zeichnest du ein beliebiges Dreieck und beschriftest die Ecken, Seiten und Winkel.
  • Ecken: $A$, $B$ und $C$ gegen den Uhrzeigersinn
  • Winkel: $\alpha$ bei der Ecke $A$, $\beta$ bei der Ecke $B$ und $\gamma$ bei der Ecke $C$
  • Seiten: $a$ gegenüber der Ecke $A$, $b$ gegenüber der Ecke $B$ und $c$ gegenüber der Ecke $C$
Trage die gegebenen Werte ein. Bei einem gleichseitigen Dreieck sind die Seiten alle gleich lang. Mit Hilfe der Skizze kannst du das Dreieck konstruieren.
  • Zeichne eine Strecke mit der Länge $5\;\text{cm}$ auf dein Blatt.
  • Setze nun die Zirkelnadel jeweils in die Eckpunkte und zeichne ein Kreis mit Radius $5\;\text{cm}$ um diese Punkte.
  • Die beiden Kreise schneidet sich in einem Punkt. Dieser Schnittpunkt entspricht einem Eckpunkt des Dreiecks.
  • Verbinde nun die Eckpunkte und du erhältst das gesuchte Dreieck.
b)
Du sollst zuerst eine Planfigur erstellen. Dafür zeichnest du ein beliebiges Dreieck und beschriftest die Ecken, Seiten und Winkel.
  • Ecken: $A$, $B$ und $C$ gegen den Uhrzeigersinn
  • Winkel: $\alpha$ bei der Ecke $A$, $\beta$ bei der Ecke $B$ und $\gamma$ bei der Ecke $C$
  • Seiten: $a$ gegenüber der Ecke $A$, $b$ gegenüber der Ecke $B$ und $c$ gegenüber der Ecke $C$
Trage die gegebenen Werte ein. Mit Hilfe der Skizze kannst du das Dreieck konstruieren.
  • Trage zuerst die Seite $a$ mit einer Länge von $4\;\text{cm}$ auf dein Blatt ein.
  • Setze in die Eckpunkte nun die Zirkelnadel und zeichne jeweils einen Kreis mit Radius $6\;\text{cm}$ um die Punkte.
  • Es ergibt sich ein Schnittpunkt, der dem Punkt $C$ des Dreiecks entspricht.
  • Verbinde die Punkte $A,B$ und $C$ und du erhältst das gesuchte Dreieck.
c)
Du sollst zuerst eine Planfigur erstellen. Dafür zeichnest du ein beliebiges Dreieck und beschriftest die Ecken, Seiten und Winkel.
  • Ecken: $A$, $B$ und $C$ gegen den Uhrzeigersinn
  • Winkel: $\alpha$ bei der Ecke $A$, $\beta$ bei der Ecke $B$ und $\gamma$ bei der Ecke $C$
  • Seiten: $a$ gegenüber der Ecke $A$, $b$ gegenüber der Ecke $B$ und $c$ gegenüber der Ecke $C$
Trage die gegebenen Werte ein.Mit Hilfe der Skizze kannst du das Dreieck konstruieren.
  • Trage zuerst eine Seite mit bekannter Länge auf dein Blatt ein, zum Beispiel $a$ mit einer Länge von $7\;\text{cm}$.
  • Zeichne nun mithilfe des Geodreiecks einen Winkel von $60°$ zur Strecke $a$ ein.
  • Zeichne eine Strecke mit der Länge $5,5\;\text{cm}$ im passenden Winkel ein.
  • Verbinde die Eckpunkte und du erhältst das gesuchte Dreieck.
#dreieck#winkel

Aufgabe 3

a)
Um das Dreieck zu zeichnen, sollsst du dir zur Übersicht zuerst eine Planskizze erstellen. Dafür zeichnest du ein beliebiges Dreieck und beschriftest die Ecken, Seiten und Winkel.
  • Ecken: $A$, $B$ und $C$ gegen den Uhrzeigersinn
  • Winkel: $\alpha$ bei der Ecke $A$, $\beta$ bei der Ecke $B$ und $\gamma$ bei der Ecke $C$
  • Seiten: $a$ gegenüber der Ecke $A$, $b$ gegenüber der Ecke $B$ und $c$ gegenüber der Ecke $C$
Trage dann die gegebenen Werte ein.
Mit Hilfe dieser Skizze kannst du nun das Dreieck konstruieren:
  • Trage eine Seite mit bekannter Länge auf dein Blatt ein, zum Beispiel die Strecke $a$ mit einer Länge von $5\;\text{cm}$.
  • Der Winkel zwischen $a$ und $b$ beträgt $45°$. Messe diesen Winkel mit dem Geodreieck ab und zeichne den Winkel ein.
  • Die Strecke $b$ soll $7\;\text{cm}$ lang sein, messe die Strecke mit dem Geodreieck ab und trage sie ein.
  • Verbinde nun die Punkte $A$ und $B$ und du erhältst das gesuchte Dreieck.
b)
Um das Dreieck zu zeichnen, sollst du dir zur Übersicht zuerst eine Planskizze erstellen. Dafür zeichnest du ein beliebiges Dreieck und beschriftest die Ecken, Seiten und Winkel.
  • Ecken: $A$, $B$ und $C$ gegen den Uhrzeigersinn
  • Winkel: $\alpha$ bei der Ecke $A$, $\beta$ bei der Ecke $B$ und $\gamma$ bei der Ecke $C$
  • Seiten: $a$ gegenüber der Ecke $A$, $b$ gegenüber der Ecke $B$ und $c$ gegenüber der Ecke $C$
Trage dann die gegebenen Werte ein.
Mit Hilfe dieser Skizze kannst du nun das Dreieck konstruieren:
  • Trage eine Seite mit bekannter Länge auf dein Blatt ein, zum Beispiel $c$ mit einer Länge von $6\;\text{cm}$.
  • Die Seite $b$ kannst du konstruieren, indem du die Zirkelnadel in den Punkt $A$ setzt und einen Kreis mit dem Radius $3,5\;\text{cm}$ einzeichnest.
  • Die Seite $a$ kannst du konstruieren, indem du die Zirkelnadel in den Punkt $B$ setzt und einen Kreis mit dem Radius $4\;\text{cm}$ einzeichnest.
  • Es ergibt sich ein Schnittpunkt der dem Punkt $C$ im Dreieck entspricht. Verbinde die Punkte $A$,$B$ und $C$ und du erhältst das gesuchte Dreieck.
c)
Um das Dreieck zu zeichnen, sollst du dir zur Übersicht zuerst eine Planskizze erstellen. Dafür zeichnest du ein beliebiges Dreieck und beschriftest die Ecken, Seiten und Winkel.
  • Ecken: $A$, $B$ und $C$ gegen den Uhrzeigersinn
  • Winkel: $\alpha$ bei der Ecke $A$, $\beta$ bei der Ecke $B$ und $\gamma$ bei der Ecke $C$
  • Seiten: $a$ gegenüber der Ecke $A$, $b$ gegenüber der Ecke $B$ und $c$ gegenüber der Ecke $C$
Trage dann die gegebenen Werte ein.
Mit Hilfe dieser Skizze kannst du nun das Dreieck konstruieren:
  • Trage die Seite $c$ mit einer Länge von $6,5\;\text{cm}$ auf dein Blatt ein.
  • Messe am Punkt $A$ einen Winkel von $35°$ zur Seite $c$ ab und zeichne eine Gerade ein.
  • Messe am Punkt $B$ einen Winkel von $65°$ zur Seite $c$ ab und zeichne eine Gerade ein.
  • Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt $C$ des Dreiecks.
  • Verbinde die Punkte $A,B$ und $C$ und du erhältst das gesuchte Dreieck.
#winkel#dreieck

Aufgabe 4

  • Trage am Punkt $A$ einen Winkel von $90°$ zur Strecke $c$ ein.
  • Die Geraden schneiden sich im Punkt $C$. Verbinde die Punkte $A,B$ und $C$ zu einem Dreieck.
  • Messe nun die Seite $b$ ab. Die Seite ist ca.$16,2\;\text{cm}$ lang. Wenn du den Maßstab wieder umrechnest, erhältst du $b'=324\;\text{m}$.
Der Eifelturm ist also ca. $324\;\text{m}$ hoch.
#winkel#dreieck

Aufgabe 5

  • Wähle den passenden Maßstab, sodass die Zeichnung auf ein Blatt passt. In diesem Fall wäre es sinnvoll anzunehmen, dass $0,1\;\text{m}$ in der Realität, $0,5\;\text{cm}$ auf dem Blatt entspricht.
  • Wenn du die Länge der Seite $a'=370\;\text{m}$ in den gewählten Maßstab umrechnest, ergibt sich $a=15\;\text{cm}$.
  • Konstruiere das Dreieck im gewählten Masßstab. Zeichne dazu zuerst die Seite $a$ mit $15\;\text{cm}$ auf dein Blatt. Messe mit dem Geodreieck bei $B$ den Winkel $90°$ und bei $C$ den Winkel $60°$ ab. Zeichne im passenden Winkel zwei Geraden ein. Diese schneiden sich im Punkt $A$. Verbinde die Punkte und du erhältst das gesuchte Dreieck.
  • Messe die Seite $b$ ab. Die Seite $b$ ist auf dem Blatt $30\;\text{cm}$ lang. Somit ist die Seite $b'$ und somit das Seil in der Realität $600\;\text{m}$ lang.
Das Seil der Bergbahn muss also mindestens $600\;\text{m}$ lang sein.
#winkel#dreieck
Bildnachweise [nach oben]
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