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Flächeninhalt

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

In der Ebene: Flächeninhalt
Abb. 1: Aussicht vom London Eye
In der Ebene: Flächeninhalt
Abb. 1: Aussicht vom London Eye
a)
Berechne den Radius des Riesenrads.
b)
Berechne den Flächeninhalt des Riesenrads.
#kreis#flächeninhalt#radius

Aufgabe 1

Berechne den Flächeninhalt der Kreise und runde auf zwei Dezimalstellen.
b)
r = $ 6\,\text{cm} $
d)
r = $ 20\,\text{mm} $
f)
d = $ 7,4\,\text{m} $
h)
r = $ 1,5\,\text{dm} $
j)
r = $ 8,1\,\text{m} $
l)
r = $ 100\,\text{mm} $
#kreis#flächeninhalt

Aufgabe 2

In der Ebene: Flächeninhalt
Abb. 2: Gewächshaus
In der Ebene: Flächeninhalt
Abb. 2: Gewächshaus
#flächeninhalt

Aufgabe 3

Wie groß ist der Durchmesser, der Radius und der Flächeninhalt einer 10-Cent-Münze, einer 1-Euro-Münze und einer 2-Euro-Münze?
Schätze zuerst, miss dann nach und berechne den Flächeninhalt auf zwei Dezimalstellen nach dem Komma.
#flächeninhalt#durchmesser#radius

Aufgabe 4

Ein Kreis und ein Quadrat haben den gleichen Umfang von $ 12,56\,\text{cm} $.
Berechne, welche Figur den größeren Flächeninhalt hat.
#quadrat#flächeninhalt#kreis

Aufgabe 5

Ergänze die Tabelle.
a)b)c)d)e)
Radius r$ 6\,\text{cm} $ $ 1,5\,\text{m} $
Durchmesser d$ 70\,\text{cm} $
Umfang U$ 86,4\,\text{m} $
Flächeninhalt A$ 12,5\,\text{m}^2 $
#radius#umfang#durchmesser#flächeninhalt#tabelle
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Radius berechnen
Den Radius eines Kreises kannst du berechnen, indem du dessen Durchmesser durch 2 dividierst.
$\begin{array}[t]{rll} r&=&d : 2 \\[5pt] &=&130\;\text{m}\; : 2 \\[5pt] &=&65\;\text{m}\; \end{array}$
Der Radius des Riesenrads beträgt $65\;\text{m}\;$.
b)
Flächeninhalt berechnen
Die Formel, mit der du den Flächeninhalt eines Kreises berechnen kannst, kannst du dir wie folgt herleiten.
Als erstes schneidest du in Gedanken den Kreis in kleine Teilstücke, wie wenn du eine Pizza in Stücke schneiden würdest. Je kleiner die Stücke sind, desto genauer wird deine Berechnung. Diese Stücke legst du so zusammen, dass ein Rechteck entsteht.
Jetzt kannst du den Flächeninhalt des Rechtecks berechnen. Die Formel lautet $A=g\cdot h$.
Die Höhe des Rechtecks ist der Radius $r$ des Kreises. Die Länge ist solang wie drei mal der Radius $r$ des Kreises und ein kleines Stück noch dazu. Die Länge kannst du berechnen und erhältst $r\cdot \pi$.
Der Flächeninhalt des Rechtecks ist somit: $A=r\cdot\pi\cdot r =\pi \cdot r^2$.
Da das Rechteck nur aus Teilstücken des Kreises besteht, kannst du mit dieser Formel den Flächeninhalt des Kreises berechnen.
$A=\pi\cdot r^2$
$A=\pi\cdot r \cdot r$
$A=\pi\cdot r^2$
$A=\pi\cdot r \cdot r$
Um nun den Flächeninhalt von Big Ben zu berechnen, benötigst du den Radius. Den Radius hast du ja schon in der ersten Aufgabe berechnet. Jetzt musst du dein Ergebnis nur noch in die Formel einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\pi \cdot r^2 \\[5pt] &=&\pi \cdot (65\;\text{m})^2 \\[5pt] &=&13.273,23\; \text{m}^2 \end{array}$
Ein reguläres Fußballfeld hat ungefähr einen Flächeninhalt von $7.140\;\text{m}^2$. Um das Riesenrad auf den Boden legen zu können, bräuchte man eine Fläche von $13.273\;\text{m}^2$. Das ist fast so eine große Fläche wie zwei Fußballfelder zusammen.
#radius#kreis#flächeninhalt

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Mit Hilfe der Formeln, die du bisher kennen gelernt hast, kannst du jetzt die Flächeninhalte berechnen.
Rechne mit $\pi$ = 3,14. Runde auf zwei Dezimalstellen nach dem Komma.
$ A = r^2 \cdot \pi $
$ A = r \cdot r \cdot \pi $
$ r = d : 2 $
$ A = r^2 \cdot \pi $
$ A = r \cdot r \cdot \pi $
$ r = d : 2 $
a)
$\begin{array}[t]{rll} A&=&r \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot \pi \\[5pt] &\approx& 12,56\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt ungefähr $12,56\,\text{cm}^2$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} A&=&r \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& 6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \cdot \pi \\[5pt] &\approx& 113,04\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt ungefähr $113,04\,\text{cm}^2$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} r&=&d : 2 \\[5pt] &=& 3,6\,\text{cm} : 2 \\[5pt] &=& 1,8\,\text{cm} \end{array}$
Der Radius beträgt $1,8\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&r \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& 1,6\,\text{cm} \cdot 1,6\,\text{cm} \cdot \pi \\[5pt] &\approx& 8,04\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt ungefähr $8,04\,\text{cm}^2$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} A&=&r \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& 20\,\text{mm} \cdot 20\,\text{mm} \cdot \pi \\[5pt] &\approx& 1.256\,\text{mm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt ungefähr $1.256\,\text{mm}^2$.
e)
$\begin{array}[t]{rll} A&=&r \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& 15\,\text{m} \cdot 15\,\text{m} \cdot \pi \\[5pt] &\approx& 706,5\,\text{m}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt ungefähr $706,5\,\text{m}^2$.
f)
$\begin{array}[t]{rll} r&=&d : 2 \\[5pt] &=& 7,4\,\text{m} : 2 \\[5pt] &=& 3,7\,\text{m} \end{array}$
Der Radius beträgt $3,7\,\text{m}$.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&r \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& 3,7\,\text{m} \cdot 3,7\,\text{m} \cdot \pi \\[5pt] &\approx& 42,99\,\text{m}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt ungefähr $42,99\,\text{m}^2$.
g)
$\begin{array}[t]{rll} r&=&d : 2 \\[5pt] &=& 6,2\,\text{m} : 2 \\[5pt] &=& 3,1\,\text{m} \end{array}$
Der Radius beträgt $3,1\,\text{m}$.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&r \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& 3,1\,\text{m} \cdot 3,1\,\text{m} \cdot \pi \\[5pt] &\approx& 30,18\,\text{m}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt ungefähr $30,18\,\text{m}^2$.
h)
$\begin{array}[t]{rll} A&=&r \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& 1,5\,\text{dm} \cdot 1,5\,\text{dm} \cdot \pi \\[5pt] &\approx& 7,07\,\text{dm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt ungefähr $7,07\,\text{dm}^2$.
i)
$\begin{array}[t]{rll} r&=&d : 2 \\[5pt] &=& 12,4\,\text{cm} : 2 \\[5pt] &=& 6,2\,\text{cm} \end{array}$
Der Radius beträgt $6,2\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&r \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& 6,2\,\text{cm} \cdot 6,2\,\text{cm} \cdot \pi \\[5pt] &\approx& 120,70\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt ungefähr $120,70\,\text{cm}^2$.
j)
$\begin{array}[t]{rll} A&=&r \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& 8,1\,\text{m} \cdot 8,1\,\text{m} \cdot \pi \\[5pt] &\approx& 206,02\,\text{m}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt ungefähr $206,02\,\text{m}^2$.
k)
$\begin{array}[t]{rll} A&=&r \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& 10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \cdot \pi \\[5pt] &\approx& 314\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt ungefähr $314\,\text{cm}^2$.
l)
$\begin{array}[t]{rll} A&=&r \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& 100\,\text{mm} \cdot 100\,\text{mm} \cdot \pi \\[5pt] &\approx& 31.400\,\text{mm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt ungefähr $31.400\,\text{mm}^2$.
#flächeninhalt

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Den Radius des Kreises, welcher von dem Wassersprenkler besprüht wird, hast du bereits gegeben. Berechne nun mit der Formel aus der Einführungsaufgabe den Flächeninhalt des Kreises, um zu erfahren, welche Fläche von dem Wassersprenkler bewässert wird.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& r \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& 4\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} \cdot \pi \\[5pt] &=& 50,24\,\text{m}^2 \end{array}$
Die Fläche, die vom Wassersprenkler bewässert werden kann, beträgt $50,24\,\text{m}^2$.
b)
$\blacktriangleright$ Menge der Wassersprenkler berechnen
Mit dem von dir errechneten Flächeninhalt kannst du nun berechnen, wie viele Wassersprenkler für das gesamte Gewächshaus benötigt werden. Bei der Rechnung kannst du die Einheiten auch weglassen.
$\begin{array}[t]{rll} M&=& A_{Gewächshaus} : A_{Sprenkler} \\[5pt] &=& 200\,\text{} : 50,24\,\text{} \\[5pt] &\approx& 3,98 \end{array}$
Man bräuchte $ \,\text{4} $ Wassersprenkler, um das gesamte Gewächshaus bewässern zu können.
#durchmesser#radius#flächeninhalt

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Durchmesser messen, Radius und Flächeninhalt berechnen
a)
10-Cent-Münze
Gemessen: Durchmesser = $ 19\,\text{mm} $
$\begin{array}[t]{rll} r&=&d : 2 \\[5pt] &=& 19\,\text{mm} : 2 \\[5pt] &=& 9,5\,\text{mm} \end{array}$
Der Radius einer 10-Cent-Münze beträgt $9,5\,\text{mm}$.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&r \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& 9,5\,\text{mm} \cdot 9,5\,\text{mm} \cdot \pi \\[5pt] &\approx& 283,39\,\text{mm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt einer 10-Cent-Münze beträgt ungefähr $283,39\,\text{mm}^2$.
b)
1-Euro-Münze
Gemessen: Durchmesser = $ 24\,\text{mm} $
$\begin{array}[t]{rll} r&=&d : 2 \\[5pt] &=& 24\,\text{mm} : 2 \\[5pt] &=& 12\,\text{mm} \end{array}$
Der Radius einer 1-Euro-Münze beträgt $12\,\text{mm}$.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&r \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& 12\,\text{mm} \cdot 12\,\text{mm} \cdot \pi \\[5pt] &\approx& 452,16\,\text{mm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt einer 1-Euro-Münze beträgt ungefähr $452,16\,\text{mm}^2$.
c)
2-Euro-Münze
Gemessen: Durchmesser = $ 26\,\text{mm} $
$\begin{array}[t]{rll} r&=&d : 2 \\[5pt] &=& 26\,\text{mm} : 2 \\[5pt] &=& 13\,\text{mm} \end{array}$
Der Radius einer 2-Euro-Münze beträgt $13\,\text{mm}$.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&r \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& 13\,\text{mm} \cdot 13\,\text{mm} \cdot \pi \\[5pt] &\approx& 530,66\,\text{mm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt einer 2-Euro-Münze beträgt ungefähr $530,66\,\text{mm}^2$.
#radius#flächeninhalt#durchmesser

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Anhand der nachfolgenden Formeln kannst du den Flächeninhalt des Kreises und des Quadrats berechnen.
Formeln für das Quadrat
$ a = U : 4 $
$A = a \cdot a$
$(a = Seitenlänge) $
Formeln für das Quadrat
$ a = U : 4 $
$A = a \cdot a$
$(a = Seitenlänge) $
$\begin{array}[t]{rll} d&=& U : \pi \\[5pt] &=& 12,56\,\text{cm} : \pi \\[5pt] &=& 4\,\text{cm} \end{array}$
Der Durchmesser des Kreises beträgt $4\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} r&=& d : 2 \\[5pt] &=& 4\,\text{cm} : 2 \\[5pt] &=& 2\,\text{cm} \end{array}$
Der Radius des Kreises beträgt $2\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&r \cdot r \cdot \pi \\[5pt] &=& 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot \pi \\[5pt] &\approx& 12,56\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Kreises beträgt ungefähr $12,56\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} a&=&U : 4 \\[5pt] &=& 12,56\,\text{cm} : 4 \\[5pt] &=& 3,14\,\text{cm} \end{array}$
Das Quadrat besitzt die Seitenlänge $ a = 3,14\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&a \cdot a \\[5pt] &=& 3,14\,\text{cm} \cdot 3,14\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 9,86\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt ungefähr $9,86\,\text{cm}^2$.
Der Kreis besitzt den größeren Flächeninhalt mit $12,56\,\text{cm}^2$.
#flächeninhalt#kreis#quadrat

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Tabelle ergänzen
a)b)c)d)e)
Radius r$ 6\,\text{cm} $ $ 35\,\text{cm} $$ 1,5\,\text{m} $ $ 13,76\,\text{m} $$ 1,98\,\text{cm} $
Durchmesser d$ 12\,\text{cm} $$ 70\,\text{cm} $ $ 3\,\text{m} $$ 27,51\,\text{m} $$ 3,96\,\text{cm} $
Umfang U$ 37,68\,\text{cm} $$ 219,8\,\text{cm} $$ 9,42\,\text{m} $$ 86,4\,\text{m} $ $ 12,34\,\text{cm} $
Flächeninhalt A$ 113,04\,\text{cm}^2 $$ 3846,5\,\text{cm}^2 $$ 7,07\,\text{m}^2 $$ 594,52\,\text{m}^2 $$ 12,5\,\text{cm}^2 $
#durchmesser#radius#flächeninhalt#umfang#tabelle
Bildnachweise [nach oben]
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