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Kreisringe

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Ein Abflussrohr hat den Außenradius $r_{1}= 10\,\text{cm} $ und den Innenradius $r_{2}= 8\,\text{cm} $.
Flächen: Kreisringe
Abb. 1:Abflussrohr
Flächen: Kreisringe
Abb. 1:Abflussrohr
a)
Berechne den Flächeninhalt und des Umfang des Kreisrings.
b)
Erkläre, wie sich der Flächeninhalt eines Kreisrings in den Fällen A - E in der Tabelle verändert.
Radius $r_{1} $ Radius $r_{2} $
Agrößergleich
Bgleichkleiner
Ckleinergleich
Dgleichgrößer
Egrößerkleiner
#kreisring#umfang#flächeninhalt

Aufgabe 1

Berechne den Flächeninhalt der Kreisringe.
a)b)c)d)e)
$ r_{1}\,\text{} $$ 6\,\text{cm} $$ 7\,\text{cm} $$ 14\,\text{cm} $$ 65\,\text{mm} $$ 1,5\,\text{m} $
$ r_{2}\,\text{} $$ 3\,\text{cm} $$ 4,2\,\text{cm} $$ 10\,\text{cm} $$ 32\,\text{mm} $$ 0,75\,\text{m} $
#flächeninhalt#kreisring

Aufgabe 2

Berechne den Umfang der Kreisringe mit Hilfe der gegebenen Radien.
a)
$ r_{1} = 6\,\text{cm} $ und $ r_{2} = 2\,\text{cm} $
b)
$ r_{1} = 4\,\text{cm} $ und $ r_{2} = 1,5\,\text{cm} $
c)
$ r_{1} = 10\,\text{cm} $ und $ r_{2} = 7,3\,\text{cm} $
d)
$ r_{1} = 8,6\,\text{cm} $ und $ r_{2} = 2,5\,\text{cm} $
#umfang#kreisring

Aufgabe 3

In dieser Aufgabe hast du nun entweder $ r_{1} \,\text{} $ und $ r_{2} \,\text{} $ gegeben, oder die Breite des Kreisrings $ \text{Breite}_{Kr}$ und einen der Radien.
Berechne die Breite oder den fehlenden Radius der Kreisringe.
a)
$ r_{1} = 14 \,\text{cm} $ und $ r_{2} = 10 \,\text{cm} $
b)
$ r_{2} = 12 \,\text{cm} $ und $ \text{Breite}_{Kr} = 15 \,\text{cm} $
c)
$ r_{1} = 24,5 \,\text{cm} $ und $ \text{Breite}_{Kr} = 6,5 \,\text{cm} $
d)
$ r_{1} = 1,46 \,\text{m} $ und $ r_{2} = 1,20 \,\text{m} $
e)
$ r_{1} = 13,8 \,\text{cm} $ und $ \text{Breite}_{Kr} = 4,2 \,\text{cm} $
f)
$ r_{2} = 7,5 \,\text{m} $ und $ \text{Breite}_{Kr} = 1,3 \,\text{m} $
g)
$ r_{1} = 2,20 \,\text{m} $ und $ r_{2} = 1,10 \,\text{m} $
#kreisring#radius

Aufgabe 4

Um einen kreisrunden Teich mit einem Durchmesser von $ 12\,\text{m} $ soll ein $ 2\,\text{m} $ breiter Weg aus Pflastersteinen gelegt werden.
a)
Zeichne den Teich und den Weg und trage die gegebenen Maße ein.
b)
Wie viele Pflastersteine werden benötigt, wenn pro $ \text{m}^2 $ $ 100\,\text{} $ Stück gerechnet werden?
#flächeninhalt#kreisring

Aufgabe 5

Flächen: Kreisringe
Abb. 2: Ein Brunnen eingefasst mit Steinen.
Flächen: Kreisringe
Abb. 2: Ein Brunnen eingefasst mit Steinen.
Der Brunnen auf dem Marktplatz hat die Form eines Kreisrings. Die Wasseroberfläche im Brunnen beträgt $ 10,2\,\text{m}^2 $. Wenn die Außenseite des Brunnens an Festtagen mit einer Girlande geschmückt wird, muss diese $ 12,6\,\text{m} $ lang sein.
Wie dick ist die Steinmauer des Brunnens?
#kreisring
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

Flächen: Kreisringe
Abb. 1:Abflussrohr
Flächen: Kreisringe
Abb. 1:Abflussrohr
a)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt und Umfang berechnen
In dieser Aufgabe sollst du nun lernen, wie man den Flächeninhalt und den Umfang eines Kreisrings berechnet.
Um den Flächeninhalt eines Kreisrings zu berechnen kannst du folgende Formeln nutzen:
Flächeninhalt
$A_{Kr}= \pi \cdot ((r_{1}) ^2 - (r_{2})^2)$
$A_{Kr} = A_{r_{1}} \cdot A_{r_{2}}$
Flächeninhalt
$A_{Kr}= \pi \cdot ((r_{1}) ^2 - (r_{2})^2)$
$A_{Kr} = A_{r_{1}} \cdot A_{r_{2}}$
Die Radien hast du durch den Außenradius $r_{1}= 10\,\text{cm} $ und den Innenradius $r_{2}= 8\,\text{cm} $ des Abflussrohres schon gegeben. Setze nun die Zahlen in die Formel ein und berechne den Flächeninhalt.
$\begin{array}[t]{rll} A_{Kr}&=& \pi \cdot ((r_{1}) ^2\,\text{} - (r_{2})^2)\,\text{} \\[5pt] &=&\pi \cdot ((10 \,\text{cm})^2 - (8\,\text{cm})^2) \\[5pt] &=&\pi \cdot (100\,\text{cm}^2 - 64,\text{cm}^2) \\[5pt] &=&\pi \cdot 36\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 113,10\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Kreisrings beträgt ungefähr $113,10\,\text{cm}^2$.
Um den Umfang des Kreisrings berechnen zu können, benötigst du folgende Formel:
Umfang
$U_{Kr}= 2\pi \cdot (r_{1} + r_{2})$
Umfang
$U_{Kr}= 2\pi \cdot (r_{1} + r_{2})$
Berechne nun anhand der dir gegebenen Radien auch den Umfang des Kreisrings, indem du die Zahlen in die Formel einsetzt.
$\begin{array}[t]{rll} U_{Kr}&=& 2\pi \cdot (r_{1}\,\text{} + r_{2}\,\text{}) \\[5pt] &=&2\pi \cdot (10\,\text{cm} + 8\,\text{cm}) \\[5pt] &=&2\pi \cdot 18\,\text{cm} \\[5pt] &=& \pi \cdot 36\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 113,10\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des Kreisrings beträgt ungefähr $113,10\,\text{cm}$.
b)
$\blacktriangleright$ Veränderung des Flächeninhalts anhand der Tabelle erklären.
Radius $r_{1} $ Radius $r_{2} $
Agrößergleich
Bgleichkleiner
Ckleinergleich
Dgleichgrößer
Egrößerkleiner
A:
Flächeninhalt des Kreisrings wird größer.
B:
Flächeninhalt des Kreisrings wird größer.
C:
Flächeninhalt des Kreisrings wird kleiner.
D:
Flächeninhalt des Kreisrings wird kleiner.
E:
Flächeninhalt des Kreisrings wird größer.
#flächeninhalt#kreisring#umfang

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
In der Einführungsaufgabe hast du nun gelernt, wie man den Flächeninhalt eines Kreisrings berechnen kann. Nutze die Formel auch in dieser Aufgabe und setze die gegebenen Radien ein.
Flächeninhalt
$A_{Kr}= \pi \cdot ((r_{1}) ^2 - (r_{2})^2)$
$A_{Kr} = A_{r_{1}} \cdot A_{r_{2}}$
Flächeninhalt
$A_{Kr}= \pi \cdot ((r_{1}) ^2 - (r_{2})^2)$
$A_{Kr} = A_{r_{1}} \cdot A_{r_{2}}$
a)b)c)d)e)
$ r_{1}\,\text{} $$ 6\,\text{cm} $$ 7\,\text{cm} $$ 14\,\text{cm} $$ 65\,\text{mm} $$ 1,5\,\text{m} $
$ r_{2}\,\text{} $$ 3\,\text{cm} $$ 4,2\,\text{cm} $$ 10\,\text{cm} $$ 32\,\text{mm} $$ 0,75\,\text{m} $
a)
$\begin{array}[t]{rll} A_{Kr}&=& \pi \cdot ((r_{1}) ^2\,\text{} - (r_{2})^2)\,\text{} \\[5pt] &=&\pi \cdot ((6 \,\text{cm})^2 - (3\,\text{cm})^2) \\[5pt] &=&\pi \cdot (36\,\text{cm}^2 - 9\,\text{cm}^2) \\[5pt] &=&\pi \cdot 27\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 84,82\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Kreisrings beträgt ungefähr $84,82\,\text{cm}^2$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} A_{Kr}&=& \pi \cdot ((r_{1}) ^2\,\text{} - (r_{2})^2)\,\text{} \\[5pt] &=&\pi \cdot ((7 \,\text{cm})^2 - (4,2\,\text{cm})^2) \\[5pt] &=&\pi \cdot (49\,\text{cm}^2 - 17,64\,\text{cm}^2) \\[5pt] &=&\pi \cdot 31,36\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 98,52\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Kreisrings beträgt ungefähr $98,52\,\text{cm}^2$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} A_{Kr}&=& \pi \cdot ((r_{1}) ^2\,\text{} - (r_{2})^2)\,\text{} \\[5pt] &=&\pi \cdot ((14 \,\text{cm})^2 - (10\,\text{cm})^2) \\[5pt] &=&\pi \cdot (196\,\text{cm}^2 - 100\,\text{cm}^2) \\[5pt] &=&\pi \cdot 96\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 301,59\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Kreisrings beträgt ungefähr $301,59\,\text{cm}^2$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} A_{Kr}&=& \pi \cdot ((r_{1}) ^2\,\text{} - (r_{2})^2)\,\text{} \\[5pt] &=&\pi \cdot ((65 \,\text{mm})^2 - (32\,\text{mm})^2) \\[5pt] &=&\pi \cdot (4.225\,\text{mm}^2 - 1.024\,\text{mm}^2) \\[5pt] &=&\pi \cdot 3201\,\text{mm}^2 \\[5pt] &\approx& 10.056,24\,\text{mm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Kreisrings beträgt ungefähr $10.056,24\,\text{mm}^2$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} A_{Kr}&=& \pi \cdot ((r_{1}) ^2\,\text{} - (r_{2})^2)\,\text{} \\[5pt] &=&\pi \cdot ((1,5 \,\text{m})^2 - (0,75\,\text{m})^2) \\[5pt] &=&\pi \cdot (2,25\,\text{m}^2 - 0,5625\,\text{m}^2) \\[5pt] &=&\pi \cdot 1,6875\,\text{m}^2 \\[5pt] &\approx& 5,30\,\text{m}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Kreisrings beträgt ungefähr $5,30\,\text{m}^2$.
#flächeninhalt#kreisring

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Umfang berechnen
Anhand der Formel aus der Einführungsaufgabe kannst du mit Hilfe der gegebenen Radien den Umfang berechnen. Setze dafür die Zahlen in die Formel ein.
Umfang
$U_{Kr}= 2\pi \cdot (r_{1} + r_{2})$
Umfang
$U_{Kr}= 2\pi \cdot (r_{1} + r_{2})$
a)
$\begin{array}[t]{rll} U_{Kr}&=& 2\pi \cdot (r_{1}\,\text{} + r_{2}\,\text{}) \\[5pt] &=&2\pi \cdot (6\,\text{cm} + 2\,\text{cm}) \\[5pt] &=&2\pi \cdot 8\,\text{cm} \\[5pt] &=& \pi \cdot 16\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 50,27\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des Kreisrings beträgt ungefähr $50,27\,\text{cm}$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} U_{Kr}&=& 2\pi \cdot (r_{1}\,\text{} + r_{2}\,\text{}) \\[5pt] &=&2\pi \cdot (4\,\text{cm} + 1,5\,\text{cm}) \\[5pt] &=&2\pi \cdot 5,5\,\text{cm} \\[5pt] &=& \pi \cdot 11\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 34,56\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des Kreisrings beträgt ungefähr $34,56\,\text{cm}$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} U_{Kr}&=& 2\pi \cdot (r_{1}\,\text{} + r_{2}\,\text{}) \\[5pt] &=&2\pi \cdot (10\,\text{cm} + 7,3\,\text{cm}) \\[5pt] &=&2\pi \cdot 17,3\,\text{cm} \\[5pt] &=& \pi \cdot 34,6\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 108,70\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des Kreisrings beträgt ungefähr $108,70\,\text{cm}$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} U_{Kr}&=& 2\pi \cdot (r_{1}\,\text{} + r_{2}\,\text{}) \\[5pt] &=&2\pi \cdot (8,6\,\text{cm} + 2,5\,\text{cm}) \\[5pt] &=&2\pi \cdot 11,1\,\text{cm} \\[5pt] &=& \pi \cdot 22,2\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 69,74\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des Kreisrings beträgt ungefähr $69,74\,\text{cm}$.
#kreisring#umfang

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Breite oder fehlenden Radius berechnen
In dieser Aufgabe hast du nun entweder $ r_{1}\,\text{} $ und $ r_{2}\,\text{} $ gegeben, oder die Breite des Kreisrings $ \text{Breite}_{Kr}$ und einen der Radien. Mit Hilfe der folgenden Formeln kannst du den fehlenden Wert berechnen.
$\text{Breite}_{Kr}= r_{1} \,\text{} - r_{2} \,\text{}$
$r_{1} \,\text{}= r_{2} \,\text{} + \text{Breite}_{Kr} $
$r_{2} \,\text{}= r_{1} \,\text{} - \text{Breite}_{Kr} $
$\text{Breite}_{Kr}= r_{1} \,\text{} - r_{2} \,\text{}$
$r_{1} \,\text{}= r_{2} \,\text{} + \text{Breite}_{Kr} $
$r_{2} \,\text{}= r_{1} \,\text{} - \text{Breite}_{Kr} $
a)
$\begin{array}[t]{rll} \text{Breite}_{Kr}&=& r_{1} \,\text{} - r_{2} \,\text{} \\[5pt] &=& 14\,\text{cm} - 10\,\text{cm} \\[5pt] &=& 4\,\text{cm} \end{array}$
Die Breite des Kreisrings beträgt $4\,\text{cm}$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} r_{1} \,\text{}&=& r_{2} \,\text{} + \text{Breite}_{Kr} \\[5pt] &=& 12\,\text{cm} + 15\,\text{cm} \\[5pt] &=& 27\,\text{cm} \end{array}$
Der Außenradius $ r_{1}\,\text{} $ des Kreisrings beträgt $27\,\text{cm}$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} r_{2} \,\text{}&=& r_{1} \,\text{} - \text{Breite}_{Kr} \\[5pt] &=& 24,5\,\text{cm} - 6,5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 18\,\text{cm} \end{array}$
Der Außenradius $ r_{2}\,\text{} $ des Kreisrings beträgt $18\,\text{cm}$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} \text{Breite}_{Kr}&=& r_{1} \,\text{} - r_{2} \,\text{} \\[5pt] &=& 1,46\,\text{m} - 1,20\,\text{m} \\[5pt] &=& 0,26\,\text{m} \end{array}$
Die Breite des Kreisrings beträgt $0,26\,\text{m}$.
e)
$\begin{array}[t]{rll} r_{2} \,\text{}&=& r_{1} \,\text{} - \text{Breite}_{Kr} \\[5pt] &=& 13,8\,\text{cm} - 4,2\,\text{cm} \\[5pt] &=& 9,6\,\text{cm} \end{array}$
Der Außenradius $ r_{2}\,\text{} $ des Kreisrings beträgt $9,6\,\text{cm}$.
f)
$\begin{array}[t]{rll} r_{1} \,\text{}&=& r_{2} \,\text{} + \text{Breite}_{Kr} \\[5pt] &=& 7,5\,\text{m} + 1,3\,\text{m} \\[5pt] &=& 8,8\,\text{m} \end{array}$
Der Außenradius $ r_{1}\,\text{} $ des Kreisrings beträgt $8,8\,\text{m}$.
g)
$\begin{array}[t]{rll} \text{Breite}_{Kr}&=& r_{1} \,\text{} - r_{2} \,\text{} \\[5pt] &=& 2,20\,\text{m} - 1,10\,\text{m} \\[5pt] &=& 1,10\,\text{m} \end{array}$
Die Breite des Kreisrings beträgt $1,10\,\text{m}$.
#radius#kreisring

Aufgabe 4

Um einen kreisrunden Teich mit einem Durchmesser von $ 12\,\text{m} $ soll ein $ 2\,\text{m} $ breiter Weg aus Pflastersteinen gelegt werden.
a)
$\blacktriangleright$ Teich und Weg mit Maßen zeichnen
Flächen: Kreisringe
Abb. 2: Teich und Steinweg
Flächen: Kreisringe
Abb. 2: Teich und Steinweg
b)
$\blacktriangleright$ Wie viele Pflastersteine werden benötigt, wenn pro $ \text{m}^2 $ $ 100\,\text{} $ Stück gerechnet werden?
Bei dieser Aufgabe musst du in 3 Schritten vorgehen. Zuerst solltest du anhand der dir bekannten Formeln $r_{1}\,\text{}$ und $r_{2}\,\text{}$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} r_{2}\,\text{}&=& d : 2 \\[5pt] &=& 12\,\text{m} : 2 \\[5pt] &=& 6\,\text{m} \end{array}$
Der Innenradius $r_{2}\,\text{}$ des Kreisrings, also der Radius des Teichs, berägt $6\,\text{m}$.
$\begin{array}[t]{rll} r_{1}\,\text{}&=& r_{2}\,\text{} + \text{Breite}_{Kr} \\[5pt] &=& 6\,\text{m} + 2\,\text{m} &=& 8\,\text{m} \end{array}$
Der Außenradius $r_{1}\,\text{}$ des Kreisrings berägt $8\,\text{m}$.
Danach kannst du die errechneten Radien nutzen, um den Flächeninhalt des Kreisrings zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A_{Kr}&=& \pi \cdot ((r_{1}) ^2\,\text{} - (r_{2})^2)\,\text{} \\[5pt] &=&\pi \cdot ((8 \,\text{m})^2 - (6\,\text{m})^2) \\[5pt] &=&\pi \cdot (64\,\text{m}^2 - 36\,\text{m}^2) \\[5pt] &=&\pi \cdot 28\,\text{m}^2 \\[5pt] &\approx& 88\,\text{m}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Kreisrings beträgt ungefähr $88\,\text{m}^2$.
Wenn du den Flächeninhalt mit $100\,\dfrac{\text{Steine}}{\text{m}^2}$ multiplizierts, bekommst du schließlich die Anzahl der benötigten Pflastersteine.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Anzahl}_{St}&=&100\,\dfrac{\text{Steine}}{\text{m}^2} \cdot 88\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 8.800\,\text{Steine} \end{array}$
Es werden $8.800\,\text{Steine}$ benötigt, um den Weg pflastern zu können.
#flächeninhalt#kreisring

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Dicke der Steinmauer berechnen
Anhand des gegebenen Flächeninhalts des Brunnens kannst du mit folgender Formel $r_{2}\text{}$ bestimmen.
$r_{2}\text{}=\sqrt{\,\dfrac{\text{A}}{{\pi}}}$
$r_{2}\text{}=\sqrt{\,\dfrac{\text{A}}{{\pi}}}$
$\begin{array}[t]{rll} r_{2}\text{}&=& \sqrt{\,\dfrac{\text{A}}{{\pi}}} \\[5pt] &=&\sqrt{\,\dfrac{10,2\,\text{m}^2}{{\pi}}} \\[5pt] &=& \sqrt{3,25\,\text{m}^2} \\[5pt] &\approx& 1,80\,\text{m} \end{array}$
Der Innenradius des Brunnens beträgt ungefähr $1,80\,\text{m}$.
Mit Hilfe des gegebenen Umfangs des Brunnens kannst du nun auch $r_{1}\text{}$ bestimmen. Nutze dafür die folgenden Formeln.
$d = \,\dfrac{\text{U}}{{\pi}} $
$r_{1}\text{} = d : 2$
$d = \,\dfrac{\text{U}}{{\pi}} $
$r_{1}\text{} = d : 2$
$\begin{array}[t]{rll} d&=& \,\dfrac{\text{U}}{{\pi}} \\[5pt] &=& \,\dfrac{12,6\,\text{m}}{{\pi}} \\[5pt] &\approx& 4,00\,\text{m} \end{array}$
Der Durchmesser des Brunnens beträgt ungefähr $4,00\,\text{m}$.
$\begin{array}[t]{rll} r_{1}\text{}&=&d : 2 \\[5pt] &=&4,01\,\text{m} : 2 \\[5pt] &\approx& 2,00\,\text{m} \end{array}$
Der Außenradius des Brunnens beträgt ungefähr $2,00\,\text{m}$.
Da du nun $r_{1}\text{}$ und $r_{2}\text{}$ weißt, kannst du nun auch die Breite des Kreisrings, also die Dicke der Steinmauer bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Breite}_{Kr}&=& r_{1} \,\text{} - r_{2} \,\text{} \\[5pt] &=& 2,00\,\text{m} - 1,80\,\text{m} \\[5pt] &=& 0,20\,\text{m} \end{array}$
Die Breite des Kreisrings beträgt $0,20\,\text{m}$.
Die Steinmauer des Brunnens ist $0,20\,\text{m}$ dick.
#radius#kreisring#flächeninhalt
Bildnachweise [nach oben]
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