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Kreissektoren

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne einen Kreis mit dem Radius $r=5\,\text{cm}$. Markiere einen Kreissektor mit dem Winkel $µ=60°$ sowie den Kreisbogen $b$ dieses Kreissektors.
b)
Wie groß ist der Flächeninhalt und der Umfang des markierten Kreissektors wenn die Länge des Kreisbogens $b=5,24\,\text{cm}$ beträgt?
#kreis#flächeninhalt#umfang#radius#kreissektor

Aufgabe 1

Berechne den Umfang des Kreissektors mit den gegebenen Informationen.
a)
$r=4\,\text{cm}$ und $b=6\,\text{cm}$
b)
$r=3,5\,\text{cm}$ und $b=5\,\text{cm}$
c)
$r=16\,\text{cm}$ und $b=38\,\text{cm}$
d)
$r=7,5\,\text{cm}$ und $b=11\,\text{cm}$
#kreissektor#umfang

Aufgabe 2

Berechne den Flächeninhalt $A_S$ des Kreissektors mit den gegebenen Informationen.
a)
$r=6\,\text{cm}$; $µ=50°$
b)
$r=8\,\text{cm}$; $µ=10°$
c)
$b=5\,\text{cm}$; $µ=60°$
d)
$U=20\,\text{cm}$; $b=8\,\text{cm}$
#flächeninhalt#kreissektor

Aufgabe 3

a)
Du hast einen Kreis mit dem Flächeninhalt $A=16\pi$ gegeben. Berechne die Länge des Kreisbogens $b$, des Kreissektors, der $\frac{1}{5}$ des Flächeninhalts des Kreises besitzt.
b)
Der Umfang eines Kreises beträgt $9\pi$. Der Kreisbogen $b$ eines Kreissektors entspricht $\frac{2}{3}$ des Umfangs. Berechne die Größe des Winkel $µ$.
#flächeninhalt#umfang#kreissektor#kreisbogen

Aufgabe 4

Pac-Man hat einen Durchmesser von $3\,\text{cm}$. Wenn er seinen Mund komplett geöffnet hat, dann hat er einen Flächeninhalt von $5,22\,\text{cm}^2$.
a)
In welchem Winkel kann Pac-Man seinen Mund maximal öffnen?
In jedem Labyrinth gibt es mehrere besonders große Punkte (Power-Ups), die Pac-Man fressen kann. Wenn er einen dieser Punkte frisst, dann ist er vorübergehend unverwundbar und kann die Geister fressen und sie so zurück in die Mitte des Labyrinths schicken. Der Durchmesser einer dieser Kreise ist $25\,\%$ größer als der eines normalen Punkts.
b)
In welchem Verhältnis steht der Flächeninhalt eines Power-Ups zu dem eines normalen Punkts?
#kreis#kreissektor#winkel#flächeninhalt
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Kreis zeichnen mit Radius, Kreisbogen und -sektor.
Zeichne einen Kreis mit dem geforderten Radius. Anschließend zeichnest du vom Mittelpunkt aus eine Linie an den Rand des Kreises. Von dieser Linie misst du den geforderten Winkel von $µ=60°$ ab.
Anschließend zeichnest du eine zweite Linie vom Mittelpunkt bis zum Rand des Kreises, sodass diese zur ersten Linie in einem $60°$-Winkel steht.
Der Bereich, den diese beiden Linien einfassen, ist der Kreissektor. Der Kreisbogen $b$ ist der Teil des Umfangs des Kreises, der den Kreissektor einfasst.
b)
$\blacktriangleright$ Umfang berechnen
Zur Berechnung des Umfangs des Kreissektors benötigst du die folgende Formel:
$U=b+2r$
$U=b+2r$
Dabei ist $b$ die Länge des Kreisbogens und $r$ der Radius des Kreises. Die Länge des Kreisbogens bei diesem Kreis beträgt $b=5,24\,\text{cm}$. Setze die bekannten Angaben in die Formel ein und berechne den Umfang des Kreissektors.
$\begin{array}[t]{rll} U&=&b+2r \\[5pt] &=&5,24\,\text{cm}+2\cdot 5\,\text{cm} \\[5pt] &=&5,24\,\text{cm}+10\,\text{cm} \\[5pt] &=&15,24\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$ u=15,24\,\text{cm}$
Der Umfang des Kreissektors beträgt $15,24\,\text{cm}$. Zur Berechnung des Flächeninhalts des Kreissektors benötigst du folgende Formel:
$A_S=\dfrac{µ}{360°}\cdot\pi\cdot r^2$
$A_S=\dfrac{µ}{360°}\cdot\pi\cdot r^2$
Dabei ist $r$ der Radius des Kreises und $µ$ der Winkel des Kreissektors. Setze die dir bekannten Angaben in die Formel ein und berechne den Flächeninhalt des Kreissektors.
$\begin{array}[t]{rll} A_S&=&\dfrac{µ}{360°}\cdot\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_S&=&\dfrac{60°}{360°}\cdot\pi\cdot (5\,\text{cm})^2 \\[5pt] A_S&=&\frac{1}{6}\cdot\pi\cdot 25\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_S&=&\pi\cdot 4,17\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_S&=&13,09\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$A_S=13,09\,\text{cm}^2$
Der Flächeninhalt des Kreissektors beträgt $13,09\,\text{cm}^2$.
#radius#kreissektor#flächeninhalt#kreis#umfang

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Umfang berechnen
Du sollst die Umfänge der Kreissektoren berechnen. Die Formel dazu hast du schon in der Einführungsaufgabe kennen gelernt.
$U=b+2r$
$U=b+2r$
Setze nun die gegebenen Zahlen in die Formel ein, um die Umfänge zu berechnen.
a)
$\begin{array}[t]{rll} U&=& b + 2r \\[5pt] &=& 6\,\text{cm} + (2 \cdot 4\,\text{cm}) \\[5pt] &=& 6\,\text{cm} + 8\,\text{cm} \\[5pt] &=& 14\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des Kreissektors beträgt $14\,\text{cm}$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} U&=& b + 2r \\[5pt] &=& 5\,\text{cm} + (2 \cdot 3,5\,\text{cm}) \\[5pt] &=& 5\,\text{cm} + 7\,\text{cm} \\[5pt] &=& 12\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des Kreissektors beträgt $12\,\text{cm}$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} U&=& b + 2r \\[5pt] &=& 38\,\text{cm} + (2 \cdot 16\,\text{cm}) \\[5pt] &=& 38\,\text{cm} + 32\,\text{cm} \\[5pt] &=& 70\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des Kreissektors beträgt $70\,\text{cm}$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} U&=& b + 2r \\[5pt] &=& 11\,\text{cm} + (2 \cdot 7,5\,\text{cm}) \\[5pt] &=& 11\,\text{cm} + 15\,\text{cm} \\[5pt] &=& 26\,\text{cm} \end{array}$
Der Umfang des Kreissektors beträgt $26\,\text{cm}$.
#kreissektor#umfang

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Die Formel zum Berechnen des Flächeninhalts eines Kreissektors lautet:
$A_S=\dfrac{µ}{360°}\cdot\pi\cdot r^2$
$A_S=\dfrac{µ}{360°}\cdot\pi\cdot r^2$
Dabei ist $r$ der Radius des Kreises und $µ$ der Winkel. Wenn du eine der beiden Angaben nicht gegeben hast, dann überlege dir, wie du durch andere Größen und die dazugehörigen Formeln die fehlenden Größen berechnen kannst.
a)
$\begin{array}[t]{rll} A_S&=&\dfrac{µ}{360°}\cdot\pi\cdot r^2 \\[5pt] A_S&=&\dfrac{50°}{360°}\cdot\pi\cdot (6\,\text{cm})^2 \\[5pt] A_S&=&\dfrac{5}{36}\cdot\pi\cdot 36\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_S&=&\pi\cdot 5\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_S&=&15,71\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A_S=15,71\,\text{cm}^2$
Der Flächeninhalt des Kreissektors beträgt $15,71\,\text{cm}^2$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} A_S&=&\dfrac{µ}{360°}\cdot\pi\cdot r^2 \\[5pt] A_S&=&\dfrac{10°}{360°}\cdot\pi\cdot (8\,\text{cm})^2 \\[5pt] A_S&=&\dfrac{1}{36}\cdot\pi\cdot 64\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_S&=&\pi\cdot 1,78\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_S&=&5,59\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A_S=5,59\,\text{cm}^2$
Der Flächeninhalt des Kreissektors beträgt $5,59\,\text{cm}^2$.
c)
Hier fehlt dir der Radius $r$ des Kreises. Du kannst ihn jedoch mit der Formel für die Länge des Kreisbogens $b$ berechnen. Sie lautet:
$b=\dfrac{µ}{360°}\cdot 2\pi\cdot r=\dfrac{µ}{180°}\cdot\pi\cdot r$
$b=\dfrac{µ}{360°}\cdot 2\pi\cdot r=\dfrac{µ}{180°}\cdot\pi\cdot r$
Setze die bekannten Größen ein und berechne den Radius $r$. Berechne anschließend den Flächeninhalt des Kreissektors.
$\begin{array}[t]{rll} b&=&\dfrac{µ}{360°}\cdot 2\pi\cdot r \\[5pt] 5\,\text{cm}&=&\dfrac{60°}{360°}\cdot 2\pi\cdot r \\[5pt] 5\,\text{cm}&=&\dfrac{1}{6}\cdot 2\pi\cdot r \\[5pt] 5\,\text{cm}&=&\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3\\[5pt] 15\,\text{cm}&=&\pi\cdot r &\quad \scriptsize \mid\;:\pi\\[5pt] 4,77\,\text{cm}&=&r \\[5pt] \end{array}$
$r=4,77\,\text{cm}$
Der Radius beträgt $4,77\,\text{cm}$.
$\begin{array}[t]{rll} A_S&=&\dfrac{µ}{360°}\cdot\pi\cdot r^2 \\[5pt] A_S&=&\dfrac{60°}{360°}\cdot\pi\cdot (4,77\,\text{cm})^2 \\[5pt] A_S&=&\dfrac{1}{6}\cdot\pi\cdot 22,75\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_S&=&\pi\cdot 3,79\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_S&=&11,91\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$A_S=11,91\,\text{cm}^2$
Der Flächeninhalt des Kreissektors beträgt $11,91\,\text{cm}^2$.
d)
Hier fehlt dir der Radius $r$ des Kreises und der Winkel $µ$. Du kannst den Radius mit der Formel für den Umfang des Kreissektors berechnen. Die Formel dafür lautet:
$U=b+2r$
$U=b+2r$
Setze die bekannten Größen ein und berechne den Radius $r$.
$\begin{array}[t]{rll} u&=&b+2r \\[5pt] 20\,\text{cm}&=&8\,\text{cm}+2r&\quad \scriptsize \mid\;-8\,\text{cm} \\[5pt] 12\,\text{cm}&=&2r&\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] 6\,\text{cm}&=&r \\[5pt] \end{array}$
Der Radius beträgt $6\,\text{cm}$. Den Winkel $µ$ kannst du mit der Formel für die Länge des Kreisbogens $b$ berechnen. Sie lautet:
$b=\dfrac{µ}{360°}\cdot 2\pi\cdot r=\dfrac{µ}{180°}\cdot\pi\cdot r$
$b=\dfrac{µ}{360°}\cdot 2\pi\cdot r=\dfrac{µ}{180°}\cdot\pi\cdot r$
Setze die bekannten Größen ein und berechne den Winkel $µ$. Berechne anschließend den Flächeninhalt des Kreissektors.
$\begin{array}[t]{rll} b&=&\dfrac{µ}{360°}\cdot 2\pi\cdot r \\[5pt] 8\,\text{cm}&=&\dfrac{µ}{360°}\cdot 2\pi\cdot 6\,\text{cm} \\[5pt] 8\,\text{cm}&=&\dfrac{µ}{360°}\cdot \pi\cdot12\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\;:12\,\text{cm}\\[5pt] \frac{2}{3}&=&\dfrac{µ}{360°}\cdot \pi &\quad \scriptsize \mid\;:\pi\\[5pt] \frac{2}{3\pi}&=&\dfrac{µ}{360°}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 360°\\[5pt] 76,39°&=&µ\\[5pt] \end{array}$
$µ=76,39°$
Der Winkel $µ$ beträgt $76,39°$.
$\begin{array}[t]{rll} A_S&=&\dfrac{µ}{360°}\cdot\pi\cdot r^2 \\[5pt] A_S&=&\dfrac{76,39°}{360°}\cdot\pi\cdot (6\,\text{cm})^2 \\[5pt] A_S&=&0,21\cdot\pi\cdot 36\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_S&=&\pi\cdot 7,64\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_S&=&24\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$A_S=24\,\text{cm}^2$
Der Flächeninhalt des Kreissektors beträgt $24\,\text{cm}^2$.
#kreissektor#flächeninhalt

Aufgabe 3

Mache dir klar, welche Informationen du gegeben hast und welche Größen gesucht sind. Überlege dir anschließend, wie du anhand der dir bekannten Formeln und logischen Schlüsse die gesuchte Größe berechnen kannst.
a)
$\blacktriangleright$ Länge des Kreisbogens
Du weißt, dass der Flächeninhalt des Kreises $16\pi$ beträgt. Der Flächeninhalt des Kreissektors entspricht einem Fünftel davon, also $\frac{1}{5}\cdot16\pi=3,2\pi$.
Der Kreissektor nimmt außerdem auch ein Fünftel des Kreises ein. Der Winkel $µ$ muss demnach so groß sein wie ein Fünftel des Winkels eines kompletten Kreises.
Ein kompletter Kreis hat einen Winkel von $360°$. Der Winkel $µ$ wird demnach $360°\cdot\frac{1}{5}=72°$ groß sein.
Zur Berechnung der Läge des Kreisbogens benötigst du die folgende Formel:
$b=\dfrac{µ}{360°}\cdot 2\pi\cdot r=\dfrac{µ}{180°}\cdot \pi\cdot r$
$b=\dfrac{µ}{360°}\cdot 2\pi\cdot r=\dfrac{µ}{180°}\cdot \pi\cdot r$
Dabei ist $r$ der Radius des Kreises und $µ$ der Winkel des Kreissektors. Du benötigst zur Berechnung von $b$ noch den Radius des Kreises. Diesen kannst du mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises berechnen. Die Formel dafür lautet:
$A_K=\pi\cdot r^2$
$A_K=\pi\cdot r^2$
Dabei ist $r$ der Radius. Setze die dir bekannten Angaben in die Formel ein und stelle nach $r$ um.
$\begin{array}[t]{rll} A_K&=&\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 16\pi&=&\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\;:\pi \\[5pt] 16&=&r^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] 4&=&r \\[5pt] \end{array}$
Der Radius beträgt $4$. Du kannst nun die Länge des Kreisbogens mit der Formel von weiter oben berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} b&=&\dfrac{µ}{360°}\cdot 2\pi\cdot r &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] &=&\dfrac{72°}{360°}\cdot 2\pi\cdot 4 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{5}\cdot \pi\cdot 8 \\[5pt] &=&\pi\cdot 1,6 \\[5pt] &=&5,03 \\[5pt] \end{array}$
Die Länge des Kreisbogens beträgt $5,03$.
b)
Du weißt, dass der Umfang des Kreises $9\pi$ beträgt. Der Kreisbogen $b$ ist so lang wie $\frac{2}{3}$ des Umfangs. Demnach ist er $\frac{2}{3}\cdot9\pi=6\pi$ lang.
Über die Formel für den Umfang eines Kreises kannst du den Radius des Kreises berechnen. Die Formel lautet:
$U_K=2\pi\cdot r$
$U_K=2\pi\cdot r$
Dabei ist $r$ der Radius des Kreises. Setze die dir bekannten Größen ein und forme nach $r$ um.
$\begin{array}[t]{rll} U_K&=&2\pi\cdot r &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 9\pi&=&2\pi\cdot r &\quad \scriptsize \mid\;:\pi\\[5pt] 9&=&2\cdot r &\quad \scriptsize \mid\;:2\\[5pt] 4,5&=&r \\[5pt] \end{array}$
Der Radius des Kreises beträgt $4,5$. Berechne nun die Größe des Winkel $µ$ mit der Formel für die Länge des Kreisbogens $b$. Die Formel lautet:
$b=\dfrac{µ}{360°}\cdot 2\pi\cdot r=\dfrac{µ}{180°}\cdot \pi\cdot r$
$b=\dfrac{µ}{360°}\cdot 2\pi\cdot r=\dfrac{µ}{180°}\cdot \pi\cdot r$
Dabei ist $r$ der Radius des Kreises und $µ$ der Winkel. Setze die dir bekannten Größen ein und forme nach $µ$ um.
$\begin{array}[t]{rll} b&=&\dfrac{µ}{360°}\cdot 2\pi\cdot r&\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 6\pi&=&\dfrac{µ}{360°}\cdot 2\pi\cdot 4,5&\quad \scriptsize \mid\;:\pi \\[5pt] 6&=&\dfrac{µ}{360°}\cdot 9&\quad \scriptsize \mid\;:9 \\[5pt] \frac{2}{3}&=&\dfrac{µ}{360°}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 360° \\[5pt] 240°&=&µ\\[5pt] \end{array}$
$µ=240°$
Die Größe des Winkel $µ$ ist $240°$.
#kreisbogen#flächeninhalt#umfang#kreissektor

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Maximale Mundweite Pack-Man
Du kennst den Durchmesser von Pac-Man mit $3\,\text{cm}$. Demnach hat er einen Radius von $r=1,5\,\text{cm}$. Wenn er seinen Mund geöffnet hat, dann hat er einen Flächeninhalt von $5,22\,\text{cm}^2$. Diese Angabe entspricht in der Abbildung dem gelben Kreissektor.
Du suchst den Winkel $µ$ des nicht-gelben Kreissektors.
Berechne zuerst den Flächeninhalt eines Pac-Man großen Kreises. Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises lautet:
$A_K=\pi\cdot r^2$
$A_K=\pi\cdot r^2$
Dabei ist $r$ der Radius des Kreises.
$\begin{array}[t]{rll} A_K&=&\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_K&=&\pi\cdot (1,5\,\text{cm})^2 \\[5pt] A_K&=&\pi\cdot 2,25\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_K&=&7,07\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
Wäre Pac-Man ein Kreis, dann hätte er den Flächeninhalt $7,07\,\text{cm}^2$. Mit geöffnetem Mund hat er einen Flächeninhalt von $5,22\,\text{cm}^2$. Bilde die Differenz der beiden Flächeninhalte, um den Flächeninhalt des Kreissektors zu bestimmen, der seinen Mund darstellt.
$7,07\,\text{cm}^2-5,22\,\text{cm}^2=1,85\,\text{cm}^2$
Den Winkel $µ$ kannst du nun über die Formel für den Flächeninhalt eines Kreissektors berechnen. Sie lautet:
$A_S=\dfrac{µ}{360°}\cdot\pi\cdot r^2$
$A_S=\dfrac{µ}{360°}\cdot\pi\cdot r^2$
Dabei ist $r$ der Radius und $µ$ der WInkel des Kreissektors. Setze die dir bekannten Angaben in die Formel ein und stelle nach dem Winkel $µ$ um.
$\begin{array}[t]{rll} A_S&=&\dfrac{µ}{360°}\cdot\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 1,85\,\text{cm}^2&=&\dfrac{µ}{360°}\cdot\pi\cdot (1,5\,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\;:\pi \\[5pt] 0,59\,\text{cm}^2&=&\dfrac{µ}{360°}\cdot 2,25\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;:2,25\,\text{cm}^2\\[5pt] 0,26&=&\dfrac{µ}{360°} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 360°\\[5pt] 94°&=&µ\\[5pt] \end{array}$
$µ=94°$
Pac-Man kann seinen Mund maximal $94°$ öffnen.
b)
$\blacktriangleright$ Größe Power-Up
Du weißt, dass der Durchmesser eines Power-Ups um $25\,\%$ größer ist als der eines normalen Kreises. Halte den Radius eines Kreises allgemein als $r$ und rechne damit das Volumen eines Power-Up-Kreises aus.
Wenn ein normaler Kreis den Durchmesser $d$ hat, dann hat ein Power-Up den Durchmesser $d_P=1,25d$. Das selbe gilt für den Radius der beiden Kreise. Der Radius des Power-Ups beträgt $r_P=1,25r$, wobei $r$ der Radius eines normalen Kreises ist. Berechne jeweils den Flächeninhalt eines normalen Kreises und eines Power-Ups mit der Formel:
$A_K=\pi\cdot r^2$
$A_K=\pi\cdot r^2$
Dabei ist $r$ der Radius. Für den normalen Kreis bleibt der Flächeninhalt bei $\pi\cdot r^2$. Für das Power-Up erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} A_K&=&\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] &=&\pi\cdot (1,25r)^2 \\[5pt] &=&\pi\cdot 1,5625r^2 \\[5pt] \end{array}$
Bilde nun das Verhältnis der beiden Flächeninhalte.
$\dfrac{A_P}{A_K}=\dfrac{\pi\cdot 1,5625r^2}{\pi\cdot r^2}=1,5625$
Das Power-Up ist $1,5625$-mal größer als ein normaler Punkt.
#kreis#kreissektor#flächeninhalt#winkel
Bildnachweise [nach oben]
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