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Ergänzen und berechnen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Es gibt verschiedene Möglichkeiten den Flächeninhalt einer Figur zu berechnen. Betrachte die beiden folgenden Varianten und erkläre die unterschiedlichen Vorgehensweisen.
b)
$A_{ges}=A_1+A_2+A_3+A_4+A_5+A_6+A_7$
$A_{ges}=6\;\text{LE} \cdot 13\;\text{LE}+ 3\;\text{LE}\cdot 3\;\text{LE} \cdot \frac{1}{2}+$
$3\;\text{LE} \cdot 3\;\text{LE}+5\;\text {LE} \cdot 6\;\text{LE}+11\;\text{LE} \cdot 4\;\text{LE}+$
$3\;\text{LE} \cdot 8\;\text{LE}+6\;\text{LE}\cdot11\;\text{LE}=255,5\;\text{LE}^2$
#rechteck#flächeninhalt#dreieck

Aufgabe 1

Berechne den Flächeninhalt der Figuren, indem du die Flächen sinnvoll ergänzt. Die ergänzte Fläche sollte ein Rechteck oder Dreieck sein.
#rechteck#flächeninhalt#dreieck

Aufgabe 2

Berechne den Flächeninhalt der grünen Fläche. Erkläre dein Vorgehen.
#dreieck#flächeninhalt#rechteck

Aufgabe 3

Lea plant ihr Zimmer neu zu streichen. Um zu wissen, wie viel Farbe sie kaufen muss, berechnet sie zuerst die Fläche, die angestrichen werden soll. Die drei Wände, an denen sich keine Fenster befinden, sind für sie einfach zu berechnen. Die Wand mit Fenstern bereitet Lea allerdings Schwierigkeiten. Kannst du Lea helfen den Flächeninhalt der Wandseite zu berechnen?
#rechteck#flächeninhalt

Aufgabe 4

Michelle möchte Nussecken backen. Die Nussecke soll der Nussecke aus der Abbildung entsprechen. Sie hat einen Teig der Länge $L=28,5\;\text{cm}$ und der Breite $b=14,5\;\text{cm}$ zur Verfügung. Wie viele Nussecken dieser Größe erhält sie maximal aus dem Teig?
#flächeninhalt#dreieck
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

a)
Du sollst die Vorgehensweise beschreiben, wie im Aufgabenteil $a$ der Flächeninhalt der grünen Figur berechnet wird.
Die Gesamtfläche wird berechnet, indem zuerst der Flächeninhalt des großen Rechtecks berechnet wird und anschließend die weiße Fläche wieder abgezogen wird. Du kannst sehen, dass der weiße Flächeninhalt in viele Dreiecke unterteilt ist, die alle den gleichen Flächeninhalt haben. Dies ist praktisch, weil nur einmal der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet werden muss, somit wird die Rechnung viel einfacher.
b)
Du sollst die Vorgehensweise beschreiben, wie im Aufgabenteil $b$ der Flächeninhalt der grünen Figur berechnet wird.
Die Gesamtfläche wird berechnet, indem du die grüne Figur in kleinere Flächen zerlegst, wie Dreiecke und Rechtecke, die einfach zu berechnen sind. die einzelnen Flächen werden dann anschließend addiert und du erhältst den gesamten Flächeninhalt. Dieses Verfahren ist aufwendiger als das Verfahren in $a$.
#flächeninhalt#dreieck#rechteck

Aufgabe 1

a)
Du sollst den Flächeninhalt der Figur berechnen, indem du die Fläche sinnvoll ergänz. Überlege dir zunächst zu welcher Figur du sinnvoll ergänzen kannst. Es ist praktisch die Figur zu einem Rechteck zu ergänzen, dazu musst du an jeder Ecke ein Dreieck hinzufügen. Gehe also in folgenden Schritten vor.
  • Fläche des erweiterten Rechtecks berechnen
  • Fläche der ergänzten Dreiecke berechnen
  • Gesamtfläche berechnen, indem du die Dreiecke vom Rechteck abziehst
Fläche des Rechteck berechnen
Die Fläche eines Rechtecks kannst du mit der Formel:
$A_{Rechteck}=a \cdot b$
$A_{Rechteck}=a \cdot b$
berechnen. Um die Seitlängen $a$ und $b$ zu bestimmen, kannst du die Kästchen abzählen.
Die eine Seite des Rechtecks ist $a=16\;\text{LE}$ lang, die andere Seite ist $b=9\;\text{LE}$ lang. Somit ergibt sich:
$A_{Rechteck}=16\;\text{LE}\cdot 9\;\text{LE}=144\;\text{LE}^2$
Fläche der Dreiecke berechnen
Die Fläche eines Dreiecks lässt sich allgemein mit der Formel:
$A_{Dreieck}=a \cdot b \cdot \frac{1}{2}$
$A_{Dreieck}=a \cdot b \cdot \frac{1}{2}$
berechnen. Die Seitenlängen $a$ und $b$ kannst du bestimmen, indem du die Kästchen abzählst. Die Seite $a$ ist für jedes der Dreiecke $a=2\;\text{LE}$ lang. Die Seite $b$ ist auch $b=2\;\text{LE}$ lang. Somit ergibt sich für den Flächeninhalt eines Dreiecks:
$A_{Dreick}=2\;\text{LE} \cdot 2\;\text{LE} \cdot \frac{1}{2}=2\;\text{LE}$
Da dieses Dreieck vier mal vorkommt, musst du den Flächeninhalt eines Dreiecks noch mit vier multiplizieren, um den Flächeninhalt aller Dreiecke zu erhalten:
$A=4\cdot 2\;\text{LE}$
Die Fläche der Dreiecke ist also ca. $8\;\text{LE}$ groß.
Gesamtfläche berechnen
Den gesamten Flächeninhalt kannst du berechnen, indem du den Flächeninhalt der Dreieck vom Flächeninhalt des Rechtecks abziehst.
$A_{ges}=A_{Rechteck}-A_{Dreieck}$
$A_{ges}=144\;\text{LE}-8\;\text{LE}=136\;\text{LE}$.
Der Gesamtflächeninhalt beträgt also ca.$136\;\text{LE}$.
b)
Du sollst den Flächeninhalt der Figur berechnen, indem du die Fläche sinnvoll ergänz. Überlege dir zunächst zu welcher Figur du sinnvoll ergänzen kannst. Es ist praktisch die Figur zu einem Rechteck zu ergänzen, dazu musst oben und unten jeweils ein Dreieck hinzufügen. Gehe also in folgenden Schritten vor.
  • Fläche des erweiterten Rechtecks berechnen.
  • Fläche der ergänzten Dreiecke berechnen.
  • Gesamtfläche berechnen, indem du die Dreiecke vom Rechteck abziehst.
Fläche des Rechteck berechnen
Die Fläche eines Rechtecks kannst du mit der Formel:
$A_{Rechteck}=a \cdot b$
$A_{Rechteck}=a \cdot b$
berechnen. Um die Seitlängen $a$ und $b$ zu bestimmen, kannst du die Kästchen abzählen.
Die eine Seite des Rechtecks ist $a=9\;\text{LE}$ lang, die andere Seite ist $b=9\;\text{LE}$ lang. Somit ergibt sich:
$A_{Rechteck}=9\;\text{LE}\cdot 9\;\text{LE}=81\;\text{LE}^2$
Fläche der Dreiecke berechnen
Die Fläche eines Dreiecks lässt sich allgemein mit der Formel:
$A_{Dreieck}=a \cdot b \cdot \frac{1}{2}$
$A_{Dreieck}=a \cdot b \cdot \frac{1}{2}$
berechnen. Die Seitenlängen $a$ und $b$ kannst du bestimmen, indem du die Kästchen abzählst. Die Seite $a$ des oberen Dreiecks ist $a=3\;\text{LE}$ lang. Die Seite $b$ ist auch $b=3\;\text{LE}$ lang. Somit ergibt sich für den Flächeninhalt des oberen Dreiecks:
$A_{Dreick}=3\;\text{LE} \cdot 3\;\text{LE} \cdot \frac{1}{2}=4,5\;\text{LE}$
Die Seite $a$ des unteren Dreiecks ist $a=3\;\text{LE}$ lang. Die Seite $b$ ist auch $b=2\;\text{LE}$ lang. Somit ergibt sich für den Flächeninhalt des unteren Dreiecks:
$A_{Dreick}=3\;\text{LE} \cdot 2\;\text{LE} \cdot \frac{1}{2}=3\;\text{LE}$
Gesamtfläche berechnen
Den gesamten Flächeninhalt kannst du berechnen, indem du den Flächeninhalt der Dreieck vom Flächeninhalt des Rechtecks abziehst.
$A_{ges}=A_{Rechteck}-A_{Dreiecke}$
$A_{ges}=81\;\text{LE}-4,5\;\text{LE}-3;\text{LE}=73,5\;\text{LE}$.
Der Gesamtflächeninhalt beträgt also ca.$73,5\;\text{LE}$.
#dreieck#flächeninhalt#rechteck

Aufgabe 2

a)
Du sollst den Flächeninhalt der grünen Figur berechnen. Dazu kannst du in folgenden Schritten vorgehen:
  • Berechne den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks.
  • Berechne den Flächeninhalt der grauen Flächen.
  • Berechne den Inhalt der grünen Fläche, indem du den Flächeninhalt der grauen Flächen vom gesamten Flächeninhalt abziehst.
Flächeninhalt des Rechtecks berechnen
Der Flächeninhalt eines Rechtecks lässt sich allgemein mit der Formel:
$A_{Rechteck}=a \cdot b$
$A_{Rechteck}=a \cdot b$
berechnen. Lese die Längen $a$ und $b$ ab, indem du die Kästchen zählst. Du erhältst $a=27\;\text{LE}$ und $b=15\;\text{LE}$. Setze diese Werte in die Formel ein.
$A_{Rechteck}=27\;\text{LE} \cdot 15\;\text{LE}=405\;\text{LE}^2$
Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{A_1}$ berechnen
Den Flächeninhalt eines Dreiecks kannst du mit der Formel:
$A_{Dreieck}=a \cdot b \cdot \frac{1}{2}$
$A_{Dreieck}=a \cdot b \cdot \frac{1}{2}$
Bestimme die Seitenlängen $a$ und $b$, indem du die Kästchen abzählst. Eine Seite ist $a=4\;\text{LE}$ lang, die andere ist $b=8\;\text{LE}$ lang. Somit ergibt sich der Flächeninhalt:
$A_{Dreieck}=4\;\text{LE} \cdot 8\;\text{LE} \cdot \frac{1}{2}=16\;\text{LE}^2$
Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{A_2}$ berechnen
Bestimme die Seitenlängen $a$ und $b$, indem du die Kästchen abzählst. Eine Seite ist $a=4\;\text{LE}$ lang, die andere ist $b=7\;\text{LE}$ lang. Somit ergibt sich der Flächeninhalt:
$A_{Dreieck}=4\;\text{LE} \cdot 7\;\text{LE} \cdot \frac{1}{2}=14\;\text{LE}^2$
Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{A_3}$ berechnen
Bestimme die Seitenlängen $a$ und $b$, indem du die Kästchen abzählst. Eine Seite ist $a=3\;\text{LE}$ lang, die andere ist $b=8\;\text{LE}$ lang. Somit ergibt sich der Flächeninhalt:
$A_{Dreieck}=3\;\text{LE} \cdot 8\;\text{LE} \cdot \frac{1}{2}=12\;\text{LE}^2$
Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{A_4}$ berechnen
Bestimme die Seitenlängen $a$ und $b$, indem du die Kästchen abzählst. Eine Seite ist $a=3\;\text{LE}$ lang, die andere ist $b=7\;\text{LE}$ lang. Somit ergibt sich der Flächeninhalt:
$A_{Dreieck}=3\;\text{LE} \cdot 7\;\text{LE} \cdot \frac{1}{2}=10,5\;\text{LE}^2$
Flächeninhalt der grünen fläche berechnen
Den Flächeninhalt der grünen Fläche kannst du berechnen, indem du den Flächeninhalt der Dreiecke vom gesamten Flächeninhalt abziehst:
$A_{grün}=A_{ges}-A_{Dreiecke}$
$A_{grün}=405\;\text{LE}^2-16\;\text{LE}^2-14\;\text{LE}^2-12\;\text{LE}^2-10,5\;\text{LE}^2=352,5\;\text{LE}^2$
Der Flächeninhalt der grünen Fläche beträgt $352,5\;\text{LE}^2$.
b)
Du sollst den Flächeninhalt der grünen Figur berechnen. Dazu kannst du in folgenden Schritten vorgehen:
  • Berechne den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks.
  • Berechne den Flächeninhalt der grauen Flächen.
  • Berechne den Inhalt der grünen Fläche, indem du den Flächeninhalt der grauen Flächen vom gesamten Flächeninhalt abziehst.
Flächeninhalt des Rechtecks berechnen
Der Flächeninhalt eines Rechtecks lässt sich allgemein mit der Formel:
$A_{Rechteck}=a \cdot b$
$A_{Rechteck}=a \cdot b$
berechnen. Lese die Längen $a$ und $b$ ab, indem du die Kästchen zählst. Du erhältst $a=27\;\text{LE}$ und $b=15\;\text{LE}$. Setze diese Werte in die Formel ein.
$A_{Rechteck}=27\;\text{LE} \cdot 15\;\text{LE}=405\;\text{LE}^2$
Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{A_1}$ berechnen
Den Flächeninhalt eines Dreiecks kannst du mit der Formel:
$A_{Dreieck}=a \cdot b \cdot \frac{1}{2}$
$A_{Dreieck}=a \cdot b \cdot \frac{1}{2}$
Bestimme die Seitenlängen $a$ und $b$, indem du die Kästchen abzählst. Eine Seite ist $a=8\;\text{LE}$ lang, die andere ist $b=10\;\text{LE}$ lang. Somit ergibt sich der Flächeninhalt:
$A_{Dreieck}=8\;\text{LE} \cdot 10\;\text{LE} \cdot \frac{1}{2}=40\;\text{LE}^2$
Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{A_2}$ berechnen
Bestimme die Seitenlängen $a$ und $b$, indem du die Kästchen abzählst. Eine Seite ist $a=7\;\text{LE}$ lang, die andere ist $b=27\;\text{LE}$ lang. Somit ergibt sich der Flächeninhalt:
$A_{Dreieck}=27\;\text{LE} \cdot 7\;\text{LE} \cdot \frac{1}{2}=94,5\;\text{LE}^2$
Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{A_3}$ berechnen
Bestimme die Seitenlängen $a$ und $b$, indem du die Kästchen abzählst. Eine Seite ist $a=17\;\text{LE}$ lang, die andere ist $b=15\;\text{LE}$ lang. Somit ergibt sich der Flächeninhalt:
$A_{Dreieck}=17\;\text{LE} \cdot 15\;\text{LE} \cdot \frac{1}{2}=127,5\;\text{LE}^2$
Flächeninhalt der grünen fläche berechnen
Den Flächeninhalt der grünen Fläche kannst du berechnen, indem du den Flächeninhalt der Dreiecke vom gesamten Flächeninhalt abziehst:
$A_{grün}=A_{ges}-A_{Dreiecke}$
$A_{grün}=405\;\text{LE}^2-40\;\text{LE}^2-94,5\;\text{LE}^2-127,5\;\text{LE}^2-10,5\;\text{LE}^2=143\;\text{LE}^2$
Der Flächeninhalt der grünen Fläche beträgt $143\;\text{LE}^2$.
#dreieck#flächeninhalt#rechteck

Aufgabe 3

$\;$
Du sollst den Flächeninhalt berechnen, der angestrichen werden soll. Dafür musst du nur die grün markierte Fläche berechnen, die Fenster und die Tür lässt du aus. Du kannst in folgenden Schritten vorgehen:
  • Berchne den gesamten Flächeninhalt.
  • Berechne den Flächeninhalt der Fenster und der Tür.
  • Berechne den Flächeninhalt der grünen Wand, indem du den Flächeninhalt der Fenster und der Tür vom gesamten Flächeninhalt abziehst.
Gesamten Flächeninhalt berechnen
Der gesamte Flächeninhalt bezieht sich auf die gesamte Wandfläche. Du benötigst dafür die Formel, zur Berechnung eines Rechtecks.
Ein Rechteck lässt sich allgemein mit der Formel:
$A_{ges}=a \cdot b$
$A_{ges}=a \cdot b$
berechnen. Du kannst an der Abbildung erkennen, dass die Höhe des Zimmers $h=a=2,5\;\text{m}$ beträgt. Die Länge des Zimmers beträgt $L=b=3\;\text{m}$. Verwende die Formel, um den Flächeninhalt zu berechnen: $A_{ges}=2,5\;\text{m} \cdot 3\;\text{m}$=$7,5\;\text{m}^2$
Der Flächeninhalt beträgt $7,5\;\text{m}^2$.
Flächeninhalt der Fenster berechnen
Die beiden Fenster sind gleich groß, somit kannst du den Flächeninhalt einmal berechnen und anschließend mit zwei multiplizieren.
Die Fenster sind quadratisch, für quadratische Flächen, kannst du die Formel:
$A=a^2$
$A=a^2$
verwenden. Das Fenster hat eine Länge und eine Höhe von $L=a=0,5\;\text{m}$, somit ergibt sich für den Flächeninhalt:
$A_{Fenster}=0,5\;\text{m}^2=0,25\;\text{m}^2$
Die Fläche eines Fensters beträgt also $0,25\;\text{m}^2$, also beträgt die Fläche für zwei Fenster $0,5\;\text{m}^2$.
Flächeninhalt der Tür berechnen
Die Form der Tür ist ein Rechteck, ein Rechteck lässt sich allgemein mit der Formel:
$A_{ges}=a \cdot b$
$A_{ges}=a \cdot b$
berechnen. Du kannst an der Abbildung erkennen, dass die Höhe der Tür $h=a=2\;\text{m}$ beträgt. Die Breite der Tür beträgt $L=b=0,8\;\text{m}$. Verwende die Formel, um den Flächeninhalt zu berechnen: $A_{ges}=2\;\text{m} \cdot 0,8\;\text{m}$=$1,6\;\text{m}^2$
Der Flächeninhalt beträgt $1,6\;\text{m}^2$.
Flächeninhalt der grünen Wand berechnen
Den Flächeninhalt, der grünen Wand, kannst du nun berechnen, indem du die Flächeninhalte von den Fenstern und der Tür vom gesamten Flächeninhalt abziehst.
$A_{grün}=A_{ges}-A_{Fenster}$
$A_{grün}=7,5\;\text{m}^2-0,5\;\text{m}^2-1,6\;\text{m}=5,4\;\text{m}^2$
Der Flächeninhalt der Wand, die angestrichen werden soll beträgt $5,4\;\text{m}^2$.
#flächeninhalt#rechteck#dreieck

Aufgabe 4

$\;$
Du sollst dir überlegen, wie viele Nussecken Michelle aus dem Teig erhält. Mache dir dazu am besten eine Skizze und überlege dir, wie sie die Nussecken so aussticht, dass sie den Teig am besten nutzt. Damit die Skizze auf ein Blatt passt kannst du den Maßstab $2:1$ verwenden. Du erhältst folgende Skizze.
Du siehst, dass ca. $16$ Nussecken ausgestochen werden können.
Überprüfe das nun mathematisch, indem du den Flächeninhalt des Bleches berechnest:
$A_{Blech}=14,5\;\text{cm} \cdot 28,5\;\text{cm}=413,25\;\text{c m}^2$
Anschließend kannst du den Flächeninhalt einer Nussecke berechnen und mit $16$ multiplizieren, um den gesamten Flächeninhalt zu erhalten.
$A_{Dreieck}=7\;\text{cm}\cdot 7\;\text{cm} \cdot \frac{1}{2}=24,5\;\text{cm}^2$.
$A_{ges}=24,5\;\text{cm}^2 \cdot 16 =392\;\text{cm}^2$
Ziehe nun den Flächeninhalt der Nussecken vom Flächeninhalt des Bleches ab:
$413,25\;\text{c m}^2-392\;\text{cm}^2=21,25\;\text{cm}^2$
Du hast gezeigt, dass Michelle maximal $16$ Nussecken aus dem Teig erhält und noch $21,25\;\text{cm}^2$ Teig übrig bleiben. Dies reicht nicht mehr aus für eine ganze Nussecke.
#dreieck#flächeninhalt#rechteck
Bildnachweise [nach oben]
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