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Geradengleichung

Spickzettel
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Eine Gerade ist eine unendlich lange, gerade Linie. Auf ihr befinden sich unendlich viele Punkte aus dem Koordinatensystem. Eine solche Gerade kann durch zwei verschiedene Punkte vollständig definiert werden: Sind beispielsweise zwei Punkte $A(a_1 \mid a_2 \mid a_3)$ und $B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$ im Koordinatensystem gegeben, so kann die Gleichung einer Geraden $g$ durch diese beiden Punkte wie folgt angegeben werden:
$g: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}+ t \cdot \overrightarrow{v}$
$g: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}+ t \cdot \overrightarrow{v}$
Hierbei versteht man unter
  • $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$ den Stützvektor der Geraden $g$,
  • $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{v}$ den Richtungsvektor der Geraden $g$,
  • $t$ eine reelle Zahl, für die der Richtungsvektor beliebig lang bzw. kurz werden kann und somit alle Punkte auf der Geraden erreicht werden können.

Beispiel

Gegeben sind die Punkte $A(1 \mid 0 \mid 0)$ und $B(4 \mid -5 \mid 6)$. Stelle die Geradengleichung einer Geraden $g$ durch diese Punkte auf:
Zuerst legen wir fest, dass der Vektor $\overrightarrow{OA}$ Stützvektor und $\overrightarrow{AB}$ Richtungsvektor sein soll. Du kannst auch $\overrightarrow{OB}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{BA}$ Richtungsvektor wählen, dadurch erhältst du die selbe Gerade im Raum.
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}  \; \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\-5\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-5\\6\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{OA}=\;…$

Diese kannst du nun in die allgemeine Formel der Geradengleichung einsetzen und erhältst so die Gleichung zur Geraden $g$:
$g: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\-5\\6\end{pmatrix}$
$g: \overrightarrow{x}=\;…$
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1.
Stelle eine Gleichung der Geraden auf, die durch die angegebenen Punkte verläuft.
b)
$A(3\mid1\mid2)$, $B(-1\mid2\mid-4)$
d)
$C\left(-2\mid1\mid\frac{1}{4}\right)$, $D\left(3\mid\frac{1}{4}\mid1\right)$
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1.
Aufstellen von Geradengleichungen
a)
$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}=&\overrightarrow{a}+s\cdot\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)&\quad\mid \small{\text{ Punkte einsetzen}}\\[5pt] =& \begin{pmatrix} 1 \\ { 2} \\ 4 \\ \end{pmatrix} + s \cdot \left( {\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{pmatrix}} \right) &\\[5pt] g: \overrightarrow{x}=& \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ \end{pmatrix}&\\ \end{array}$
$g: \overrightarrow{x}=\;…$
b)
$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}=&\overrightarrow{a}+s\cdot\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)&\quad\\[5pt] =& \begin{pmatrix} 3 \\ { 1} \\ 2 \\ \end{pmatrix} + s \cdot \left( {\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -4 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix}} \right) &\\[5pt] g: \overrightarrow{x}=& \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ -6 \\ \end{pmatrix}&\\ \end{array}$
$g: \overrightarrow{x}=\;…$
c)
$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}=&\overrightarrow{p}+s\cdot\left(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}\right)&\quad\\[5pt] =& \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ { 1} \\ -\frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} + s \cdot \left( {\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ 2 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\ -\frac{1}{2} \\ \end{pmatrix}} \right) &\\[5pt] g: \overrightarrow{x}=& \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\ -\frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{5}{2} \\ \end{pmatrix}&\\ \end{array}$
$g: \overrightarrow{x}=\;…$
Den Richtungvektor kann man nun noch mit dem Faktor $2$ verlängern:
$g$: $\overrightarrow{x}= \left( {\begin{array}{*{20}c} \frac{1}{2} \\ 1 \\ -\frac{1}{2} \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -1 \\ 5 \\ \end{array}} \right)$
d)
$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}=&\overrightarrow{c}+s\cdot\left(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}\right)&\quad\\[5pt] =& \begin{pmatrix} -2 \\ { 1} \\ \frac{1}{4} \\ \end{pmatrix} + s \cdot \left( {\begin{pmatrix} 3 \\ \frac{1}{4} \\ 1 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ \frac{1}{4} \\ \end{pmatrix}} \right) &\\[5pt] g: \overrightarrow{x}=& \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ \frac{1}{4} \\ \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 5 \\ -\frac{3}{4} \\ \frac{3}{4} \\ \end{pmatrix}&\\ \end{array}$
$g: \overrightarrow{x}=\;…$
Den Richtungvektor kann man nun noch mit dem Faktor $4$ verlängern
$g$: $\overrightarrow{x}= \left( {\begin{array}{*{20}c} -2 \\ 1 \\ \frac{1}{4} \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 20 \\ -3 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$
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