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Satz des Thales

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Abb. 1: Die drei Dreiecken haben einen rechten Winkel.
Abb. 1: Die drei Dreiecken haben einen rechten Winkel.

Beispiel

Berechne $\beta$ mit $r=25\;\text{cm}$
Da das Dreieck $AMC$ gleichseitig ist, ist die Seite $\overline{AC}$ genauso lang wie der Radius $r=25\;\text{cm}$.
Ebenfalls gilt: im gleichseitigen Dreieck $AMC$ ist der Winkel $\alpha=60\,^\circ$ groß.
Somit ist der Winkel $\beta$ berechenbar über:
$\beta=180\,^\circ-90\,^\circ-60\,^\circ=30\,^\circ$
a)
Beschreibe wie das rechtwinklige Dreieck konstruiert wurde. Das Dreieck ABC hat die Seitenmaße $\text{b}=5$, $\text{a}=3,4$ und $\text{c}=6$. Der Winkel $\gamma$ hat $90°$.
Abb. 3: Schritt 2.
Abb. 3: Schritt 2.
Abb. 4: Schritt 3.
Abb. 4: Schritt 3.
b)
Zeichne unter Berücksichtigung des Satzes von Thales Dreiecke mit den folgenden Maßen.
(2)
$\text{b}=3$ $\beta = 41°$ $\text{c}=4,5$
(4)
$\text{b}=3$ $\alpha = 60°$ $\text{c}=6$

Aufgabe 1

a)
Die Strecke zwischen $\text{C}$ und $\text{M}$ teilt das Dreieck $\text{ABC}$ in zwei Dreiecke. Welche Eigenschaften haben die beiden Dreiecke gemein?
b)
Zeige das der Winkel $\gamma$ beim Dreieck $\text{ABC}$ $90°$ hat. Bestimme ebenfalls die fehlenden Winkel.
c)
Zeichne ein weiteres Dreieck dieser Art, welches du mit einer Strecke zwischen $\text{C}$ und $\text{M}$ teilst. Was kannst du damit begründen?

Aufgabe 2

Bestimme die restlichen, eingefärbten Winkel.

Aufgabe 3

In der Abbildung 8 siehst du wie die Bezeichnungen am rechtwinkligen Dreieck lauten.
Wende dein Wissen an und zeichne den Punkt $\text{A}$ $(-1\;\mid\;0)$ und den Punkt $\text{B}$ $(-3\;\mid\;5,5)$ in ein Koordinatensystem.
Die Strecke zwischen den Punkten $\text{A}$ und $\text{B}$ ist die Hypotenuse rechtwinkliger Dreiecke.
Zeichne jeweils das Dreieck und gib die Koordinaten des fehlenden Punktes an.
b)
$\overline{BC} = 3,8$

Aufgabe 4

Gegeben sind vier Planfiguren. Zeichne mithilfe des Thaleskreises die Vierecke.
Abb. 10: Planfigur des Rechtecks.
Abb. 10: Planfigur des Rechtecks.
Für dieses Viereck benötigst du den Thaleskreis nicht umbedingt.
Abb. 12: Planfigur des Drachenviereckes.
Abb. 12: Planfigur des Drachenviereckes.

Aufgabe 5

Abb. 13: Sarah befindet sich senkrecht in der Luft.
Abb. 13: Sarah befindet sich senkrecht in der Luft.
Bildnachweise [nach oben]
[1-12]
© 2017 – SchulLV.
[13]
https://goo.gl/Kw0Xmi – Parasailing over the Water of the Riviera Maya, Grand Velas Riviera Maya, CC BY-SA 2.0.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
1. Schritt: Grundseite und Thaleskreis
Zuerst zeichnest du die Grundseite $\text{c}$. Dadurch erhältst du die Punkte $\text{A}$ und $\text{B}$. Vom Mittelpunkt der Seite $\text{C}$ zeichnest du den Thaleskreis, welcher durch die Punkte $\text{A}$ und $\text{B}$ geht.
2. Schritt: Punkt $\text{C}$ konstruieren
Stech mit dem Zirkel in den Punkt $\text{B}$ ein und zeichne einen Kreisausschnitt mit dem Radius von $3,4$, so das der Thaleskreis geschnitten wird.
3. Schritt: Dreieck vervollständigen
Nun kannst du die Seiten $\text{a}$ und $\text{b}$ einzeichnen.
Abb. 1: Das konstruierte Dreieck mit dem rechten Winkel.
Abb. 1:Das konstruierte Dreieck mit dem rechten Winkel.
b)
Zeichne unter Berücksichtigung des Satzes von Thales Dreiecke mit den folgenden Maßen.
(2)
$\text{b}=3$ $\beta = 41°$ $\text{c}=4,5$
(4)
$\text{b}=3$ $\alpha = 60°$ $\text{c}=6$

Aufgabe 1

a)
Das Dreieck $AMC$ und das Dreieck $MBC$ haben zwei gleich große Seiten. Die Grundseite und die Strecke $\overline{MC}$.
Beide Dreiecke sind gleichschenklig.
b)
Da $\beta = 65°$ ist, hat $\alpha= 25°$. Da in einem gleichschenkligen Dreieck die beiden Basiswinkel, also die Winkel, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen, gleich groß sind, ist $\gamma_1$ $25°$ groß und $\gamma_2$ $65°$ groß. Addiert man $\gamma_1$ und $\gamma_2$, wird bestätigt, dass $\gamma$ gleich $90°$ ist.
c)
In diesem Dreieck sieht man erneut, dass die beiden entstandenen Dreiecke zwei gleichlange Seiten haben. Daher kann man ausgehend von $\delta$ alle Winkelgrößen bestimmen.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Winkel bestimmen
Da in einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel $\gamma = 90°$ gilt $\alpha + \beta =90°,$ ist $\beta$ gleich $54°$.
Da die gegenüberliegenden Winkel im gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, ist $\gamma$ gleich $54°$.
b)
$\blacktriangleright$  Winkel bestimmen
Da in einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel $\gamma = 90°$ gilt $\alpha + \beta =90°$, ist $\beta$ gleich $73°$.
Da die gegenüberliegenden Winkel im gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, ist $\epsilon$ gleich $17°$. Da alle Innenwinkel eines Dreiecks $180°$ ergeben, ist $\delta = 180° - 2 \cdot 17°$. Dementsprechend ist $\delta = 146°$.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$  Dreiecke konstruieren
b)
$\overline{BC} = 3,8$

Aufgabe 4

a)
1. Schritt: Mittelpunkt bestimmen
Zuerst gilt es den Mittelpunkt der Diagonalen zu ermitteln. Dafür zeichnest du eine zweite Diagonale, der Schnittpunkt ist der Mittelpunkt des Quadrats.
Abb. 10: Schritt 1.
Abb. 10: Schritt 1.
2. Schritt: Thaleskreis einzeichnen
Mit deinem Zirkel kannst du nun den Thaleskreis einzeichnen.
Abb. 11: Schritt 2.
Abb. 11: Schritt 2.
3. Schritt: Mittelpunkt bestimmen
Nun kannst du einen Kreis um $\text{C}$ ziehen mit dem Radius $6\;\text{cm}$ und hast damit den Punkt $\text{D}$ bestimmt.
Abb. 12: Schritt 3.
Abb. 12: Schritt 3.
b)
1. Schritt: Mittelpunkt und Seite $\text{b}$ bestimmen
Da die Diagonale gegeben ist, kannst du die fehlende Seitenlänge im Reckteck berechnen.
Dafür brauchst du folgende Formel:
Diagonale: $d=\;\sqrt{a^2 + b^2}$
$\begin{array}[t]{rll} 11,6 &= \;\sqrt{10^2 + b^2}& &\quad \scriptsize \mid\; ^2 \\[5pt] 11,6^2 &= \;10^2 + b^2& &\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] 134,56 &= \;100 + b^2& &\quad \scriptsize \mid\; - 100 \\[5pt] 34,56 &= \; b^2& &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] 5,9&= b& \end{array}$
Nun kannst du das Rechteck konstruieren. Verbindest du die Punkte $\text{D}$ und $\text{B}$, dann hast du den Mittelpunkt bestimmt.
Abb. 13: Schritt 1.
Abb. 13: Schritt 1.
2. Schritt: Thaleskreis einzeichnen
Zeichnen nun vom Mittelpunkt ausgehend einen Kreis, mit der Länge der Diagonale des Rechteckes, der durch die Eckpunkte geht. Damit hast du bewiesen, dass die Punkte $\text{D}$ und $\text{B}$ im Rechten Winkel zur Strecke $\overline{AC}$ sind.
Abb. 14: Schritt 2.
Abb. 14: Schritt 2.
3. Schritt: Seitenlänge bestimmen
Wenn du einen Kreis mit dem Durchmesser $10\;\text{cm}$ um den Punkt $\text{C}$ zeichnest, geht er durch den Punkt $\text{D}$. Damit ist bewiesen, dass die Strecke zwischen $\text{CD} = 10\; \text{cm}$ ist.
Abb. 15: Schritt 3.
Abb. 15: Schritt 3.
c)
1. Schritt: Seiten bestimmen
Um zu beginnen, musst du die Außenseiten des Quadrates bestimmen.
Die Formel hierzu lautet:
Diagonale: $d=a\cdot\sqrt{2}$
$\begin{array}[t]{rll} 6 &=&a\cdot\sqrt{2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \; \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\[5pt] \dfrac{6}{\sqrt{2}} &=a& &\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] \approx 4,24&=a& \end{array}$
Nun kannst du das Quadrat konstruieren, alle Innenwinkel haben in einem Quadrat $90°$.
Verbinde nun noch $\text{B}$ und $\text{D}$ um den Mittelpunkt des Quadrats zu bestimmen.
Abb. 16: Schritt 1.
Abb. 16: Schritt 1.
2. Schritt: Thaleskreis einzeichnen
Vom Mittelpunkt ausgehend kannst du nun einen Kreis zeichnen, der durch alle Ecken des Vierecks geht. Dies beweist, das alle Innenwinkel im Quadrat $90°$ groß sind.
Abb. 17: Schritt 2.
Abb. 17: Schritt 2.
d)
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A
1. Schritt: Spitze konstruieren
Die Größe des Winkel $\gamma$ ist bekannt, sowie die Länge der Hypothenuse. Wenn du nun jeweils die Winkel mit $45°$ einzeichnest, schneiden sie sich im Punkt $\text{A}$. Damit ist ein Teil des Drachenviereckes gebildet.
Abb. 19: Schritt 1.
Abb. 19: Schritt 1.
2. Schritt: Seiten bestimmen
Es ist bekannt, das die langen Seiten des Drachenviereckes $7\;\text{cm}$ lang sind. Wenn du nun einen Kreis mit dem Durchmesser von $7\;\text{cm}$ um den Punkt $\text{D}$ ziehst und die Höhe des Dreiecks $\text{ABD}$ verlängerst, ist der Schnittpunkt der Punkt $\text{C}$.
Abb. 20: Schritt 2.
Abb. 20: Schritt 2.
3. Schritt: Seiten einzeichnen
Verbinde nun $\text{D}$ und $\text{B}$ um das Drachenviereck zu vervollständigen.
Abb. 21: Schritt 3.
Abb. 21: Schritt 3.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B:
1. Schritt: Thaleskreis einzeichnen
Du hast die Länge der Grundseite der Hypothenuse gegeben. Daher kannst du den Thaleskreis um den Mittelpunkt $\text{M}$ mit einem Durchmesser von $4\;\text{cm}$ zeichnen.
Wenn du nun eine Gerade im Winkel von $90°$ von $\text{M}$ ausgehend einzeichnest, hast du erstens die Höhe des Dreiecks $\text{ABD}$ sowie beim Schnittpunkt mit dem Thaleskreis den Punkt $\text{A}$ erstellt.
Abb. 22: Schritt 1.
Abb. 22: Schritt 1.
2. Schritt: Kreis einzeichnen
Nun kannst du um $\text{B}$ einen Kreis mit dem Durchmesser von $7\;\text{cm}$ ziehen. Verlängere die Strecke $\overline{AM}$ so, das sie den Kreis schneidet. Nun ist der Punkt $\text{C}$ gefunden.
Abb. 23: Schritt 2.
Abb. 23: Schritt 2.
3. Schritt: Vervollständigen
Zeichne nun die Strecken $\overline{DC}$ und $\overline{BC}$ ein.
Abb. 24: Schritt 3.
Abb. 24: Schritt 3.

Aufgabe 5

Tipp
Den Maßstab $1:1.000$ berechnest du für die Höhe von Sarah so:
$\dfrac{100\;\text{Meter}}{1.000} = \dfrac{1\;\text{Meter}}{10} =$
$ 0,1\;\text{Meter} = 10\;\text{cm} $
Tipp
Den Maßstab $1:1.000$ berechnest du für die Höhe von Sarah so:
$\dfrac{100\;\text{Meter}}{1.000} = \dfrac{1\;\text{Meter}}{10} =$
$ 0,1\;\text{Meter} = 10\;\text{cm} $
Die Seite $\text{c}$ hat in der Skizze eine Länge von 4,2 cm. Dies entspricht in der Realität $42\;\text{Meter}$. Damit ist ihre Flughöhe bestimmt.
Abb. 25: Die maßstabsgetreue Zeichnung.
Abb. 25: Die maßstabsgetreue Zeichnung.
Bildnachweise [nach oben]
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