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Vermischte Aufgaben

Addition und Subtraktion

Spickzettel
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Vektoren können addiert und subtrahiert werden. Dabei musst du komponentenweise vorgehen:
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3 \end{pmatrix}$ $\;\;$ bzw.$\;\;$ $\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3 \end{pmatrix}$ $\;\;$ bzw.$\;\;$ $\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3 \end{pmatrix}$
Graphisch addiert man zwei Vektoren, indem man sie aneinanderreiht. Dazu wird einer der beiden Vektoren an die Spitze des anderen gesetzt.

Beispiel

Es sollen die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix}3\\1\\1 \end{pmatrix}$ addiert werden. Graphisch gibt es zwei Möglichkeiten:
  1. Du setzt den Vektor $\vec{a}$ an die Spitze des Vektors $\vec{b}\;$.
  2. Du setzt den Vektor $\vec{b}$ an die Spitze des Vektors $\vec{a}\;$.
So entsteht der Vektor $\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}5\\4\\5 \end{pmatrix}\;$.
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Aufgaben
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1.
Addition und Subtraktion
Gegeben sind folgende Vektoren:
$\vec{a}=\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{1}\end{pmatrix},\ \vec{b}=\begin{pmatrix}{-3}\\{4}\\{2}\end{pmatrix},$ $\ \vec{c}=\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix},\ \vec{d}=\begin{pmatrix}{-4}\\{1}\\{-2}\end{pmatrix}\;$ und $\vec{e}=\begin{pmatrix}{2}\\{0}\\{-10}\end{pmatrix}$
Berechne:
b)
$\vec{b}+\vec{c}$
d)
$\vec{c}-\vec{a}-\vec{d}$
f)
$\vec{b}-\vec{e}+\vec{c}$
2.
Vektoren finden
Vektoren: Addition und Subtraktion
Vektoren: Addition und Subtraktion
Gib mit den Vektoren $\vec{u}$, $\;\vec{v}$, $\;\vec{w}$ und $\vec{r}$ die Vektoren $\vec{AB}$, $\;\vec{AC}$, $\;\vec{AE}$, $\;\vec{BC}$, $\;\vec{BD}$, $\;\vec{BE}$, $\;\vec{CA}$, $\;\vec{CB}$, $\;\vec{CE}$ und $\;\vec{DE}$ an.
3.
Parallelogramm
Überprüfe, ob das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm ist.
a)  $A\left( 0\mid0\mid0 \right)$, $B\left( 3\mid0\mid0 \right)$, $C\left( 6\mid2\mid4 \right)$, $D\left( 3\mid2\mid4 \right)$
b)  $A\left( 1\mid3\mid2 \right)$, $B\left( 2\mid-3\mid4 \right)$, $C\left( 7\mid8\mid4 \right)$, $D\left( 6\mid14\mid2 \right)$
c)  $A\left( -2\mid-2\mid-2 \right)$, $B\left( -3\mid4\mid1 \right)$, $C\left( 5\mid-4\mid2 \right)$, $D\left( 3\mid1\mid-4 \right)$
d)  $A\left( -2\mid1\mid4 \right)$, $B\left( 3\mid1\mid-5 \right)$, $C\left( -9\mid-10\mid12 \right)$, $D\left( -14\mid-10\mid21 \right)$
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1.
Addition und Subtraktion
a) $\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{-3}\\{4}\\{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-2}\\{5}\\{3}\end{pmatrix}$
b) $\vec{b}+\vec{c}=\begin{pmatrix}{-3}\\{4}\\{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-2}\\{4}\\{2}\end{pmatrix}$
c) $\vec{a}+\vec{e}-\vec{c}=\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{2}\\{0}\\{-10}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{4}\\{1}\\{-9}\end{pmatrix}$
d) $\vec{c}-\vec{a}-\vec{d}=\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{-4}\\{1}\\{-2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{4}\\{-2}\\{1}\end{pmatrix}$
e) $\vec{a}-\vec{d}+\vec{b}=\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{-4}\\{1}\\{-2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{-3}\\{4}\\{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{2}\\{4}\\{5}\end{pmatrix}$
f)
$\vec{b}-\vec{e}+\vec{c}=\begin{pmatrix}{-3}\\{4}\\{2}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{2}\\{0}\\{-10}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-4}\\{4}\\{12}\end{pmatrix}$
$ \vec{b}-\vec{e}+\vec{c}=… $
2.
Vektoren finden
Tipp
  • Stell dir vor du stehst jeweils im Anfangspunkt und überlege dir, welche Vektoren du entlang laufen musst um zum Endpunkt zu gelangen.
  • Wenn du einen Vektor „rückwärts gehen“ willst, kannst du einfach ein Minus davor setzen!
  • Es gilt: $\vec{AB}= -\vec{BA}$
Tipp
  • Stell dir vor du stehst jeweils im Anfangspunkt und überlege dir, welche Vektoren du entlang laufen musst um zum Endpunkt zu gelangen.
  • Wenn du einen Vektor „rückwärts gehen“ willst, kannst du einfach ein Minus davor setzen!
  • Es gilt: $\vec{AB}= -\vec{BA}$
  • $\vec{AB}=-\vec{v}$
  • $\vec{AC}=\vec{u}$
  • $\vec{AE}=-\vec{v}+\vec{r}$
    (Du startest in $A$. Zuerst gehst du den Vektor $\vec{v}$ rückwärts, also „$-\vec{v}$“. Jetzt bist du im Punkt $B$. Um zu $E$ zu gelangen, gehst du den Vektor $\vec{r}$ entlang, also noch „$+\vec{r}$“.)
  • $\vec{BC}=\vec{v}+\vec{u}$
  • $\vec{BD}=\vec{v}+\vec{u}-\vec{w}$
  • $\vec{BC}=\vec{v}+\vec{u}$
  • $\vec{BE}=\vec{r}$
  • $\vec{CA}=-\vec{AC}=-\vec{u}$
  • $\vec{CB}=-\vec{BC}=-\vec{v}-\vec{u}$
  • $\vec{CE}=-\vec{u}-\vec{v}+\vec{r}$
  • $\vec{DE}=\vec{w}-\vec{u}-\vec{v}+\vec{r}$
3.
Parallelogramm


In einem Parallelogramm sind jeweils die gegenüberliegenden Seiten parallel. Deswegen musst du prüfen, ob $\vec{AB}=\vec{DC}$ und $\vec{AD}=\vec{BC}$.
a)
$\vec{AB}=\begin{pmatrix}{3}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{3}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}\;$; $\vec{DC}=\begin{pmatrix}{6}\\{2}\\{4}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{3}\\{2}\\{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{3}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}$ $\Rightarrow$ $\vec{AB}=\vec{DC}$
$\vec{AD}=\begin{pmatrix}{3}\\{2}\\{4}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{3}\\{2}\\{4}\end{pmatrix}\;$; $\vec{BC}=\begin{pmatrix}{6}\\{2}\\{4}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{3}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{3}\\{2}\\{4}\end{pmatrix}$ $\Rightarrow$ $\vec{AD}=\vec{BC}$
Das Viereck $ABCD$ ist ein Parallelogramm.
b)
$\vec{AB}=\begin{pmatrix}{2}\\{-3}\\{4}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{1}\\{3}\\{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1}\\{-6}\\{2}\end{pmatrix}\;$; $\vec{DC}=\begin{pmatrix}{7}\\{8}\\{4}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{6}\\{14}\\{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1}\\{-6}\\{2}\end{pmatrix}$ $\Rightarrow$ $\vec{AB}=\vec{DC}$
$\vec{AD}=\begin{pmatrix}{6}\\{14}\\{2}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{1}\\{3}\\{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{5}\\{11}\\{0}\end{pmatrix}\;$; $\vec{BC}=\begin{pmatrix}{7}\\{8}\\{4}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{2}\\{-3}\\{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{5}\\{11}\\{0}\end{pmatrix}$ $\Rightarrow$ $\vec{AD}=\vec{BC}$
Das Viereck $ABCD$ ist ein Parallelogramm.
c)
$\vec{AB}=\begin{pmatrix}{-3}\\{4}\\{1}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{-2}\\{-2}\\{-2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-1}\\{6}\\{3}\end{pmatrix}\;$; $\vec{DC}=\begin{pmatrix}{5}\\{-4}\\{2}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{3}\\{1}\\{-4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{2}\\{-5}\\{6}\end{pmatrix}$ $\Rightarrow$ $\vec{AB} \neq\vec{DC}$
Das Viereck $ABCD$ ist kein Parallelogramm.
d)
$\vec{AB}=\begin{pmatrix}{3}\\{1}\\{-5}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{-2}\\{1}\\{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{5}\\{0}\\{-9}\end{pmatrix}\;$; $\vec{DC}=\begin{pmatrix}{-9}\\{-10}\\{12}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{-14}\\{-10}\\{21}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{5}\\{0}\\{-9}\end{pmatrix}$ $\Rightarrow$ $\vec{AB}=\vec{DC}$
$\vec{AD}=\begin{pmatrix}{-14}\\{-10}\\{21}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{-2}\\{1}\\{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-12}\\{-11}\\{17}\end{pmatrix}\;$; $\vec{BC}=\begin{pmatrix}{-9}\\{-10}\\{12}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{3}\\{1}\\{-5}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-12}\\{-11}\\{17}\end{pmatrix}$ $\Rightarrow$ $\vec{AD}=\vec{BC}$
Das Viereck $ABCD$ ist ein Parallelogramm.
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