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Höhensatz

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Dreieck: Höhensatz
Abb. 2: Skizze Höhensatz
Dreieck: Höhensatz
Abb. 2: Skizze Höhensatz
Bildnachweise [nach oben]
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Bearbeite die folgenden Aufgaben.
Dreieck: Höhensatz
Dreieck: Höhensatz
1.
Fülle den Lückentext aus:
Der Höhensatz gilt für ___________________ Dreiecke.
Die Höhe teilt die _____________________ in die zwei Abschnitte $p$ und $q$.
Die Rechteckfläche, welche die Hypotenuse und den Hypotenusenabschnitt als Seiten hat, ist so groß wie das ____________________.
2.
Ein rechtwinkliges Dreiecks hat eine $7,5\,\text{cm}$ lange Hypotenuse. Die Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte $q=4,8\,\text{cm}$ und $p=2,7\,\text{cm}$.
Wie groß ist die Höhe $h$?
3.
Dreieck: Höhensatz
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4.
Dreieck: Höhensatz
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1.  Lückentext ausfüllen
Der Höhensatz gilt für rechtwinklige Dreiecke.
Die Höhe teilt die Hypotenuse in die zwei Abschnitte $p$ und $q$.
Die Rechtecksfläche, welche die Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$ als Seiten hat, ist so groß wie das Quadrat über der Höhe.
2.  Länge der Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen
$\begin{array}{rll} h^2&=&p\cdot q &\scriptsize\;\text{einsetzen}\\[2pt] h^2&=&(2,7\,\text{cm})\cdot (4,8\,\text{cm})\\[2pt] h^2&=&12,96\,\text{cm}^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] h&=&3,6\,\text{cm} \end{array}$
Die Höhe $h$ hat also eine Länge von $3,6$ cm.
3.  Entfernung zwischen Boot und Betrachter $\boldsymbol{B}$ berechnen
Die Entfernung zwischen dem Boot und dem Betrachter $B$ ist nichts anderes als die Länge der Höhe $h$. Die Strecke $\overline{AB}$ entspricht dem Hypotenusenabschnitt $q$, die Strecke $\overline{BC}$ entspricht dem Hypotenusenabschnitt $p$ und die Strecke $\overline{BBoot}$ entspricht der Höhe $h$.
1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{p}$ berechnen
Die Länge der Strecke $q$ kannst du der Aufgabe entnehmen ($35,35$ m). Die Länge der Strecke $p$ berechnest du wie folgt:
$\begin{array}{rll} p&=&c-q\\[2pt] \overline{BC}&=&\overline{AC}-\overline{AB}\\[2pt] p&=&(70,7\,\text{m})-(35,35\,\text{m})\\[2pt] p&=&35,35\,\text{m} \end{array}$
Die Länge der Strecke $p$ beträgt $35,35$ m.
2. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h}$ mit dem Höhensatz berechnen
$\begin{array}{rll} h^2&=&p\cdot q &\scriptsize\;\text{einsetzen}\\[2pt] \overline{BBoot}^2&=&\overline{AB}\cdot \overline{BC}\\[2pt] h^2&=&(35,35\,\text{m})\cdot (35,35\,\text{m})\\[2pt] h^2&=&1249,6225\,\text{m}^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] h&=&35,35\,\text{m} \end{array}$
Der Betrachter $B$ ist $35,35$ m von dem Boot entfernt.
4.  Breite des Feldes berechnen
Bei dieser Skizze entspricht die Strecke $\overline{BA}$ dem Hypotenusenabschnitt $p$, die Strecke $\overline{BC}$ entspricht dem Hypotenusenabschnitt $q$ und die Strecke $\overline{BD}$ entspricht der Höhe $h$.
Um nun die Breite des Feldes berechnen zu können, musst du zuerst mit dem Höhensatz die Länge des Hypotenusenabschnittes $q$ berechnen und anschließend die Längen der Seiten $p$ und $q$ addieren.
1. Schritt: Länge des Hypotenusenabschnittes $\boldsymbol{q}$ bestimmen
$\begin{array}{rll} h^2&=&p\cdot q &\scriptsize\;\text{einsetzen}\\[2pt] \overline{BD}^2&=&\overline{AB} \cdot \overline{BC}\\[2pt] (110\,\text{m})^2&=&(136\,\text{m})\cdot q\\[2pt] 12100\,\text{m}^2&=&(136\,\text{m})\cdot q &\scriptsize\mid\; :136\,\text{m}\\[2pt] \dfrac{12100\,\text{m}^2}{136\,\text{m}}&=&q\\[2pt] q&≈& 88,97 \,\text{m} \end{array}$
Der Hypotenusenabschnitt $q$ hat eine Länge von ca. $88,97$ m.
2. Schritt: Längen der Seiten $\boldsymbol{q}$ und $\boldsymbol{p}$ addieren
$\begin{array}{rll} c&=&q+p\\[2pt] c&=&88,97\,\text{m}+136\,\text{m}\\[2pt] c&=&224,97\,\text{m} \end{array}$
Das Feld ist $224,97$ m breit.
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