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Kathetensatz

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Dreieck: Kathetensatz
Abb. 1: Der Kathetensatz als Skizze.
Dreieck: Kathetensatz
Abb. 1: Der Kathetensatz als Skizze.
Bildnachweise
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Aufgaben
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Bearbeite die folgenden Aufgaben.
Dreieck: Kathetensatz
Dreieck: Kathetensatz
1.
Fülle den Lückentext aus:
Der Kathetensatz gilt für ___________________ Dreiecke.
Die Höhe teilt die _____________________ in die zwei Abschnitte $p$ und $q$.
Die Rechtecksfläche, welche die Hypotenuse und den Hypotenusenabschnitt als Seiten hat, ist so groß wie das ____________________.
2.
Ein rechtwinkliges Dreiecks hat eine $6\,\text{cm}$ lange Hypotenuse. Die Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte $q=3,84\,\text{cm}$ und $p=2,16\,\text{cm}$.
Wie groß sind die Katheten $a$ und $b$?
3.
Dreieck: Kathetensatz
Dreieck: Kathetensatz
4.
Herr Maier möchte sein Grundstück umzäunen. Es hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und wird durch einen Weg geteilt (siehe Skizze). Die Strecke $\overline{AB}$ ist $9$ m und die Strecke $\overline{BC}$ ist $6\,\text{m}$ lang. Welchen Umfang hat das Grundstück?
Dreieck: Kathetensatz
Dreieck: Kathetensatz
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Lösungen
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1.
Lückentext ausfüllen.
Der Kathetensatz gilt für rechtwinklige Dreiecke.
Die Höhe teilt die Hypotenuse in die zwei Abschnitte $p$ und $q$.
Die Rechtecksfläche, welche die Hypotenuse und den Hypotenusenabschnitt als Seiten hat, ist so groß wie das Quadrat über der Kathete.
2.
Katheten a und b berechnen
$\blacktriangleright$ Länge der Kathete a berechnen
$\begin{array}{rll} a^2&=&c\cdot p &\scriptsize\;\text{Einsetzen}\\[2pt] a^2&=&(6\,\text{cm})\cdot (2,16\,\text{cm})\\[2pt] a^2&=&12,96\,\text{cm}^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] a&=&3,6\,\text{cm} \end{array}$
Die Kathete $a$ ist $3,6$ cm lang.
$\blacktriangleright$ Länge der Kathete b berechnen
$\begin{array}{rll} b^2&=&c\cdot q &\scriptsize\;\text{Einsetzen}\\[2pt] b^2&=&(6\,\text{cm})\cdot (3,84\,\text{cm})\\[2pt] b^2&=&23,04\,\text{cm}^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] b&=&4,8\,\text{cm} \end{array}$
Die Kathete $b$ ist $4,8$ cm lang.
3.
Entfernung zwischen Ufer $\boldsymbol{C}$ und $\boldsymbol{D}$ berechnen
Die Entfernung zwischen Ufer $C$ und $D$ ist nichts anderes als die Länge des Hypotenusenabschnittes $p$. Die Strecke $\overline{CD}$ entspricht dem Hypotenusenabschnitt $p$, die Strecke $\overline{CA}$ entspricht der Hypotenuse $c$ und die Strecke $\overline{CB}$ entspricht der Kathete $a$.
$\begin{array}{rll} a^2&=&c\cdot p &\scriptsize\;\text{Einsetzen}\\[2pt] \overline{CB} ^2&=&\overline{CA}\cdot \overline{CD}\\[2pt] (5\,\text{km})^2&=&7\,\text{km}\cdot p\\[2pt] 25\,\text{km}^2&=&7\,\text{km}\cdot p &\scriptsize\mid\;:7\,\text{km}\\[2pt] p&=&\frac{25\,\text{km}^2}{7\,\text{km}}\\[2pt] p&\approx&3,57\,\text{km} \end{array}$
Die Ufer $C$ und $D$ sind ca. $3,57$ km voneinander entfernt.
4.
Umfang des Grundstücks berechnen
Um den Umfang des Dreiecks berechnen zu können, musst du zuerst die Länge der Katheten bestimmen.
Dazu kannst du die Länge der Hypotenuse berechnen. Anschließend kannst du die Länge der Katheten $a$ und $b$ ermitteln.
1. Schritt: Länge der Hypotenuse bestimmen
Die Länge der Hypotenuse entspricht der Länge der Strecke $\overline{CA}$.
Die Länge dieser Seite $\overline{CA}$ berechnest du wie folgt:
$\begin{array}{rll} \overline{CA}&=&\overline{AB}+\overline{BC}\\[2pt] \overline{CA}&=&9\,\text{m}+6\,\text{m}\\[2pt] \overline{CA}&=&15\,\text{m}\\[2pt] \end{array}$
Die Hypotenuse hat eine Länge von $15$ m.
2. Schritt: Länge der Katheten bestimmen
$\blacktriangleright$ Länge der Kathete a bestimmen
Die Länge der Kathete $a$ berechnest du nun am besten mit dem Kathetensatz.
$\begin{array}{rll} a^2&=&c\cdot p\\[2pt] a^2&=&\overline{CA}\cdot \overline{AB} &\scriptsize\;\text{Einsetzen}\\[2pt] a^2&=&15\,\text{m}\cdot 9\,\text{m}\\[2pt] a^2&=&135\,\text{m}^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] a&≈&11,62\,\text{m} \end{array}$
Die Kathete $a$ hat eine Länge von $11,62$ m.
$\blacktriangleright$ Länge der Kathete b bestimmen
Die Länge der Kathete $a$ berechnest du nun am besten mit dem Kathetensatz.
$\begin{array}{rll} b^2&=&c\cdot q\\[2pt] b^2&=&\overline{CA}\cdot \overline{BC} &\scriptsize\;\text{Einsetzen}\\[2pt] b^2&=&15\,\text{m}\cdot 6\,\text{m}\\[2pt] b^2&=&90\,\text{m}^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] b&≈&9,49\,\text{m} \end{array}$
Die Kathete $b$ hat eine Länge von $9,49$ m.
3. Schritt: Umfang des Dreiecks bestimmen
Um nun den Umfang des Dreiecks zu erhalten, musst du nur noch die Längen aller Seiten addieren:
$\begin{array}{rll} U&=&\overline{AB}+\overline{BC}+a+b\\[2pt] U&=&9\,\text{m}+6\,\text{m}+11,62\,\text{m}+9,49\,\text{m}\\[2pt] U&=&36,11\,\text{m} \end{array}$
$ U=36,11\,\text{m} $
Das Grundstück hat einen Umfang von $36,11$ m.
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