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Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.
Bestimme den Typ der Dreiecke und nenne deren besonderen Eigenschaften.
a)
Dreieck: Vermischte Aufgaben
Dreieck: Vermischte Aufgaben
b)
Dreieck: Vermischte Aufgaben
Dreieck: Vermischte Aufgaben
c)
Dreieck: Vermischte Aufgaben
Dreieck: Vermischte Aufgaben
d)
Dreieck: Vermischte Aufgaben
Dreieck: Vermischte Aufgaben
2.
Bestimme die Fläche des gleichseitigen Dreiecks mit folgenden Eigenschaften.
a)
$a=5\,\text{cm}$
b)
$h_c=3\,\text{cm}$
c)
$u=12\,\text{cm}$
3.
Berechne den Umfang des gleichschenkligen Dreiecks, mit $c = 5\,\text{cm}$ und $a = 4\,\text{cm}$.
4.
Bestimme den Flächeninhalt und den Umfang der Figur bei der $a=3\,\text{cm}$, $b=3,6\,\text{cm}$ und $c=4\,\text{cm}$ gegeben ist.
Dreieck: Vermischte Aufgaben
Dreieck: Vermischte Aufgaben
5.
Bestimme den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks mit der Höhe $h=3\,\text{cm}$.
6.
Von einem Dreieck ABC sind folgende Angaben bekannt:
Seiten: $a=5\;\text{cm}$, $c=6,5\;\text{cm}$
Winkel: $\beta=35\,^\circ$
Dreieck: Vermischte Aufgaben
Dreieck: Vermischte Aufgaben
a)
Berechne den Flächeninhalt.
b)
Berechne die Höhe $h_c$.
c)
Berechne die Länge der Seite $b$.
d)
Berechne den Winkel $\alpha$.
7.
Von einem Dreieck ABC sind folgende Angaben bekannt:
Seiten: Seiten: $a=3\;\text{cm}$, $b=3,5\;\text{cm}$
Winkel: $\alpha=40\,^\circ$
Dreieck: Vermischte Aufgaben
Dreieck: Vermischte Aufgaben
a)
Berechne den Winkel $\beta$.
b)
Berechne die Länge der Seite $c$.
c)
Berechne die Höhe $h_c$.
d)
Berechne den Flächeninhalt.
8.
Das Dreieck ABC hat die Höhe $h_c=3,54\;\text{cm}$ und den Winkel $\gamma_2=35\,^\circ$
Die Seiten $b$, $c_1$ und die Höhe $h_c$ bilden ein gleichschenkliges und rechtwinkliges Dreieck.
Dreieck: Vermischte Aufgaben
Dreieck: Vermischte Aufgaben
a)
Berechne den Winkel $\alpha$.
b)
Berechne die Länge der Seite $b$.
c)
Berechne die Länge der Seite $a$.
d)
Berechne die Länge der Seite $c$.
e)
Berechne den Flächeninhalt.
f)
Berechne den Umfang.
9.
Im Stadtpark werden zwei Flächen mit Rosen bepflanzt und außen herum soll ein Rasen angelegt werden. Die Rosenbeete haben die Form von gleichschenkligen Dreiecken. Die Rasenfläche hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks mit einer Kantenlänge von $3\;\text{m}$.
Winkel $\alpha=45\,^\circ$
Winkel $\gamma=50\,^\circ$
a)
Um die Rosenbeete wird ein Bretterzaun gebaut.
Welchen Umfang haben die Beete jeweils?
b)
Damit der Rasen gut gedeihen kann, soll die Fläche abgesperrt werden.
Gib den Umfang der Rasenfläche an.
c)
Um genügend Samen zu kaufen wird die Angabe der Fläche benötigt.
Wie groß ist die Rasenfläche?
Dreieck: Vermischte Aufgaben
Dreieck: Vermischte Aufgaben
10.
Eine Wanduhr hat einen $10\;\text{cm}$ langen Stundenzeiger und einen $15\;\text{cm}$ langen Minutenzeiger.
a)
Berechne den Abstand $a$ der beiden Pfeilspitzen um $2$ Uhr.
b)
Welchen Abstand $a$ haben die Pfeilspitzen um $4$ Uhr?
Dreieck: Vermischte Aufgaben
Dreieck: Vermischte Aufgaben
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Lösungen
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1.
Art und Eigenschaft
a)
Dies ist ein gleichschenkliges Dreieck, da es zwei gleich lange Seiten a und b besitzt und die Höhe h$_c$ die Basis c sowie den Winkel $\gamma$ halbiert.
b)
Dies ist ein rechtwinkliges Dreieck, da es einen 90° Grad Winkel besitzt, welcher der längsten Seite (Hypotenuse) gegenüber liegt.
c)
Dies ist ein beliebiges Dreieck, da es durch die senkrecht stehende Höhe h$_c$ in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt wird.
d)
Dies ist ein gleichseitiges Dreieck, da alle drei Seiten dieselbe Länge haben. Zusätzlich sind die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ gleich groß.
2.
Flächeninhalt
a)
Bestimme die Fläche mithilfe der Formel für den Flächeninhalt, da du die Variable a angegeben hast.
$ \begin{array}{rll} A&=\dfrac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\\[5pt] A&=\dfrac{(5\text{ cm})^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\\[5pt] A&=\dfrac{25\text{ cm}^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\\[5pt] A&=\dfrac{43,3\text{ cm}^2}{4}&\\[5pt] A&=10,83\text{ cm}^2&\\[5pt] \end{array} $
b)
Um die Fläche des gleichseitigen Dreiecks zu berechnen, benötigst du die Variable a. Diese kannst du mit Hilfe der Variablen h$_c$ und der Formel h$_c$=$\dfrac{a\cdot\sqrt{3}}{2}$ berechnen. Löse dazu die Formel für die Höhe nach der Variablen a auf.
$ \begin{array}{rll} h_c&=\dfrac{a\cdot\sqrt{3}}{2}&\scriptsize \mid:\sqrt{3} \\[5pt] \dfrac{h_c}{\sqrt{3}}&=\dfrac{a}{2}&\scriptsize \mid\cdot2 \\[5pt] a&=\dfrac{h_c}{\sqrt{3}}\cdot2& \end{array} $
Nachdem du die Formel umgestellt hast, kannst du für die Variable h$_c$ den Wert h$_c$= 3cm einsetzen.
$ \begin{array}{rll} a&=\dfrac{3\text{ cm}}{\sqrt{3}}\cdot2&\scriptsize \\[5pt] a&=3,5\text{ cm}& \end{array} $
Mit der errechneten Variablen a wird nun der gesuchte Flächeninhalt berechnet.
$ \begin{array}{rll} A&=\dfrac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\scriptsize \\[5pt] A&=\dfrac{(3,5\text{ cm})^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\scriptsize \\[5pt] A&=\dfrac{12,25\text{ cm}^2\cdot\sqrt{3}}{4}\\[5pt] A&=\dfrac{21,22\text{ cm}^2}{4}\\[5pt] A&=5,3\text{ cm}^2& \end{array} $
c)
Da bei dieser Aufgabe nur der Umfang u= 12 cm angegeben ist, wird die Formel $u= 3\cdot a$ nach der Variablen a aufgelöst.
$ \begin{array}{rll} u&=3\cdot a&\scriptsize \mid:3 \\[5pt] a&=\dfrac{u}{3} &\scriptsize \\[5pt] a&=\dfrac{12\;\text{cm}}{3} &\scriptsize \\[5pt] a&=4\text{ cm}& \end{array} $
Nun wird die Variable $a = 4\text{ cm}$ in die Formel für den Flächeninhalt eingesetzt.
$ \begin{array}{rll} A&=\dfrac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\scriptsize \\[5pt] A&=\dfrac{(4\text{ cm})^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\scriptsize \\[5pt] A&=\dfrac{16\text{ cm}^2\cdot\sqrt{3}}{4}\\[5pt] A&=\dfrac{27,71\text{ cm}^2}{4}\\[5pt] A&=6,93\text{ cm}^2& \end{array} $
3.  Umfang
Bei gleichschenkligen Dreiecken lautet die Formel für den Umfang $u= 2 \cdot a + c$. Da die Variablen a und c bekannt sind, kann der Umfang gleich berechnet werden.
$ \begin{array}{rll} u&=2 \cdot 4\text{ cm} + 5 \text{ cm}&\scriptsize \\[5pt] u&=8\text{ cm} + 5 \text{ cm}&\scriptsize \\[5pt] u&=13\text{ cm}& \end{array} $
4.  Flächeninhalt und Umfang
Berechne bei dieser Aufgabe zuerst den Umfang, da du die nötigen Angaben dazu hast. Zähle hierzu anhand des Schaubildes ab, wie viele Seiten jeweils von a, b und c zu dem Umfang gehören. Daraus ergibt sich die Formel:
$ \begin{array}{rll} u&=2a + 2c + b&\scriptsize \\[5pt] u&=2\cdot3\text{ cm} + 2\cdot4\text{ cm} + 3,6\text{ cm}&\scriptsize \\[5pt] u&=6\text{ cm} + 8\text{ cm} + 3,6\text{ cm}&\scriptsize \\[5pt] u&=17,6\text{ cm}& \end{array} $
Da sich diese Figur aus drei verschiedenen Dreiecken zusammensetzt, muss für jedes der drei Dreiecke der Flächeninhalt einzeln berechnet werden.
Dreieck: Vermischte Aufgaben
Dreieck: Vermischte Aufgaben
Flächeninhalt A$_1$:
Für die Berechnung des Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks sind alle Variablen gegeben.
$ \begin{array}{rll} A&=\dfrac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\scriptsize \\[5pt] A&=\dfrac{(3\text{ cm})^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\scriptsize \\[5pt] A&=\dfrac{9\text{ cm}^2\cdot\sqrt{3}}{4}&\scriptsize \\[5pt] A&=3,9\text{ cm}^2& \end{array} $
Flächeninhalt A$_2$:
Da dieses Dreieck rechtwinklig ist, steht die Variable b mit 3,6 cm für die Hypotenuse, da sie dem rechten Winkel gegenüberliegt. Die Länge der Seite, welche gleichzeitig zu dem gleichseitige Dreieck zählt, ist somit auch mit einer Länge von 3 cm bekannt. Um den Flächeninhalt zu berechnen benötigst du noch die dritte Seitenlänge $d$. Berechne diese mit Hilfe des Satz des Pythagoras.
$ \begin{array}{rll} d^2&=b^2 - a^2&\scriptsize \\[5pt] d^2&=(3,6\text{ cm})^2 - (3\text{ cm})^2&\scriptsize \\[5pt] d^2&=12,96\text{ cm}^2 - 9\text{ cm}^2&\scriptsize \\[5pt] d^2&=3,96\text{ cm}^2&\scriptsize \mid\sqrt{\;} \\[5pt] d&=1,99\text{ cm}& \end{array} $
Setze nun den berechneten Wert in die Formel für den Flächeninhalt ein.
$ \begin{array}{rll} A&=\dfrac{1}{2}\cdot a \cdot d \\[5pt] A&=\dfrac{1}{2}\cdot 1,99\text{ cm} \cdot 3\text{ cm} \\[5pt] A&=2,99\text{ cm}^2 \end{array} $
Flächeninhalt A$_3$:
Bei gleichschenkligen Dreiecken wird der Flächeninhalt mit der Formel $A= \dfrac{c}{2}\cdot\sqrt{a^2 - \dfrac{c^2}{4}}$ berechnet. Für die Variable c wird der Wert der zuvor berechneten Variablen a eingesetzt, da diese sowohl dem gleichschenkligen als auch dem rechtwinkligen Dreieck angehört. Die Variable a ist mit der Länge von 4 cm durch die Angaben in der Aufgabe gegeben.
$ \begin{array}{rll} A&=\dfrac{c}{2}\cdot\sqrt{a^2 - \dfrac{c^2}{4}}&\scriptsize \\[5pt] A&=\dfrac{1,99\text{ cm}}{2}\cdot\sqrt{(4\text{ cm})^2 - \dfrac{(1,99\text{ cm})^2}{4}}&\scriptsize \\[5pt] A&=0,995\text{ cm}\cdot\sqrt{16\text{ cm}^2 - 0,99\text{ cm}}&\scriptsize \\[5pt] A&=3,85\text{ cm}^2& \end{array} $
$ A =3,85\text{ cm}^2 $
Um den gesamten Flächeninhalt der Figur zu erhalten, müssen die zuvor einzel berechneten Flächeninhalte der verschiedenen Dreiecke addiert werden.
$A_g= A_1 + A_2 + A_3$
$A_g= 3,9\text{ cm}^2 + 2,99\text{ cm}^2 + 3,85\text{ cm}^2$
$A_g= 10,74\text{ cm}^2$
$A_g= A_1 + A_2 + A_3$
$A_g= 3,9\text{ cm}^2 + 2,99\text{ cm}^2 + 3,85\text{ cm}^2$
$A_g= 10,74\text{ cm}^2$
5.  Umfang
Um den Umfang des gleichseitigen Dreiecks bestimmen zu können, musst du als erstes die Länge der Schenkel berechnen. Hierfür benötigst du folgende Formel:
$h=\dfrac{a\cdot\sqrt3}{2}$
Nun setzt du den Wert 3 cm für $h$ ein und löst die Gleichung nach $a$ auf.
$ \begin{array}{rll} 3\text{ cm}=&\dfrac{a\cdot\sqrt3}{2}&\scriptsize \mid \cdot 2 \\[5pt] 6\text{ cm}=&a\cdot\sqrt3&\scriptsize \mid :\sqrt3 \\[5pt] a=&\frac{6\text{ cm}}{\sqrt3}&\scriptsize \\[5pt] a\approx&3,46\text{ cm}&\scriptsize \end{array} $
Da bei einem gleichseitigen Dreieck alle Schenkel gleichlang sind, kannst du mit folgender Formel den Umfang des Dreiecks bestimmen:
$ \begin{array}{rll} u=&3 \cdot a&\scriptsize \\[5pt] u=&3 \cdot3,46\text{ cm}&\scriptsize \\[5pt] u=&10,38 \text{ cm}&\scriptsize \end{array} $
Das gleichseitige Dreieck hat einen Umfang von 10,38 cm.
6. 
a)  Flächeninhalt berechnen
Berechne den Flächeninhalt mit folgender Formel:
$ \begin{array}{rll} A=&\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin\;\beta&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A=&\dfrac{1}{2}\cdot 5\text{ cm}\cdot 6,5\text{ cm}\cdot \sin\;35^{\circ}\\[5pt] A=&16,25\text{ cm}²\cdot 0,5736\\[5pt] A=&9,32\text{ cm}² \end{array} $
$ A= 9,32\text{ cm}^2 $
b)  Höhe $\mathbf{h_c}$ berechnen
Berechne die Höhe $h_c$ mit Hilfe des berechneten Flächeninhalts:
$ \begin{array}{rll} A=&\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot h_c&\scriptsize \mid \cdot\left(\dfrac{2}{c}\right)\\[5pt] \dfrac{2\cdot A}{c}=&h_c&\\[5pt] \dfrac{2\cdot 9,32\text{ cm}²}{6,5\text{ cm}}=&h_c&\\[5pt] 2,87\text{ cm}=&h_c \end{array} $
c)  Länge der Seite $\mathbf{b}$ berechnen
Berechne die Seite $b$ mit dem Kosinussatz:
$ \begin{array}{rll} b²=&a²+c²-2\cdot a \cdot c \cdot \cos\;\beta&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] b²=&(5\text{ cm})²+(6,5\text{ cm})²-2\cdot 5\text{ cm} \cdot 6,5\text{ cm} \cdot \cos\;35 ^\circ\\[5pt] b²=&25\text{ cm}²+42,25\text{ cm}²-65\text{ cm}² \cdot 0,819\\[5pt] b²=&67,25\text{ cm}²-53,24\text{ cm}²\\[5pt] b²=&14.01\text{ cm}²&\scriptsize\mid\sqrt{\;}\\[5pt] b=&3,74\text{ cm} \end{array} $
$ b= 3,74\text{ cm} $
d)  Winkel $\alpha$ berechnen
Berechne den Winkel $\alpha$ mit dem Sinussatz:
$ \begin{array}{rll} \dfrac{\sin\;\alpha}{a}=&\dfrac{\sin\;\beta}{b}&\quad\scriptsize\mid \cdot a\\[5pt] \sin\;\alpha=&a \cdot \dfrac{\sin\;\beta}{b}&\quad\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \sin\;\alpha=&5\text{ cm} \cdot \dfrac{\sin\;35 ^\circ}{3,74\text{ cm}}\\[5pt] \sin\;\alpha=&5\text{ cm} \cdot \dfrac{0,574}{3,74\text{ cm}}\\[5pt] \sin\;\alpha=&0,767&\quad\scriptsize\mid \sin^{-1}\\[5pt] \alpha=&50 ^\circ \end{array} $
$ \alpha= 50 ^\circ $
7. 
a)  Winkel $\beta$ berechnen
Berechne den Winkel $\beta$ mit dem Sinussatz:
$ \begin{array}{rll} \dfrac{\sin\;\beta}{b}=&\dfrac{\sin\;\alpha}{a}&\quad\scriptsize\mid \cdot b\\[5pt] \sin\;\beta=&b \cdot \dfrac{\sin\;\alpha}{a}&\quad\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \sin\;\beta=&3,5\text{ cm} \cdot \dfrac{\sin\;40 ^\circ}{3\text{ cm}}\\[5pt] \sin\;\beta=&3,5\text{ cm} \cdot \dfrac{0,643}{3\text{ cm}}\\[5pt] \sin\;\beta=&0,7499&\quad\scriptsize\mid sin^{-1}\\[5pt] \beta=&48,6 ^\circ \end{array} $
$ \beta = 48,6 ^\circ $
b)  Länge der Seite $\mathbf{c}$ berechnen
1. Schritt: Winkel $\gamma$ berechnen
Berechne den Winkel $\gamma$ über die Winkelsumme im Dreieck:
$ \begin{array}{rll} \gamma&=180 ^\circ-\alpha-\beta&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \gamma&=180 ^\circ-40 ^\circ-48,6 ^\circ&\\[5pt] \gamma&=91,4 ^\circ& \end{array} $
$ \gamma = 91,4 ^\circ $
2. Schritt: Länge der Seite $\mathbf{c}$ berechnen
Berechne die Seite $c$ mit dem Kosinussatz:
$ \begin{array}{rll} c²=&a²+b²-2\cdot a \cdot b \cdot cos\;\gamma&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] c²=&(3\text{ cm})²+(3,5\text{ cm})²-2\cdot 3\text{ cm} \cdot 3,5\text{ cm} \cdot \cos\;91,4 ^\circ\\[5pt] c²=&9\text{ cm}²+12,25\text{ cm}²-(21\text{ cm}² \cdot (-0,0244))\\[5pt] c²=&9\text{ cm}²+12,25\text{ cm}²+0,51\text{ cm}²\\[5pt] c²=&21,76\text{ cm}²&\scriptsize\mid\sqrt{\;}\\[5pt] c=&4,66\text{ cm} \end{array} $
$ c = 4,66\text{ cm} $
c)  Höhe $\mathbf{h_c}$ berechnen
Berechne die Höhe $h_c$ mit Hilfe des Sinus:
$ \begin{array}{rll} \sin\;\alpha=&\dfrac{h_c}{b}&\scriptsize \mid \cdot b\\[5pt] h_c=&\sin\;\alpha \cdot b&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] h_c=&\sin\;40 ^\circ \cdot 3,5\text{ cm} \\[5pt] h_c=&0,643 \cdot 3,5\text{ cm} \\[5pt] h_c=&2,25\text{ cm} \end{array} $
$ h_c = 2,25\text{ cm} $
d)  Flächeninhalt berechnen
Berechne den Flächeninhalt mit folgender Formel:
$ \begin{array}{rll} A=&\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot h_c\\[5pt] A=&\dfrac{1}{2}\cdot 4,66\text{ cm} \cdot 2,25\text{ cm}\\[5pt] A=&5,24\text{ cm}² \end{array} $
8. 
a)  Winkel $\alpha$ berechnen
Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymetrisch. Es hat zwei gleich große Winkel und zwei gleich lange Seiten.
Da das Dreieck auch rechtwinklig ist, beträgt der Winkel $\alpha$:
$\alpha=\dfrac{180 ^\circ-90 ^\circ}{2}$
$\alpha=45 ^\circ$
alternativ
Berechne mit dem Tangens:
$ \begin{array}{rll} \tan\;\alpha=&\dfrac{h_c}{c_1}&\scriptsize \mid h_c=c_1 \\[5pt] \tan\;\alpha=&1&\scriptsize \mid tan^{-1}\\[5pt] \alpha=&45 ^\circ \end{array} $
b)  Länge der Seite $\mathbf{b}$ berechnen
Berechne die Seite $b$ mit dem Satz des Pythagoras:
$ \begin{array}{rll} b²=&h_c²+c_1²&\scriptsize h_c=c_2=3,54\text{ cm} \\[5pt] b²=&(3,54\text{ cm})²+(3,54\text{ cm})²\\[5pt] b²=&12,5\text{ cm}²+12,5\text{ cm}²\\[5pt] b=&25\text{ cm}²&\scriptsize \mid\sqrt{\;}\\[5pt] b=&5\text{ cm} \end{array} $
$ b = 5\text{ cm} $
c)  Länge der Seite $\mathbf{a}$ berechnen
Berechne die Seite $a$ mit dem Kosinus:
$ \begin{array}{rll} \cos\;\gamma_2=&\dfrac{h_c}{a}&\scriptsize \mid \cdot a\\[5pt] a \cdot \cos\;\gamma_2=&h_c&\scriptsize \mid :\cos\;\gamma_2\\[5pt] a =&\dfrac{h_c}{\cos\;\gamma_2}&\scriptsize \text{einsetzen} \end{array} $
$ \begin{array}{rll} a =&\dfrac{3,54\text{ cm}}{\cos\;35 ^\circ}\\[5pt] a =&\dfrac{3,54\text{ cm}}{0,819}\\[5pt] a =&4,3\text{ cm} \end{array} $
d)  Länge der Seite $\mathbf{c}$ berechnen
1. Schritt: Winkel $\gamma$ berechnen
Wie schon in a) erläutert ist der Winkel $\gamma_1=45 ^\circ$.
Somit beträgt der Winkel $\gamma=\gamma_1+\gamma_2=45 ^\circ+35 ^\circ=80 ^\circ$
2. Schritt: Länge der Seite $\mathbf{c}$ berechnen
Berechne die Seite $c$ mit dem Kosinussatz:
$ \begin{array}{rll} c²=&a²+b²-2\cdot a \cdot b \cdot \cos\;\gamma&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] c²=&(4,3\text{ cm})²+(5\text{ cm})²-2\cdot 4,3\text{ cm} \cdot 5\text{ cm} \cdot \cos\;80 ^\circ\\[5pt] c²=&18,49\text{ cm}²+25\text{ cm}²-(43\text{ cm}²\cdot 0,1736)\\[5pt] c²=&18,49\text{ cm}²+25\text{ cm}²-7,47\text{ cm}²\\[5pt] c²=&36\text{ cm}²&\scriptsize\mid\sqrt{\;}\\[5pt] c=&6\text{ cm} \end{array} $
$ c = 6\text{ cm} $
e)  Flächeninhalt berechnen
Berechne den Flächeninhalt mit folgender Formel:
$ \begin{array}{rll} A=&\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot h_c\\ A=&\dfrac{1}{2}\cdot 6\text{ cm} \cdot 3,54\text{ cm}\\ A=&10,62\text{ cm}² \end{array} $
f)  Umfang berechnen
$ \begin{array}{rll} u&=a+b+c &\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] u&=4,3\text{ cm}+5\text{ cm}+6\text{ cm}\\[5pt] u&=15,3\text{ cm} \end{array} $
$ u = 15,3\text{ cm} $
9. 
a)  Umfang oberes Beet
1. Schritt: Seite $\mathbf{b}$ berechnen
Dreieck: Vermischte Aufgaben
Dreieck: Vermischte Aufgaben
Berechne die Seite $b$ mit dem Kosinus:
$ \begin{array}{rll} \cos\;\alpha=&\dfrac{\frac{c}{2}}{b}&\scriptsize \mid \cdot b\\[5pt] b\cdot \cos\;\alpha=&\frac{c}{2}&\scriptsize \mid \: \cos\;\alpha\\[5pt] b=&\dfrac{\frac{c}{2}}{\cos\;\alpha}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] b=&\dfrac{0,5\text{ m}}{\cos\;45^{\circ}}\\[5pt] b=&\dfrac{0,5\text{ m}}{0,707}\\[5pt] b=&0,7\text{ m} \end{array} $
2. Schritt: Umfang berechnen
Die Seiten $a$ und $b$ sind im gleichschenkligen Dreieck gleich lang.
$ \begin{array}{rll} u&=2\cdot b+c& \scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] u&=2\cdot 0,7\text{ m}+1\text{ m}\\[5pt] u&=2,4\text{ m} \end{array} $
Umfang unteres Beet
Die Seiten $a$ und $b$ sind im gleichschenkligen Dreieck gleich lang.
1. Schritt: Seite $\mathbf{c}$ berechnen
Dreieck: Vermischte Aufgaben
Dreieck: Vermischte Aufgaben
Berechne die Seite $c$ mit dem Kosinussatz.
$ \begin{array}{rll} c²=&a²+b²-2\cdot a \cdot b \cdot \cos\;\gamma&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] c²=&(1\text{ m})²+(1\text{ m})²-2\cdot 1\text{ m} \cdot 1\text{ m} \cdot \cos\;50°\\[5pt] c²=&2\text{ m}²-(2\text{ m}² \cdot 0,643)\\[5pt] c²=&2\text{ m}²-1,286\text{ m}²\\[5pt] c²=&0,714\text{ m}²&\scriptsize \mid \sqrt{\;}\\[5pt] c\approx&0,85\text{ m} \end{array} $
$ c\approx 0,85\text{ m} $
2. Schritt: Umfang berechnen
Die Seiten $a$ und $b$ sind im gleichschenkligen Dreieck gleich lang.
$ \begin{array}{rll} u&=2\cdot a+c&\scriptsize einsetzen\\[5pt] u&=2\cdot 1\text{ m}+0,85\text{ m}\\[5pt] u&=2,85\text{ m} \end{array} $
b)  Umfang der Rasenfläche berechnen
Im gleichseitigen Dreiecke sind alle Seiten gleich lang.
$ \begin{array}{rll} u&=3\cdot a&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] u&=3\cdot 3\text{ m}\\[5pt] u&=9\text{ m} \end{array} $
c)  Rasenfläche berechnen
Zuerst wird die Fläche des gleichseitigen Dreiecks berechnet.
Ziehe anschließend die Flächen der Gleichschenkligen Dreiecke ab.
1. Schritt: Fläche des gleichseitigen Dreiecks
$ \begin{array}{rll} A=&\dfrac{a²\cdot \sqrt{3}}{4}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A=&\dfrac{(3\text{ m})²\cdot \sqrt{3}}{4}\\[5pt] A=&\dfrac{9\text{ m}²\cdot \sqrt{3}}{4}\\[5pt] A=&3,9\text{ m}² \end{array} $
2. Schritt: Fläche des oberen Beets
$ \begin{array}{rll} A_o=&\dfrac{c}{2}\cdot \sqrt{a²-\dfrac{c²}{4}}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_o=&\dfrac{1\text{ m}}{2}\cdot \sqrt{(0,7\text{ m})²-0,25\text{ m}²}\\[5pt] A_o=&0,5\text{ m}\cdot 0,49\text{ m}\\[5pt] A_o\approx&0,25\text{ m}² \end{array} $
$ A_o\approx 0,25\text{ m}^2 $
3. Schritt: Fläche des unteren Beets
$ \begin{array}{rll} A_u=&\dfrac{c}{2}\cdot \sqrt{a²-\dfrac{c²}{4}}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_u=&\dfrac{0,85\text{ m}}{2}\cdot \sqrt{1\text{ m}²-0,181\text{ m}²}\\[5pt] A_u=&0,425\text{ m}\cdot \sqrt{0,819\text{ m}²}\\[5pt] A_u=&0,425\text{ m}\cdot 0,9\text{ m}\\[5pt] A_u\approx&0,38\text{ m}² \end{array} $
$ A_u\approx 0,38\text{ m}^2 $
4. Schritt: Rasenfläche
$ \begin{array}{rll} A=&A-A_o-A_u&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A=&3,9\text{ m}²-0,25\text{ m}²-0,38\text{ m}²\\[5pt] A=&3,27\text{ m}² \end{array} $
$ A = 3,27\text{ m}^2 $
10. 
a)  Abstand zwischen beiden Zeigern berechnen
1. Schritt: Winkel zwischen beiden Zeigern berechnen
Ein Kreis hat insgesamt einen Winkel von $360 ^\circ$.
Somit ergibt sich für jede Stunde ein Kreisbogen mit dem Winkel
$\dfrac{360 ^\circ}{12}=30 ^\circ$
Um 2 Uhr beträgt der Winkel zwischen beiden Zeigern $60 ^\circ$
2. Schritt: Abstand berechnen
Mit dem Kosinussatz lässt sich der Abstand der beiden Zeigerspitzen berechnen.
$ \begin{array}{rll} a²=&b²+c²-2\cdot b \cdot c \cdot \cos\;\alpha&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] a²=&(10\text{ cm})²+(15\text{ cm})²-2\cdot 10\text{ cm} \cdot 15\text{ cm} \cdot \cos\;60 ^\circ\\[5pt] a²=&100\text{ cm}²+225\text{ cm}²-(300\text{ cm}² \cdot 0,5)\\[5pt] a²=&325\text{ cm}²-150\text{ cm}²\\[5pt] a²=&175\text{ cm}²&\scriptsize\mid\sqrt{\;}\\[5pt] a=&13,23\text{ cm} \end{array} $
$ a = 13,23\text{ cm} $
Die Zeigerspitzen sind um 2 Uhr $13,23\text{ cm}$ voneinander entfernt.
b)  Abstand zwischen beiden Zeigern berechnen
1. Schritt: Winkel zwischen beiden Zeigern berechnen
Um 4 Uhr beträgt der Winkel zwischen beiden Zeigern $120 ^\circ$
2. Schritt: Abstand berechnen
Mit dem Kosinussatz lässt sich der Abstand der beiden Zeigerspitzen berechnen.
$ \begin{array}{rll} a²=&b²+c²-2\cdot b \cdot c \cdot \cos\;\alpha&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] a²=&(10\text{ cm})²+(15\text{ cm})²-2\cdot 10\text{ cm} \cdot 15\text{ cm} \cdot \cos\;120 ^\circ\\[5pt] a²=&100\text{ cm}²+225\text{ cm}²-(300\text{ cm}² \cdot (-0,5))\\[5pt] a²=&325\text{ cm}²+150\text{ cm}²\\[5pt] a²=&475\text{ cm}²&\scriptsize\mid\sqrt{\;}\\[5pt] a=&21,8\text{ cm} \end{array} $
$ a = 21,8\text{ cm} $
Die Zeigerspitzen sind um 4 Uhr $21,8\text{ cm}$ voneinander entfernt.
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