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Mittelsenkrechte

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Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Abb. 1: Konstruieren einer Mittelsenkrechten
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Abb. 1: Konstruieren einer Mittelsenkrechten
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Mittelsenkrechte

Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Abb. 1: Standorte der beiden Schulen
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Abb. 1: Standorte der beiden Schulen

Erklärung

Die Mittelsenkrechte $m_s$ ist die Symmetrieachse und Halbierende einer Strecke $\overline{AB}$. Um einen gleichen Abstand von zwei Punkten zu erhalten, kannst du sie konstruieren.
  1. Dazu zeichnest du zwei Ausgangspunkte $\text{A}$ und $\text{B}$ ein und setzt die Zirkelnadel in diese Punkte.
  2. Du zeichnest jeweils einen Kreis mit gleichem Radius um $\text{A}$ und $\text{B}$. Beim Einstellen des Zirkels musst du darauf achten, dass sich die beiden Kreise schneiden. Der Radius darf also nicht zu klein oder zu groß eingestellt sein.
  3. Die Schnittpunkte, die sich ergeben, zeichnest du nun ein.
  4. Wenn du die Schnittpunkte verbindest, ergibt sich die Mittelsenkrechte $m_s$.
  5. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten $m_s$ und der Strecke $\overline{AB}$ ist der Mittelpunkt von $\overline{AB}$.
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Abb. 2: Anleitung zum Konstruieren der Mittelsenkrechten
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Abb. 2: Anleitung zum Konstruieren der Mittelsenkrechten

Beispiel

Mit Hilfe der Mittelsenkrechten $m_s$ können Katharina und Julia nun den Standort ihrer Mensa bestimmen, ohne ein Lineal mit Skala verwenden zu müssen.
Sie verwenden dafür einen Stadtplan und markieren ihre Schulen dort als Punkte $\text{A}$ und $\text{B}$. Sie zeichnen jeweils einen Kreis mit gleichem Radius um die Punkte, sodass sich zwei Schnittpunkte ergeben. Diese verbinden sie zu einer Mittelsenkrechten $m_s$. Kathrarina und Lisa müssen nun nur noch den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und der Strecke $\overline{AB}$ ablesen, welcher den Mittelpunkt ergibt. So erhalten sie den ungefähren Standort ihrer Mensa.
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Abb. 3: Bestimmung des Standortes der Mensa
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Abb. 3: Bestimmung des Standortes der Mensa
Lisa sieht auf dem Stadtplan, dass die Mensa in der Nähe des Kinos sein muss. Als sie mit dem Fahrrad dort vorbei fahren, sehen sie in einer Seitenstraße einen großen Bauplatz. Auf dem ein Schild steht: Neubau Mensa.
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Aufgaben
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1.  Erkläre mit Hilfe einer Skizze, wie man mit Zirkel und Lineal eine Mittelsenkrechte konstruieren kann.
2.  Konstruiere zu folgenden Strecken eine Mittelsenkrechte.
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Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
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Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
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Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
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Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
3.  Zeichne alle Mittelsenkrechten in das gegebene Dreieck ein.
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Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
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Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
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Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
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Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
4.  Bestimme mit Hilfe der Mittelsenkrechten den Mittelpunkt des Rechtecks.
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
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Lösungen
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1.  $\blacktriangleright$ Mittelsenkrechte zeichnen
Um eine Mittelsenkrechte zu zeichnen musst du wie folgt vorgehen:
  • Wähle einen geeigneten Radius, dieser sollte etwas größer als die Hälfte der Länge der Strecke sein
  • Zeichne nun jeweils einen Kreis um die Eckpunkte $A$ und $B$
  • Markiere die Schnittpunkte der Kreise $S1$ und $S2$
  • Zieh zum Schluss eine Gerade durch $S1$ und $S2$
  • Diese Gerade ist die gesuchte Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
2.  $\blacktriangleright$ Mittelsenkrechte auf einer Strecke
Wie in Aufgabe 1 schon musst du nur die Schritte befolgen und du erhältst deine Mittelsenkrechte.
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Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
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Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
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Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
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Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
3.  $\blacktriangleright$ Mittelsenkrechten in Dreiecken
Auch hier musst du nur die Schritte aus Aufgabe 1 befolgen. Dabei solltest du nur beachten, dass ein Dreieck aus 3 Strecken besteht. Dementsprechend bekommst du am Ende 3 Mittelsenkrechten.
Damit es übersichtlicher ist haben die Kreise hier in der Lösung alle den selben Radius, somit brauchen wir nur insgesamt 3 Kreise und nicht 6 (2 pro Strecke). Du kannst natürlich auch 6 Kreise ziehen. Das ist genauso richtig, wenn du eben beachtest, dass die Kreise für den selben Streckenabschnitt den gleichen Radius besitzen!
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Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
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Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
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Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
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Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
4.  $\blacktriangleright$ Mittelpunkt im Rechteck bestimmen
Hier wird es zwei Lösungswege geben, wir gehen zuerst den bekannten Weg. Dafür musst du zuerst wieder wie gewohnt die Mittelsenkrechten einzeichnen. Beachte, dass eine vertikale und eine horizontale Mittelsenkrechte ausreicht, da Mittelsenkrechten Geraden sind, und Geraden unendlich lang sind. Zeichnest du also z.B die Mittelsenkrechte zwischen $A$ und $B$ ein und verlängerst diese, so erhältst du auch die Mittelsenkrechte zwischen $C$ und $D$. Gleiches gilt natürlich auch für die Mittelsenkrechte zwischen $A$ und $D$ (bzw. $B$ und $C$).
  • Zeichne eine vertikale und eine horizontale Mittelsenkrechte ein
  • Markiere den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
  • Dieser Schnittpunkt ist dein Mittelpunkt $M$
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
Alternativ
Da es sich um ein Rechteck handelt, kannst du den Mittelpunkt hier auch mit einer anderen Methode finden. Dabei musst du nur eine Gerade durch die gegenüberliegenden Eckpunkte ziehen, also durch $A$ und $C$ und durch $B$ und $D$. Wichtig ist, dass diese Antwort hier zwar richtig ist, da du damit auch den Mittelpunkt findest, aber die Fragestellung darauf hinweist, dass du den anderen Weg nehmen solltest! Benutze diese Methode also nur, wenn kein besonderer Weg gefragt ist!
Geometrische Konstruktionen: Mittelsenkrechte
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