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Regelmäßiges Vieleck

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Erklärung

Vierecke und Vielecke: Regelmäßiges Vieleck


Ein regelmäßiges Vieleck hat n Ecken und n gleich lange Seiten a. Die n Innenwinkel $\omega$ sind ebenfalls gleich groß.
Vierecke und Vielecke: Regelmäßiges Vieleck Ein regelmäßiges Vieleck hat n Ecken und n gleich lange Seiten a. Die n Innenwinkel $\omega$ sind ebenfalls gleich groß.

Vorgehen

In einem regelmäßigen Vieleck gilt folgendes:
  • Winkel: $\omega=\frac{360°}{n}$; $\alpha+\omega=180°$
  • Ecken: A, B, C, D, E, …
  • Umfang: $u=n\cdot a$
  • Seiten: $n\cdot a$
  • Höhen: $h=\tan \frac{\alpha}{2}\cdot \frac{a}{2}$

Beispiel

Wir wollen die Fläche, den Winkel $\alpha$, den Umfang und die Höhe eines regelmäßigen Fünfecks mit $a=5$ cm berechnen.
Umfang:
$u=5\cdot a=5\cdot4\text{ cm}=20\text{ cm}$
Winkel $\alpha$:
$\omega=\frac{360°}{5}=72°$
$\alpha=180°-72°=108°$
Höhe $h$:
$h=\tan \frac{\alpha}{2}\cdot \frac{a}{2}=\tan 54° \cdot2\text{ cm}=2,75$ cm\vspace{.2cm}
Fläche:
$A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot 4\text{ cm}\cdot 2,75\text{ cm}=5,5\text{ cm}²$
$A_{Ges}=5\cdot A_{Dreieck}=5\cdot 5,5\text{ cm}²=27,5\text{ cm}²$
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Vierecke und Vielecke: Regelmäßiges Vieleck
Vierecke und Vielecke: Regelmäßiges Vieleck Bearbeite die folgenden Aufgaben.
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1.  Ein regelmäßiges Sechseck ist mit der Seitenlänge $a=3$ cm gegeben.
Vierecke und Vielecke: Regelmäßiges Vieleck
Vierecke und Vielecke: Regelmäßiges Vieleck
Berechne den Umfang und den Flächeninhalt.
2.  Damit Blinde leichter die Münzen unterscheiden können, hat das 20-Eurocent-Stück sieben Einkerbungen am Rand. Die sieben Einkerbungen sind gleichmäßig angebracht, wie die Eckpunkte eines regelmäßigen Siebenecks.
Der Abstand zwischen den Ecken beträgt $1$ cm.
Vierecke und Vielecke: Regelmäßiges Vieleck
Vierecke und Vielecke: Regelmäßiges Vieleck
Welchen Durchmesser hat das 20-Eurocent-Stück?
3.  Der Felsendom ist eines der bekanntesten Wahrzeichen Jerusalems. Den Grundriss bildet ein Achteck, das in einen Kreis mit $55$ m Durchmesser eingepasst ist.
Vierecke und Vielecke: Regelmäßiges Vieleck
Vierecke und Vielecke: Regelmäßiges Vieleck
Wie lang ist die Seite $a$?
4.  Die Ecken eines regelmäßigen Neunecks liegen alle auf einem Kreis mit dem Durchmesser $d=40$ cm und $a=13,68$ cm.
Vierecke und Vielecke: Regelmäßiges Vieleck
Vierecke und Vielecke: Regelmäßiges Vieleck
Um wie viel ist der Flächeninhalt des Kreises größer als der des Neunecks?
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Lösungen
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1.  Umfang und Flächeninhalt berechnen
Vierecke und Vielecke: Regelmäßiges Vieleck
Vierecke und Vielecke: Regelmäßiges Vieleck
Den Umfang des regelmäßigen Sechsecks kannst du mit folgender Formel berechnen:
$ \begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} u=&n\cdot a&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] u=&6\cdot3\,\text{cm}&\scriptsize \\[5pt] u=&18\,\text{cm}&\scriptsize \end{array} $
Das Sechseck hat einen Umfang von 18 cm.
Um den Flächeninhalt berechnen zu können, musst du die Fläche $A_{Dreieck}$ berechnen.
Da es sich um gleichschenkliges Dreieck handelt, kannst du mit folgender Formel den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen:
$A_{Dreieck}=\frac{a}{2}\cdot\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}$
Zuerst musst du jedoch mit dem Sinus die Länge der Seite $b$ berechnen.
Da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, teilt die Höhe $h_a$ den Winkel $\alpha$ und die Seite $a$ genau in der Mitte. Aus diesem Grund kannst du nun mit dem Sinus die Länge der Seite $b$ berechnen.
$ \begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=&\frac{\frac{a}{2}}{b}&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \sin\left(\frac{60°}{2}\right)=&\frac{\frac{3}{2}}{b}&\scriptsize \\[5pt] \sin(30°)=&\frac{1,5}{b}&\scriptsize \cdot b \\[5pt] \sin(30°)\cdot b=&1,5&\scriptsize \mid :\sin(30°) \\[5pt] b=&\frac{1,5}{\sin(30°)}&\scriptsize \\[5pt] b=&3& \end{array} $
Nun Kannst du den Flächeninhalt $A_{Dreieck}$ berechnen.
$ \begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} A_{Dreieck}=&\frac{a}{2}\cdot\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A_{Dreieck}=&\frac{3\,\text{cm}}{2}\cdot\sqrt{(3\,\text{cm})^2-\frac{(3\,\text{cm})^2}{4}}&\scriptsize \\[5pt] A_{Dreieck}=&3,9\,\text{cm}^2& \end{array} $
Da das Sechseck aus sechs Dreiecken besteht, musst du die Fläche $A_{Dreieck}$ mal sechs nehmen um die Fläche $A_{Sechseck}$ zu erhalten.
Das Sechseck hat also eine Fläche von $3,9\,\text{cm}^2\cdot6=23,4\,\text{cm}^2$.
2.  Durchmesser berechnen
Vierecke und Vielecke: Regelmäßiges Vieleck
Vierecke und Vielecke: Regelmäßiges Vieleck
Um den Durchmesser des 20-Eurocent-Stück bestimmen zu können, musst du als erstes den Winkel $\alpha$ berechnen.
$ \begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \alpha=&\frac{360°}{n}&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \alpha=&\frac{360°}{7}&\scriptsize \\[5pt] \alpha\approx&51,43°& \end{array} $
Da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, teilt die Höhe $h_a$ den Winkel $\alpha$ und die Seite $a$ genau in der Mitte. Aus diesem Grund kannst du nun mit dem Sinus die Länge der Seite $b$ berechnen.
$ \begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=&\frac{\frac{a}{2}}{b}&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \sin\left(\frac{51,43°}{2}\right)=&\frac{\frac{1}{2}}{b}&\scriptsize \\[5pt] \sin(25,72°)=&\frac{0,5}{b}&\scriptsize \cdot b \\[5pt] \sin(25,72°)\cdot b=&0,5&\scriptsize \mid :\sin(25,72°) \\[5pt] b=&\frac{0,5}{\sin(25,72°)}&\scriptsize \\[5pt] b\approx&1,15& \end{array} $
Um nun den Durchmesser des 20-Eurocent-Stück bestimmen zu können, musst du die Länge der Seite $b$ mal zwei nehmen.
Das 20-Eurocent-Stück hat einen Durchmesser von $1,15\,\text{cm}\cdot2=2,3\,\text{cm}$.
3.  Länge der Seite $a$ berechnen
Um die Länge der Seite $a$ berechnen zu können, musst du als erstes den Winkel $\alpha$ berechnen. Hierfür benötigst du die folgende Formel:
$ \begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \alpha=&\frac{360°}{n}&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \alpha=&\frac{360°}{8}&\scriptsize \\[5pt] \alpha=&45°& \end{array} $
Vierecke und Vielecke: Regelmäßiges Vieleck
Vierecke und Vielecke: Regelmäßiges Vieleck
Da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, teilt die Höhe $h_a$ den Winkel $\alpha$ und die Seite $a$ genau in der Mitte. Aus diesem Grund kannst du nun mit dem Sinus die Länge der Seite $\frac{a}{2}$ berechnen.
$ \begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \sin\dfrac{\alpha}{2}=&\dfrac{\frac{a}{2}}{\frac{d}{2}}&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \sin\dfrac{45°}{2}=&\dfrac{\frac{a}{2}}{\frac{55}{2}}&\scriptsize \\[5pt] \sin(22,5°)=&\dfrac{\frac{a}{2}}{27,5}&\scriptsize \mid\cdot 27,5 \\[5pt] \frac{a}{2}=&\sin(22,5°)\cdot 27,5&\scriptsize \mid\cdot 2 \\[5pt] a=&\sin(22,5°)\cdot 27,5\cdot2&\scriptsize \\[5pt] a\approx&21,05& \end{array} $
Um nun die Länge der Seite $a$ berechnen zu können, musst du die Seite $\frac{a}{2}$ mal zwei nehmen.
Die Seite $a$ hat also eine Länge von $21,05\,\text{m}\cdot2=42,1\,\text{m}$.
4.  Flächeninhalt des Kreises und des Neunecks berechnen
Als erstes musst du die Fläche $A_{Kreis}$ wie folgt berechnen:
$ \begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} A_{Kreis}=&\pi\cdot r^2&\scriptsize \\[5pt] A_{Kreis}=&\pi\cdot \left({\frac{d}{2}}\right)^2&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A_{Kreis}=&\pi\cdot\left({\frac{40\,\text{cm}}{2}}\right)^2&\scriptsize \\[5pt] A_{Kreis}=&1256,64\,\text{cm}^2& \end{array} $
Als nächstes musst du Fläche des regelmäßigen Neunecks berechnen.
Da es sich um gleichschenkliges Dreieck handelt, kannst du mit folgender Formel den Flächeninhalt $A_{Dreieck}$ berechnen:
$ \begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} A_{Dreieck}=&\frac{a}{2}\cdot\sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}}&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A_{Dreieck}=&\frac{13,68\,\text{cm}}{2}\cdot\sqrt{\left(\frac{40\,\text{cm}}{2}\right)^2-\frac{(13,68\,\text{cm})^2}{4}}&\scriptsize \\[5pt] A_{Dreieck}\approx&128,55\,\text{cm}^2& \end{array} $
Da das Neuneck aus neun Dreiecken besteht, musst du die Fläche $A_{Dreieck}$ mal neun nehmen um die Fläche $A_{Neuneck}$ zu erhalten.
Das Neuneck hat also eine Fläche von $128,55\,\text{cm}^2\cdot9=1156,95\,\text{cm}^2$.
Nachdem du beide Flächen berechnet hast musst du sie lediglich noch ins Verhältnissetzen. Daraus folgt:
$\dfrac{A_{Kreis}}{A_{Neuneck}}=\dfrac{1256,64\,\text{cm}^2}{1156,95}\approx1,0862$
Der Flächeninhalt des Kreises ist um ca. 8,62% größer als der des Neunecks.
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