Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 9
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Mach dich schlau mit SchulLV!
Mit dem digitalen Lernverzeichnis ersetzen wir Prüfungsvorbereitungsbücher sowie Schulbücher in ganz Deutschland. SchulLV bietet schnellen Zugriff auf über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen aus über 100 Abschlüssen in allen Bundesländern. Darüber hinaus besteht Zugriff auf 1.700 Themen im Digitalen Schulbuch für sämtliche Schularten von Klasse 5-13.
Neu: Zugänge deutlich ermäßigt über die Schule kaufen! Hier klicken

Pyramide und Kegel

Spickzettel
Download als Dokument:PDF

Pyramide

Vorgehen

Mit folgenden Formeln kannst du die Größen einer Pyramide berechnen:
  • Volumen: $V=\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h$
  • Oberfläche: $A_O=A_G+A_M$

Beispiel

Wir wollen das Volumen einer quadratischen Pyramide mit Hilfe der Grundseiten $a=b=4$ cm und der Höhe $h=5$ cm berechnen.
$V $$ =\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h $$ =\frac{1}{3}\cdot a²\cdot h $$ = \frac{1}{3}\cdot\left(4\text{ cm}\right)^2\cdot 5\text{ cm} $$ =26,7\text{ cm}³$

Kegel

Ein Kegel hat einen Kreis als Grundfläche. Die Spitze des Kegels liegt über dem Mittelpunkt des Grundseitenkreises. Die Oberfläche setzt sich zusammen aus der Grundfläche (AG) und der Mantelfläche (AM). Die Mantelfläche ist ein Kreissektor (Kreisausschnitt).

Vorgehen

Mit folgenden Formeln kannst du die Größen eines Kegels berechnen:
  • Volumen: $V=\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h$
  • Mantellinie: $s=\sqrt{r^2+h^2}$
  • Mantelfläche: $A_M=\pi\cdot r\cdot s$
  • Oberfläche: $A_O=\pi\cdot r^2 + \pi\cdot r\cdot s$

Beispiel

Wir wollen das Volumen eines Kegels mit Hilfe des Radius $r=3$ cm und der Höhe $h=2$ cm berechnen.
$V=\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h $$ = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\cdot h $$ = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 9\text{ cm}^2\cdot4\text{ cm} $$ = 12\text{ cm}^3$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
Tipp:
Achte darauf, dass du für das bessere
Verständnis stets eine Skizze erstellst.
1.
Berechne das Volumen der Pyramide mit der Grundfläche $A_G=30 \text{m}^2$ und der Höhe $h=4 \text{m}$.
2.
Die Grundseite $a$ einer Pyramide ist 2 cm lang.
Welche Oberfläche hat die Pyramide, deren Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist und deren drei Seitenflächen kongruent zur Grundfläche sind?
3.
Ali und seine Klasse sind in Paris auf Klassenfahrt. Dort angekommen, führt sie der Lehrer zum meistbesuchten Museum der Welt, dem Louvre. Um sich während der Wartezeit etwas abzulenken, blättert Ali in einem Prospekt. Dort liest er: „Die quadratische Glaspyramide des Louvre hat eine Höhe von $21,65$ Metern und hat die Seitenlänge von 35 Metern.“
Wie groß ist das Volumen dieser Pyramide?
Quelle: Benh LIEU SONG
http://de..wikipedia.org/wiki/Louvre
4.
Berechne das Volumen eines Kegels mit der Grundfläche $A_G=36\text{ m}^2$ und der Höhe $h=15$ m.
5.
Viktor möchte aus Papier eine kegelförmige Tüte basteln. Dazu schneidet er einen Viertelkreis mit dem Radius $r=10\text{ cm}$ aus.
Welchen Durchmesser hat die Öffnung der Papiertüte?
6.
Ein Sandhaufen hat die Form eines Kegels. Er ist 1 m hoch und hat einen Steigungswinkel von $30°$.
Welches Gewicht hat der Sandhaufen? ($1\text{ m}³\mathrel{\widehat{=}}1,8\text{ t}$)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
Volumen berechnen
Setze die Werte aus der Aufgabenstellung in die allgemeine Volumenformel für Pyramiden ein. Gegeben ist dir die Grundfläche und die Höhe.
$ \begin{array}[t]{rll} V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot A_G \cdot h&\quad\scriptsize\mid \text{einsetzen}\\[5pt] V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot 30\text{ m}^2 \cdot 4\text{ m}\\[5pt] V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot 120\text{ m}^3\\[5pt] V_P=&40\text{ m}^3\\[5pt] \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot A_G \cdot h&\\[5pt] V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot 30\text{ m}^2 \cdot 4\text{ m}\\[5pt] V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot 120\text{ m}^3\\[5pt] V_P=&40\text{ m}^3\\[5pt] \end{array} $
Das Volumen der Pyramide beträgt $40\text{ m}^3$.
2.
Dreiseitige Pyramide
Da es sich um eine Pyramide handelt, deren Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist und deren drei Seitenflächen zur Grundfläche kongruent sind, sind alle 4 Seiten gleich groß. Daher lässt sich die Oberfläche mit folgender Formel bestimmen:
$A_O=4\cdot A_G$.
Zunächst muss die Höhe der Pyramide mithilfe des Satz des Pythagoras berechnet werden.
$ \begin{array}[t]{rll} h^2=&a^2-(\frac{a}{2})^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] h^2=&(2\text{ cm})^2-(1\text{ cm})^2\\[5pt] h^2=&4{ cm}^2-1\text{ cm}^2\\[5pt] h^2=&3\text{ cm}^2&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] h=&\sqrt{3}\text{ cm} \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} h=&\sqrt{3}\text{ cm} \end{array} $
Nun kannst du den Flächeninhalt eines einzelnen Dreiecks bestimmen.
$ \begin{array}[t]{rll} A_G=&\frac{1}{2}\cdot a \cdot h_a&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_G=&\frac{1}{2}\cdot 2\text{ cm} \cdot \sqrt{3}\text{ cm}\\[5pt] A_G=&\sqrt{3}\text{ cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} A_G=&\sqrt{3}\text{ cm}^2 \end{array} $
Zum Schluss wird die Oberfläche berechnet.
$ \begin{array}[t]{rll} A_O=&4\cdot A_G&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_O=&4\cdot\sqrt{3}\\[5pt] A_O=&6,93\text{ cm}^2 \end{array} $
3.
Volumen der Pyramide
Setze die Werte aus der Aufgabenstellung in die allgemeine Volumenformel für Pyramiden ein. Bekannt ist dir, dass es sich um eine quadratische Pyramide handelt, dass heißt, die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $a=35\text{ m}$.
$ \begin{array}[t]{rll} V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot A_G \cdot h\\[5pt] V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot a^2 \cdot h&\quad\scriptsize\mid \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot \left(35\text{ m}\right)^2 \cdot 21,65\text{ m}\\[5pt] V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot 35\text{ m}\cdot 35\text{ m} \cdot 21,65\text{ m}\\[5pt] V_P\approx&\dfrac{1}{3}\cdot 26.521,3\text{ m}^3\\[5pt] V_P\approx&8.840,4\text{ m}^3 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} V_P\approx&8.840,4\text{ m}^3 \end{array} $
Das Volumen der Pyramide beträgt $8.840,4\text{ m}^3$.
4.
Volumen berechnen
Setze die Werte aus der Aufgabenstellung in die Formel ein. Gegeben ist dir die Grundfläche und die Höhe des Kegels.
$ \begin{array}[t]{rll} V_K=&\dfrac{1}{3}\cdot A_G \cdot h&\quad\scriptsize\mid \text{einsetzen}\\[5pt] V_K=&\dfrac{1}{3}\cdot 36\text{ m}^2 \cdot 15\text{ m}\\[5pt] V_K=&\dfrac{1}{3}\cdot 540\text{ m}^3\\[5pt] V_K=&180\text{ m}^3\\[5pt] \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} V_K=&180\text{ m}^3\\[5pt] \end{array} $
Das Volumen des Kegels beträgt $180\text{ m}^3$.
5.
Durchmesser berechnen
Zunächst musst du die Länge $b$ des Kreisbogens berechnen. Dies entspricht dem Umfang der Öffnung.
$ \begin{array}[t]{rll} b=&\frac{1}{4}\cdot \pi \cdot 2r&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] b=&\frac{1}{4}\cdot \pi \cdot 20\text{ cm}\\[5pt] b=&15,7\text{ cm} \end{array} $
Nun kannst du mittels Formel für den Umfang des Kreises ($u=\pi \cdot d$) den Durchmesser $d$ berechnen.
$ \begin{array}[t]{rll} u=&\pi \cdot d &\scriptsize \text{umstellen}\\[5pt] d=&\frac{u}{\pi}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] d=&\frac{15,7\text{ cm}}{\pi}\\[5pt] d=&5\text{ cm} \end{array} $
Der Durchmesser $d$ beträgt $5\text{ cm}$.
6.
Gewicht des Sandhaufens
Um das Gewicht des Sandhaufens bestimmen zu können, muss zunächst das Volumen bestimmt werden. Dieses kannst du mithilfe der Grundfläche und der Höhe bestimmen. Die Grundfläche kann durch den Tangens berechnet werden.
´ Die Ankathete $r$ soll berechnet werden, sie entspricht dem Radius der Grundfläche.
$ \begin{array}[t]{rll} tan \alpha=&\dfrac{Gegenkathete}{Ankathete}&\scriptsize \text{umstellen}\\[5pt] Ankathete=&\dfrac{Gegenkathete}{tan \alpha}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] r=&\dfrac{1\text{ m}}{tan 30}\\[5pt] r=&1,73\text{ m} \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} r=&\dfrac{1\text{ m}}{tan 30}\\[5pt] r=&1,73\text{ m} \end{array} $
Nun kannst du die Grundfläche berechnen.
$ \begin{array}[t]{rll} A_G=&\pi\cdot r^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_G=&\pi\cdot (1.73\text{ m})^2\\[5pt] A_G=&9,4\text{ m}^2 \end{array} $
Mithilfe der Formel für das Volumen eines Kegels lässt sich nun dieses bestimmen.
$ \begin{array}[t]{rll} V_K=&\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] V_K=&\frac{1}{3}\cdot 9,4\text{ m}^2\cdot 1\text{ m}\\[5pt] V_K=&3,13\text{ m}^3 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} V_K=&\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h&\\[5pt] V_K=&\frac{1}{3}\cdot 9,4\text{ m}^2\cdot 1\text{ m}\\[5pt] V_K=&3,13\text{ m}^3 \end{array} $
Da $1\text{ m}^3 \mathrel{\widehat{=}} 1,8\text{ t}$ musst du nun das Volumen mit $1,8$ multiplizieren um das Gewicht \mbox{(Masse m)} des Sandhaufens zu erhalten.
$ \begin{array}[t]{rll} m=&V_K\cdot 1,8\text{ t}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] m=&3,13\cdot 1,8\text{ t}\\[5pt] m=&5,634\text{ t} \end{array} $
Der Sandhaufen wiegt $5,634\text{ t}$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App