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Rotationskörper

Spickzettel
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Erklärung

Lässt man eine Fläche um eine Achse rotieren, so entsteht ein Rotationskörper. Die bekanntesten Vertreter sind Zylinder, Kegel und Kugel.

Vorgehen

Versuche dir Vorzustellen, wie die Figur aussieht, wenn sie um die angegebene Seite rotiert. Sobald du die Figur identifiziert hast, kannst du die gesuchten Größen mit den dir bekannten Formeln für den jeweiligen Körper berechnen.

Beispiel

Sonstige Körper: Rotationskörper


Wenn du ein rechtwinkliges Dreieck um eine seiner Katheten rotieren lässt, entsteht ein Kegel.
Sonstige Körper: Rotationskörper Wenn du ein rechtwinkliges Dreieck um eine seiner Katheten rotieren lässt, entsteht ein Kegel.
Sonstige Körper: Rotationskörper


Wenn du ein Rechteck um eine seiner Seiten rotieren lässt, entsteht ein Zylinder.
Sonstige Körper: Rotationskörper Wenn du ein Rechteck um eine seiner Seiten rotieren lässt, entsteht ein Zylinder.
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Aufgaben
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Bearbeite die folgenden Aufgaben.
Tipp:
Achte darauf, dass du für das bessere
Verständnis stets eine Skizze erstellst.
1.  Ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit $a=2$ cm, $b=1,5$ cm und $c=2,5$ cm rotiert um die Seite $a$.
a)  Zeichne den entstehenden Körper.
b)  Berechne das Volumen und die Oberfläche des Körpers.
2.  Ein Halbkreis wurde ausgeschnitten, und an einen Stab geklebt.
Sonstige Körper: Rotationskörper
Sonstige Körper: Rotationskörper
Welche Figur siehst du, wenn du den Stab schnell drehst?
3.  Ein Rechteck ABCD mit $a=1$ cm und $b=2$ cm rotiert um die Seite $b$.
a)  Was für ein Körper entsteht?
b)  Berechne das Volumen und die Oberfläche des Körpers.
4. 
Sonstige Körper: Rotationskörper
Sonstige Körper: Rotationskörper
Der gefärbte Teil der Figur zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers. Es gilt: $a=1$ cm
a)  Welche Oberfläche hat der Körper?
b)  Berechne das Volumen des Körpers?
5.  Ein Rechteck mit den Seiten $a=3$ cm und $b=2$ cm rotiert um die Seite $a$.
Sonstige Körper: Rotationskörper
Sonstige Körper: Rotationskörper
a)  Was für ein Körper entsteht?
b)  Berechne das Volumen des Rotationskörpers.
c)  Zeige rechnerisch, dass sich das Volumen des Rotationskörpers ändert, wenn das Rechteck um die Seite $b$ rotiert.
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Lösungen
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1. 
a)  Rotationskörper
Es entsteht ein Kegel.
Sonstige Körper: Rotationskörper
Sonstige Körper: Rotationskörper
b)  Volumen und Oberfläche
Setze die Werte aus der Aufgabenstellung in die Volumenformel für einen Kegel ein. Gegeben ist dir der Radius der Grundfläche und die Höhe des Kegels. Die Seite $a$ entspricht nun der Höhe, die Seite $b$ entspricht dem Radius. Berechne nun die Grundfläche und anschließend das Volumen.
$ \begin{array}{rll} A_\text{G}=&\pi \cdot r^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_\text{G}=&\pi \cdot (1,5\text{ cm})^2\\[5pt] A_\text{G}=&7,07\text{ cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_\text{K}=&\dfrac{1}{3}\cdot A_\text{G} \cdot h&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] V_\text{K}=&\dfrac{1}{3}\cdot 7,07\text{ cm}^2 \cdot 2\text{ cm}\\[5pt] V_\text{K}=&\dfrac{1}{3}\cdot 14,14\text{ cm}^3\\[5pt] V_\text{K}=&4,713\text{ cm}^3 \end{array} $
Das Volumen des Kegels beträgt $4,713\text{ cm}^3$.
Bestimme nun die Oberfläche mithilfe der folgenden Formeln:
$ \begin{array}{rll} A_\text{M} =& \pi \cdot r \cdot s\\[5pt] A_\text{O} =& A_\text{G} + A_\text{M} \end{array} $
Die Seite $c$ entspricht der Mantellinie $s$. Berechne die Oberfläche durch die entsprechende Formel.
$ \begin{array}{rll} A_\text{M} =& \pi \cdot 1,5\text{ cm} \cdot 2,5\text{ cm}&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_\text{M} =& 11,78\text{ cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} A_\text{O} =& A_\text{G} + A_\text{M}&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_\text{O} =& 7,07\text{ cm}^2 + 11,78\text{ cm}^2\\[5pt] A_\text{O} =&18,85\text{ cm}^2 \end{array} $
Die Oberfläche beträgt $18,85\text{ cm}^2$.
2.  Rotationskörper Kugel
Man bekommt den Eindruck eine Kugel zu sehen.
Zur Überprüfung kannst du die Figur auch gerne nachbauen und das Experiment selber ausprobieren.
3. 
a)  Rotaionskörper
Sonstige Körper: Rotationskörper
Sonstige Körper: Rotationskörper
Es entsteht ein Zylinder.
b)  Volumen und Oberfläche
Setze die Werte aus der Aufgabenstellung in die Volumenformel für einen Zylinder ein. Gegeben ist dir der Radius der Grundfläche und die Höhe des Zylinders. Die Seite $b$ entspricht nun der Höhe, die Seite $a$ entspricht dem Radius. Berechne nun die Grundfläche und anschließend das Volumen.
$ \begin{array}{rll} A_\text{G}=&\pi \cdot r^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_\text{G}=&\pi \cdot (1\text{ cm})^2\\[5pt] A_\text{G}=&3,142\text{ cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_\text{K}=&A_\text{G} \cdot h&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] V_\text{K}=&3,142\text{ cm}^2 \cdot 2\text{ cm}\\[5pt] V_\text{K}=&6,284\text{ cm}^3 \end{array} $
Das Volumen des Zylinders beträgt $6,284\text{ cm}^3$.
Bestimme nun die Oberfläche mithilfe der folgenden Formeln:
$ \begin{array}{rll} A_\text{M} =& u\cdot h\\[5pt] A_\text{O} =& A_\text{M} + 2\cdot A_\text{G} \end{array} $
Davor musst du den Umfang berechnen. Die Formel für den Umfang eines Kreis (Geometrie in der Ebene) lautet: $u=\pi \cdot 2r$.
$ \begin{array}{rll} A_\text{M} =& u\cdot h&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_\text{M} =& 2\pi\cdot 2\text{ cm}\\[5pt] A_\text{M} =& 4\pi \text{ cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} A_\text{O} =& A_\text{M} + 2\cdot A_\text{G}&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_\text{O} =& 4\pi\text{ cm}^2 + 2\cdot 3,142\text{ cm}^2\\[5pt] A_\text{O}=&18,85\text{ cm}^2 \end{array} $
Die Oberfläche beträgt $18,85\text{ cm}^2$.
4. 
a)  Oberfläche
Unterteile die Figur zunächst in 3 einzelne Teile (Viertelkreis bzw. Halbkugel (A), Quadrat bzw. Zylinder (B), Dreieck bzw. Kegel (C)).
Sonstige Körper: Rotationskörper
Sonstige Körper: Rotationskörper
Der Radius der Halbkugel beträgt $2\text{ cm}$. Mit der Formel für die Oberfläche einer Kugel ($A_O=4\cdot\pi\cdot r²$) lässt sich auch die Mantel einer Halbkugel (Fläche ohne Grundseite) bestimmen. Jedoch musst du diese noch mit $\frac{1}{2}$ multiplizieren, da es sich lediglich um eine halbe Kugel handelt.
$ \begin{array}{rll} A_{\text{M}_\text{HK}}=&\frac{1}{2}\cdot 4\cdot\pi\cdot r²\\[5pt] A_{\text{M}_\text{HK}}=&2\cdot\pi\cdot r²\\[5pt] A_{\text{M}_\text{HK}}=&2\cdot \pi \cdot (2\text{ cm})^2\\[5pt] A_{\text{M}_\text{HK}}=&8\pi \text{ cm}^2\approx 25,13\text{ cm}^2 \end{array} $
Den Zylinder (B) berechnest du mittels der allgemeinen Formel für den Mantel ($A_{\text{M}_\text{Z}}=u\cdot h$). Die Höhe und der Radius betragen jeweils $2\text{ cm}$.
$ \begin{array}{rll} u=&\pi \cdot 2r&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] u=&\pi \cdot 2 \cdot 2\text{ cm}\\[5pt] u=&4\pi\text{ cm} \end{array} $
$ \begin{array}{rll} A_{\text{M}_\text{Z}}=&u\cdot h&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_{\text{M}_\text{Z}}=&4\pi\text{ cm}\cdot 2\text{ cm}\\[5pt] A_{\text{M}_\text{Z}}=&25,13\text{ cm}^2 \end{array} $
Bestimme nun die Mantelfläche des Kegels. Der Radius ist $2\text{ cm}$ lang, die Höhe besitzt eine Länge von $1\text{ cm}$.
Die Länge der Schrägen (Mantellinie) beträgt $\sqrt{5}$, da $\sqrt{(1\text{ cm})^2+(2\text{ cm})^2}$ (Satz des Pythagoras).
$ \begin{array}{rll} A_{\text{M}_\text{K}}=&\pi \cdot r\cdot s&\scriptsize \text{Werte einsetzen} \\[5pt] A_{\text{M}_\text{K}}=&\pi \cdot 2\text{ cm}\cdot \sqrt{5}\text{ cm}\\[5pt] A_{\text{M}_\text{K}}=&14,05\text{ cm}^2 \end{array} $
Rechnen nun die Ergebnisse zusammen und du erhälst die gesamte Oberfläche.
$ \begin{array}{rll} A_\text{O}=&A_{\text{M}_\text{HK}}+A_{\text{M}_\text{Z}}+A_{\text{M}_\text{K}}&\scriptsize \text{Ergebnisse einsetzen}\\[5pt] A_\text{O}=&25,13\text{ cm}^2+25,13\text{ cm}^2+14,04\text{ cm}^2\\[5pt] A_\text{O}=&64,3\text{ cm}^2 \end{array} $
Die Figur besitzt eine Oberfläche von $64,3\text{ cm}^2$.
b)  Volumen
Um die Teilaufgabe b zu lösen, gehe ähnlich wie in Teilaufgabe a vor.
Berechne zunächst das Volumen der Halbkugel. In dem du die Formel für das Volumen einer Kugel zusätzlich mit $\frac{1}{2}$ multiplizierst.
$ \begin{array}{rll} V_{\text{HK}}=&\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\cdot \frac{1}{2}\\[5pt] V_{\text{HK}}=&\frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^3&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_{\text{HK}}=&\frac{2}{3} \cdot \pi \cdot (2\text{ cm})^3\\[5pt] V_{\text{HK}}=&16,57\text{ cm}^3 \end{array} $
Bestimme nun mittels Formel das Volumen des Zylinders.
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Z}}=&A_{\text{G}_\text{Z}}\cdot h\\[5pt] V_{\text{Z}}=&\pi \cdot r^2\cdot h&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_{\text{Z}}=&\pi \cdot (2\text{ cm})^2\cdot 2\text{ cm}\\[5pt] V_{\text{Z}}=&25,13\text{ cm}^3 \end{array} $
Zuletzt wird das Volumen des Kegels bestimmt.
$ \begin{array}{rll} V_{\text{K}}=&\frac{1}{3}\cdot r^2 \cdot \pi \cdot h&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_{\text{K}}=&\frac{1}{3}\cdot (2\text{ cm})^2 \cdot \pi \cdot 1\text{ cm}\\[5pt] V_{\text{K}}=&4,19\text{ cm}^3 \end{array} $
Zum Schluss addiere die Ergebnisse.
$ \begin{array}{rll} V_{\text{gesamt}}=&V_{\text{HK}}+V_{\text{Z}}+V_{\text{K}}&\scriptsize \text{Ergebnisse einsetzen}\\[5pt] V_{\text{gesamt}}=&16,57\text{ cm}^3+25,13\text{ cm}^3+4,19\text{ cm}^3\\[5pt] V_{\text{gesamt}}=&45,89\text{ cm}^3 \end{array} $
Das Volumen beträgt $45,89\text{ cm}^3$.
5. 
a)  Rotationskörper
Es handelt sich um einen Zylinder.
b)  Volumen
Setze die Werte aus der Aufgabenstellung in die Volumenformel für einen Zylinder ein. Gegeben ist dir der Radius der Grundfläche und die Höhe des Zylinders. Die Seite $a$ entspricht der Höhe, die Seite $b$ entspricht dem Radius. Berechne die Grundfläche und anschließend das Volumen.
$ \begin{array}{rll} A_\text{G}=&\pi \cdot r^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_\text{G}=&\pi \cdot (2\text{ cm})^2\\[5pt] A_\text{G}=&4\pi\text{ cm}^2\approx12,6\text{ cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_\text{K}=&A_\text{G} \cdot h&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] V_\text{K}=&4\pi\text{ cm}^2 \cdot 3\text{ cm}\\[5pt] V_\text{K}=&12\pi\text{ cm}^3\approx37,7\text{ cm}^3 \end{array} $
Das Volumen des Zylinders beträgt $37,7\text{ cm}^3$.
c)  Änderung der Höhe und Seite a
Die Seite $b$ entspricht nun der Höhe, die Seite $a$ nun entspricht dem Radius.
$ \begin{array}{rll} A_\text{G}=&\pi \cdot r^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_\text{G}=&\pi \cdot (3\text{ cm})^2\\[5pt] A_\text{G}=&9\pi\text{ cm}^2\approx28,27\text{ cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_\text{K}=&A_\text{G} \cdot h&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] V_\text{K}=&9\pi\text{ cm}^2 \cdot 2\text{ cm}\\[5pt] V_\text{K}=&18\pi\text{ cm}^3\approx56,55\text{ cm}^3 \end{array} $
Das Volumen des Zylinders beträgt $56,55\text{ cm}^3$ und unterscheidet sich damit auch vom Ergebnis der Teilaufgabe b.
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