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Kegel

Spickzettel
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Erklärung

Vorgehen

Mit folgenden Formeln kannst du die Größen eines Kegels berechnen:
  • Volumen: $V=\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h$
  • Mantellinie: $s=\sqrt{r^2+h^2}$
  • Mantelfläche: $A_M=\pi\cdot r\cdot s$
  • Oberfläche: $A_O=\pi\cdot r^2 + \pi\cdot r\cdot s$

Beispiel

Wir wollen das Volumen eines Kegels mit Hilfe des Radius $r=3$ cm und der Höhe $h=2$ cm berechnen.
$V$$=\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h $$= \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\cdot h $$= \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 9\text{ cm}^2\cdot 2\text{ cm} $$= 6\pi\text{ cm}^3$ $\approx 18,85\,\text{cm}^3$
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Aufgaben
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Bearbeite die folgenden Aufgaben.
Tipp:
Achte darauf, dass du für das bessere
Verständnis stets eine Skizze erstellst.
1.
Berechne das Volumen eines Kegels mit der Grundfläche $A_G=36\text{ m}^2$ und der Höhe $h=15$ m.
2.
Viktor möchte aus Papier eine kegelförmige Tüte basteln. Dazu schneidet er einen Viertelkreis mit dem Radius $r=10\text{ cm}$ aus.
Welchen Durchmesser hat die Öffnung der Papiertüte?
3.
Ein Sandhaufen hat die Form eines Kegels. Er ist 1 m hoch und hat einen Steigungswinkel von $30°$.
Welches Gewicht hat der Sandhaufen? ($1\text{ m}³\mathrel{\widehat{=}}1,8\text{ t}$)?
4.
Erik hat eine Zeltplane in Form eines Kreissektors mit der Fläche $A_M=10a$. Mit dieser Plane möchte er ein Tipi (kegelförmiges Zelt) aufbauen. Das Tipi soll eine Grundfläche von $A_G=5a$ haben.
Gib die Höhe des Tipis in Abhängigkeit von $a$ an.
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Lösungen
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1.
Volumen berechnen
Setze die Werte aus der Aufgabenstellung in die Formel ein. Gegeben ist dir die Grundfläche und die Höhe des Kegels.
$ \begin{array}[t]{rll} V_K=&\dfrac{1}{3}\cdot A_G \cdot h&\quad\scriptsize\mid \text{einsetzen}\\[5pt] V_K=&\dfrac{1}{3}\cdot 36\text{ m}^2 \cdot 15\text{ m}\\[5pt] V_K=&\dfrac{1}{3}\cdot 540\text{ m}^3\\[5pt] V_K=&180\text{ m}^3\\[5pt] \end{array} $
Das Volumen des Kegels beträgt $180\text{ m}^3$.
2.
Durchmesser berechnen
Zunächst musst du die Länge $b$ des Kreisbogens berechnen. Dies entspricht dem Umfang der Öffnung.
$ \begin{array}[t]{rll} b=&\frac{1}{4}\cdot \pi \cdot 2r&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] b=&\frac{1}{4}\cdot \pi \cdot 20\text{ cm}\\[5pt] b=&15,7\text{ cm} \end{array} $
Nun kannst du mittels Formel für den Umfang des Kreises ($u=\pi \cdot d$) den Durchmesser $d$ berechnen.
$ \begin{array}[t]{rll} u=&\pi \cdot d &\scriptsize \text{umstellen}\\[5pt] d=&\frac{u}{\pi}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] d=&\frac{15,7\text{ cm}}{\pi}\\[5pt] d=&5\text{ cm} \end{array} $
Der Durchmesser $d$ beträgt $5\text{ cm}$.
3.
Gewicht des Sandhaufens
Um das Gewicht des Sandhaufens bestimmen zu können, muss zunächst das Volumen bestimmt werden. Dieses kannst du mithilfe der Grundfläche und der Höhe bestimmen. Die Grundfläche kann durch den Tangens berechnet werden.
´ Die Ankathete $r$ soll berechnet werden, sie entspricht dem Radius der Grundfläche.
$ \begin{array}[t]{rll} tan \alpha=&\dfrac{Gegenkathete}{Ankathete}&\scriptsize \text{umstellen}\\[5pt] Ankathete=&\dfrac{Gegenkathete}{tan \alpha}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] r=&\dfrac{1\text{ m}}{tan 30}\\[5pt] r=&1,73\text{ m} \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} r=&1,73\text{ m} \end{array} $
Nun kannst du die Grundfläche berechnen.
$ \begin{array}[t]{rll} A_G=&\pi\cdot r^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_G=&\pi\cdot (1.73\text{ m})^2\\[5pt] A_G=&9,4\text{ m}^2 \end{array} $
Mithilfe der Formel für das Volumen eines Kegels lässt sich nun dieses bestimmen.
$ \begin{array}[t]{rll} V_K=&\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] V_K=&\frac{1}{3}\cdot 9,4\text{ m}^2\cdot 1\text{ m}\\[5pt] V_K=&3,13\text{ m}^3 \end{array} $
Da $1\text{ m}^3 \mathrel{\widehat{=}} 1,8\text{ t}$ musst du nun das Volumen mit $1,8$ multiplizieren um das Gewicht \mbox{(Masse m)} des Sandhaufens zu erhalten.
$ \begin{array}[t]{rll} m=&V_K\cdot 1,8\text{ t}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] m=&3,13\cdot 1,8\text{ t}\\[5pt] m=&5,634\text{ t} \end{array} $
Der Sandhaufen wiegt $5,634\text{ t}$.
4.
Höhe $\mathbf{h}$
Gegeben ist die Mantelfläche $A_M=10a$ und die gewünschte Grundfläche $A_G=5a$.
$ \begin{array}[t]{rll} A_M=&\pi \cdot r \cdot s\\[5pt] A_G=&\pi \cdot r^2\\[5pt] \end{array} $
Setze die Werte aus der Aufgabenstellung in die Formeln ein.
1. Schritt: $\mathbf{r}$ berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} A_G=&5a\\[5pt] \pi \cdot r^2=&5a\\[5pt] r^2=&\frac{5a}{\pi}&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] r=&\sqrt{\frac{5a}{\pi}} \end{array} $
2. Schritt: $\mathbf{s}$ berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} A_M=&10a\\[5pt] \pi \cdot r \cdot s=&10a&\scriptsize \mid \cdot \frac{1}{\pi r}\\[5pt] s=&\dfrac{10a}{\pi \cdot r}&\scriptsize \text{r einsetzen}\\[5pt] s=&\dfrac{10a}{\pi \cdot \sqrt{\frac{5a}{\pi}}} \end{array} $
3. Schritt: $\mathbf{h}$ bestimmen
$ \begin{array}[t]{rll} h=&\sqrt{s^2-r^2}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] h=&\sqrt{\left(\dfrac{10a}{\pi \cdot \sqrt{\frac{5a}{\pi}}}\right)^2-\left(\sqrt{\dfrac{5a}{\pi}}\right)^2}\\[5pt] h=&\sqrt{\dfrac{100a^2}{\pi^2 \cdot \frac{5a}{\pi}}-\dfrac{5a}{\pi}}&\scriptsize kürzen\\[5pt] h=&\sqrt{\dfrac{20a}{\pi}-\dfrac{5a}{\pi}}&\scriptsize \text{zusammenfassen}\\[5pt] h=&\sqrt{\dfrac{15a}{\pi}}\\[5pt] h=&\sqrt{4,77a}\\[5pt] h\approx&2,158\sqrt{a}\\[5pt] \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} h=&\sqrt{4,77a}\\[5pt] h\approx&2,158\sqrt{a}\\[5pt] \end{array} $
Die Höhe des Tipis beträgt $2,158\sqrt{a}$.
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