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Pyramide

Spickzettel
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Erklärung

Spitze Körper: Pyramide Spitze Körper: Pyramide

Vorgehen

Mit folgenden Formeln kannst du die Größen einer Pyramide berechnen:
  • Volumen: $V=\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h$
  • Oberfläche: $A_O=A_G+A_M$

Beispiel

Wir wollen das Volumen einer quadratischen Pyramide mit Hilfe der Grundseiten $a=b=4$ cm und der Höhe $h=5$ cm berechnen.
$V=\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h$$=\frac{1}{3}\cdot a²\cdot h$$= \frac{1}{3}\cdot\left(4\text{ cm}\right)^2\cdot 5\text{ cm}$$=26,7\text{ cm}³$
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1.
Berechne das Volumen der Pyramide mit der Grundfläche $A_G=30 \text{m}^2$ und der Höhe $h=4 \text{m}$.
2.
Die Grundseite $a$ einer Pyramide ist 2 cm lang.
Welche Oberfläche hat die Pyramide, deren Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist und deren drei Seitenflächen kongruent zur Grundfläche sind?
3.
Ali und seine Klasse sind in Paris auf Klassenfahrt. Dort angekommen, führt sie der Lehrer zum meistbesuchten Museum der Welt, dem Louvre. Um sich während der Wartezeit etwas abzulenken, blättert Ali in einem Prospekt. Dort liest er: „Die quadratische Glaspyramide des Louvre hat eine Höhe von $21,65$ Metern und hat die Seitenlänge von 35 Metern.“
Wie groß ist das Volumen dieser Pyramide?
Spitze Körper: Pyramide
Spitze Körper: Pyramide

Quelle: Benh LIEU SONG
http://de..wikipedia.org/wiki/Louvre
4.
Auf dem Karlsruher Marktplatz steht eine Pyramide zum Gedenken an den Gründer und Namensgeber der Stadt, Markgraf Karl Wilhelm von Baden-Durlach. Die Pyramide hat eine quadratische Grundfläche von $A_G=36,6\text{ m}²$ und die Seitenkanten sind 8,04 m lang.
Welches Volumen und welche Oberfläche hat die Pyramide?
Spitze Körper: Pyramide
Spitze Körper: Pyramide

Quelle: Martin Dürrschnabel
http://de..wikipedia.org/
wiki/KarlsruherPyramide
5.
Das Dach eines Turmes hat die Form einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide. Die Grundseiten sind jeweils 2 m lang und das Dach hat eine Höhe von $h=2$ m.
Spitze Körper: Pyramide
Spitze Körper: Pyramide
Welches Volumen und welche Oberfläche hat das Dach?
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Lösungen
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1.
Volumen berechnen
Setze die Werte aus der Aufgabenstellung in die allgemeine Volumenformel für Pyramiden ein. Gegeben ist dir die Grundfläche und die Höhe.
$ \begin{array}[t]{rll} V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot A_G \cdot h&\quad\scriptsize\mid \text{einsetzen}\\[5pt] V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot 30\text{ m}^2 \cdot 4\text{ m}\\[5pt] V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot 120\text{ m}^3\\[5pt] V_P=&40\text{ m}^3\\[5pt] \end{array} $
Das Volumen der Pyramide beträgt $40\text{ m}^3$.
2.
Dreiseitige Pyramide
Da es sich um eine Pyramide handelt, deren Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist und deren drei Seitenflächen zur Grundfläche kongruent sind, sind alle 4 Seiten gleich groß. Daher lässt sich die Oberfläche mit folgender Formel bestimmen:
$A_O=4\cdot A_G$.
Zunächst muss die Höhe der Pyramide mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.
$ \begin{array}[t]{rll} h^2=&a^2-(\frac{a}{2})^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] h^2=&(2\text{ cm})^2-(1\text{ cm})^2\\[5pt] h^2=&4\text{ cm}^2-1\text{ cm}^2\\[5pt] h^2=&3\text{ cm}^2&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] h=&\sqrt{3}\text{ cm} \end{array} $
Nun kannst du den Flächeninhalt eines einzelnen Dreiecks bestimmen.
$ \begin{array}[t]{rll} A_G=&\frac{1}{2}\cdot a \cdot h_a&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_G=&\frac{1}{2}\cdot 2\text{ cm} \cdot \sqrt{3}\text{ cm}\\[5pt] A_G=&\sqrt{3}\text{ cm}^2 \end{array} $
Zum Schluss wird die Oberfläche berechnet.
$ \begin{array}[t]{rll} A_O=&4\cdot A_G&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_O=&4\cdot\sqrt{3}\\[5pt] A_O=&6,93\text{ cm}^2 \end{array} $
3.
Volumen der Pyramide
Setze die Werte aus der Aufgabenstellung in die allgemeine Volumenformel für Pyramiden ein. Bekannt ist dir, dass es sich um eine quadratische Pyramide handelt. Das heißt, dass die Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge $a=35\text{ m}$ ist.
$ \begin{array}[t]{rll} V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot A_G \cdot h\\[5pt] V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot a^2 \cdot h&\quad\scriptsize\mid \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot \left(35\text{ m}\right)^2 \cdot 21,65\text{ m}\\[5pt] V_P=&\dfrac{1}{3}\cdot 35\text{ m}\cdot 35\text{ m} \cdot 21,65\text{ m}\\[5pt] V_P\approx&\dfrac{1}{3}\cdot 26.521,3\text{ m}^3\\[5pt] V_P\approx&8.840,4\text{ m}^3 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} V_P\approx&8.840,4\text{ m}^3 \end{array} $
Das Volumen der Pyramide beträgt $8.840,4\text{ m}^3$.
4.
Volumen und Oberfläche
Zunächst musst du die Seitenlänge der Grundseite berechnen. Da es sich bei der Grundfläche um ein Quadrat handelt, lässt sich die Kantenlänge $a$ durch die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrates bestimmen.
1. Schritt: Seitenlänge a
$ \begin{array}[t]{rll} A_G=&a^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] 36,6\text{ m}^2=&a^2&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] 6,05\text{ m}=&a \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} 6,05\text{ m}=&a \end{array} $
2. Schritt: Höhe $\mathbf{h_s}$ berechnen
Nun wird die Höhe $h_s$ der Seitenflächen mithilfe des Satz des Pythagoras berechnet.
$ \begin{array}[t]{rll} h_s^2=&s^2-(\frac{a}{2})^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] h_s^2=&(8,04\text{ m})^2-(3,025\text{ m})^2\\[5pt] h_s^2=&55,5\text{ m}^2&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] h_s=&7,45\text{ m} \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} h_s=&7,45\text{ m} \end{array} $
3. Schritt: Höhe der Pyramide
Die Höhe der Pyramide $h_P$ wird auch mittels Satz des Pythagoras berechnet.
$ \begin{array}[t]{rll} h_P=&h_s^2-(\frac{a}{2})^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] h_P=&(7,45\text{ m})^2-(\frac{6,05\text{ m}}{2})^2\\[5pt] h_P=&46,35\text{ m}^2&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] h_P=&6,81\text{ m} \end{array} $
4. Schritt: Volumen bestimmen
Setze die berechneten Werte in die allgemeine Volumenformel für Pyramiden ein.
$ \begin{array}[t]{rll} V_P=&\frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h_P&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] V_P=&\frac{1}{3}\cdot 36,6\text{ m}^2 \cdot 6,81\text{ m}\\[5pt] V_P=&83,082\text{ m}^3 \end{array} $
5. Schritt: Flächeninhalt der Seitenfläche
Um die Oberfläche berechnen zu können, muss der Flächeninhalt der Seitenflächen bekannt sein.
$ \begin{array}[t]{rll} A_{Dreieck}=&\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_s&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_{Dreieck}=&\frac{1}{2}\cdot 6,05\text{ m}\cdot 7,45\text{ m}\\[5pt] A_{Dreieck}=&22,54\text{ m}^2 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} A_{Dreieck}=&22,54\text{ m}^2 \end{array} $
6. Schritt: Oberfläche
Zum Schluss wird die Oberfläche der gesamten Pyramide bestimmt. (Vergiss die Grundfläche nicht!!!)
$ \begin{array}[t]{rll} A_O=&4\cdot A_{Dreieck}+A_G&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_O=&4\cdot 22,54\text{ m}^2+36,6\text{ m}^2\\[5pt] A_O=&126,745\text{ m}^2 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} A_O=&126,745\text{ m}^2 \end{array} $
Das Volumen der Pyramide beträgt $83,082\text{ m}^3$ und ihre Oberfläche ist $126,745\text{ m}^2$ groß.
5.
Volumen und Oberfläche des Daches
Die Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks lautet: $A_{6eck}=\frac{3}{2}\cdot a^2 \cdot \sqrt{3}$. Setze nun den Wert aus der Aufgabenstellung in diese Formel ein und berechne die Grundfläche.
$ \begin{array}[t]{rll} A_G=&\frac{3}{2}\cdot a^2 \cdot \sqrt{3}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_G=&\frac{3}{2}\cdot (2\text{ m})^2 \cdot \sqrt{3}\\[5pt] A_G=&6\cdot\sqrt{3}\text{ m}^2\\[5pt] A_G\approx&10,4\text{ m}^2 \end{array} $
Nun kannst du das Volumen berechnen.
$ \begin{array}[t]{rll} V=&\frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h&\scriptsize Werte \text{einsetzen}\\[5pt] V=&\frac{1}{3}\cdot 10,4\text{ m}^2 \cdot 2\text{ m}\\[5pt] V=&6,93\text{ m}^3 \end{array} $
Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken. Mit der Formel für die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks lässt sich der Abstand zwischen Mittelpunkt und der Grundseite $a$ bestimmen. Danach kannst du die Höhe der Außenseiten (Dreiecke) $h_s$ mittels Satz des Pythagoras berechnen.
$ \begin{array}[t]{rll} h_a=&\frac{a}{2}\cdot \sqrt {3}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] h_a=&\frac{2\text{ m}}{2}\cdot \sqrt {3}\\[5pt] h_a=&\sqrt{3}\text{ m} \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} h_s^2=&h_a^2+h^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] h_s^2=&(\sqrt{3}\text{ m})^2+(2\text{ m})^2&\\[5pt] h_s^2=&7\text{ m}^2&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] h_s=&\sqrt{7}\text{ m} \end{array} $
Nun lässt sich die Oberfläche bestimmen.
$ \begin{array}[t]{rll} A_O=&6\cdot(\frac{1}{2}\cdot h_s\cdot a)+A_G&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_O=&6\cdot(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{7}\text{ m}\cdot 2\text{ m})+10,4\text{ m}\\[5pt] A_O=&6\cdot\sqrt{7}\text{ m}+10,4\text{ m}\\[5pt] A_O=&26,3\text{ m}^2 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} A_O=&26,3\text{ m}^2 \end{array} $
Das Dach hat ein Volumen von $6,93\text{ m}^3 $ und die Oberfläche des Daches ist $26,3\text{ cm}^2$ groß.
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