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Kegelstumpf

Spickzettel
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Erklärung

Ein Kegelstumpf ensteht dadurch, dass man von einem Kegel einen kleineren Kegel parallel zur Grundfläche abschneidet.
Stümpfe: Kegelstumpf
Stümpfe: Kegelstumpf

Vorgehen

Mit folgenden Formeln kannst du die Größen eines Kegelsstumpfes berechnen:
  • Volumen: $V =\dfrac{h_{St} \cdot \pi}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)$
  • Mantelfläche: $A_M=(R+r) \cdot \pi \cdot m$
  • Oberfläche:
    $A_O=A_G + A_D + A_M$
    $A_O=\pi \cdot r^2 + \pi \cdot R^2 + \pi \cdot m \cdot ( r + R)$

Beispiel

Wir wollen die Oberfläche eines Kegelsstumpfs mit Hilfe der Radien $r=2$ cm, $R=3$ cm und der Mantellinie $m=2,2$ cm berechnen.
$A_O=\pi \cdot (2\text{ cm})^2 + \pi \cdot (3\text{ cm})^2 + \pi \cdot 2,2\text{ cm} \cdot ( 2\text{ cm}+ 3\text{ cm})=75,4\text{ cm}^2$
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Aufgaben
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Bearbeite die folgenden Aufgaben.
Tipp:
Achte darauf, dass du für das bessere
Verständnis stets eine Skizze erstellst.
1.  Eine $6$ cm hohe Kerze hat am Boden einen Durchmesser von $5$ cm und an der Spitze einen Durchmesser von $1,5$ cm.
Stümpfe: Kegelstumpf
Stümpfe: Kegelstumpf
Berechne wie viel Kubikzentimeter Wachs für die kegelstumpfförmige Kerze benötigt werden.
2.  Berechne das Volumen eines Kegelstumpfs mit der Grundfläche $A_G=12,6\text{ m}^2$, der Deckfläche $A_D=7,1\text{ m}^2$ und der Höhe $h_{St}=1$ m.
3.  Wie groß ist die Oberfläche eines Kegelstumpfs mit der Grundfläche $A_G=113\text{ cm}^2$, der Deckfläche $A_D=50,3\text{ cm}^2$ und der Mantellinie $m=3,6$ cm.
4.  Eine Schüssel hat die Form eines umgedrehten Kegelstumpfs. Sie wird aus biegsamen Kunststoffplatten gefertigt. Der Boden hat eine Fläche von $78,5\text{ cm}²$. An der Oberseite hat die Schüssel einen Umfang von $62,8$ cm. Die Höhe der Schüssel beträgt $12\text{ cm}$.
Stümpfe: Kegelstumpf
Stümpfe: Kegelstumpf
Welche Fläche hat der Mantel?
5.  Ein Kegelstumpf hat eine Deckfläche mit dem Radius $r=26$ cm und eine Bodenfläche mit dem Radius $R=72$ cm. Die Oberfläche beträgt $A_O=39.345 \text{ cm}²$.
Bestimme die Seitenlinie $m$ und die Höhe $h$.
6.  Das Volumen eines $10$ cm hohen Kegelstumpfs ist $V=5.194,1\text{ cm}³$.
Die Grundfläche beträgt $1.256,6\text{ cm}² $.
Gib den Flächeninhalt der Deckfläche an und bestimme die Länge der Mantellinie $m$.
7.  Die Grundfläche des abgebildeten Körpers ist vier mal so groß wie die Deckfläche. Es gilt: $h=1$ m; $\alpha=58°$
Stümpfe: Kegelstumpf
Stümpfe: Kegelstumpf
Gib das Volumen und die Oberfläche des Kegelstumpfs an.
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Lösungen
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1.  Volumen der Kerze
Das Volumen kannst du durch die allgemeine Formel für das Volumen eines Kegelstumpf berechnen. Setze die Werte aus der Aufgabenstellung in die Formel ein. Gegeben sind dir die Durchmesser ($R$ und $r$)und die Höhe des Stumpfes.
$ \begin{array}{rll} V=&\dfrac{h_{St} \cdot \pi}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V=&\dfrac{6\text{ cm}\cdot \pi}{3} \cdot ((2,5\text{ cm})^2 + 2,5\text{ cm} \cdot 0,75\text{ cm} + (0,75\text{ cm})^2)\\[5pt] V=&54,6\text{ cm}^3 \end{array} $
Die Kerze hat ein Volumen von $54,6\text{ cm}^3$.
2.  Kegelstumpfvolumen
Berechne zunächst den Radien der Grund- und Deckfläche.
$ \begin{array}{rll} A=&\pi\cdot r^2&\scriptsize \text{nach r auflösen}\\[5pt] r^2=&\frac{A}{\pi}&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] r=&\sqrt {\frac{A}{\pi}} \end{array} $
Nun kannst du die einzelnen Radien bestimmen.
$ \begin{array}{rll} R=&\sqrt {\frac{A_G}{\pi}}&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] R=&\sqrt {\frac{12,6\text{ m}^2}{\pi}}\\[5pt] R=&2\text{ m} \end{array} $
$ \begin{array}{rll} r=&\sqrt {\frac{A_D}{\pi}}&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] r=&\sqrt {\frac{17,1\text{ m}^2}{\pi}}\\[5pt] r=&1,5\text{ m} \end{array} $
Setze die Werte in die Volumenformel ein.
$ \begin{array}{rll} V=&\dfrac{h_{St} \cdot \pi}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V=&\dfrac{1\text{ m}\cdot \pi}{3} \cdot ((2\text{ m})^2 + 2\text{ m} \cdot 1,5\text{ m} + (1,5\text{ m})^2)\\[5pt] V=&9,7\text{ m}^3 \end{array} $
Das Volumen des Kegelstumpf beträgt $9,7\text{ m}^3$.
3.  Oberfläche eines Kegelstumpfs
Mithilfe der Formel: $A_O=A_G + A_D + A_M$ lässt sich die Oberfläche des Kegelstumpfs bestimmen. Gegeben sind die Grundfläche $A_G$ und die Deckfläche $A_D$. Mithilfe der Mantellinie $m$ kannst du die Mantelfläche $A_M$ berechnen. Um jedoch die Formel für die Manteloberfläche anwenden zu können, brauchst du die Radien der Grund- und Deckfläche.
$ \begin{array}{rll} A=&\pi\cdot r^2&\scriptsize \text{nach r auflösen}\\[5pt] r^2=&\frac{A}{\pi}&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] r=&\sqrt {\frac{A}{\pi}} \end{array} $
Nun kannst du die einzelnen Radien bestimmen.
$ \begin{array}{rll} R=&\sqrt {\frac{A_G}{\pi}}&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] R=&\sqrt {\frac{113\text{ cm}^2}{\pi}}\\[5pt] R=&6\text{ cm} \end{array} $
$ \begin{array}{rll} r=&\sqrt {\frac{A_D}{\pi}}&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] r=&\sqrt {\frac{50,3\text{ cm}^2}{\pi}}\\[5pt] r=&4\text{ cm} \end{array} $
Setze die Werte in die Formel für die Manteloberfläche ein.
$ \begin{array}{rll} A_M=&(R+r)\cdot \pi\cdot m&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_M=&(6\text{ cm}+4\text{ cm})\cdot \pi\cdot 3,6\text{ cm}\\[5pt] A_M=&113,1\text{ cm}^2 \end{array} $
Da nun alle benötigten Flächeninhalte vorhanden sind, lässt sich die Oberfläche des Kegelstumpfs bestimmen. Verwende dazu folgende Formel: $A_O=A_G + A_D + A_M$.
$ \begin{array}{rll} A_O=&A_G + A_D + A_M&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_O=&113 \text{ cm}^2 + 50,3\text{ cm}+ 113,1\text{ cm}^2\\[5pt] A_O=&276,4\text{ cm}^2 \end{array} $
Die Oberfläche des Kegelstumpfs ist $276,4\text{ cm}^2$ groß.
4.  Mantelfläche
Bestimme zuerst den Radius des Bodens und der Oberseite.
$ \begin{array}{rll} u=&2\cdot\pi\cdot R&\scriptsize \text{umstellen}\\[5pt] R=&\frac{u}{2\cdot\pi}&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] R=&\frac{62,8\text{ cm}}{2\cdot\pi}\\[5pt] R=&10\text{ cm} \end{array} $
$ \begin{array}{rll} r=&\sqrt {\frac{A_D}{\pi}}&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] r=&\sqrt {\frac{78,5\text{ cm}^2}{\pi}}\\[5pt] r=&5\text{ cm} \end{array} $
Berechne mithilfe des Satz des Pythagoras die Mantellinie $m$. Dazu verschiebst du die Höhe. Es entsteht die Seite $h'$ (siehe Skizze).
Stümpfe: Kegelstumpf
Stümpfe: Kegelstumpf
$ \begin{array}{rll} m^2=&h'^2+(R-r)^2&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] m^2=&(12\text{ cm})^2+(10\text{ cm}-5\text{ cm})^2\\[5pt] m^2=&169\text{ cm}^2&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] m=&13\text{ cm} \end{array} $
Setze nun die berechneten Werte in die Formel für die Mantelfläche ein.
$ \begin{array}{rll} A_M=&(R+r)\cdot \pi\cdot m&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_M=&(10\text{ cm}+5\text{ cm})\cdot \pi\cdot 13\text{ cm}\\[5pt] A_M=&612,61\text{ cm}^2 \end{array} $
Der Mantel hat eine Fläche von $612,61\text{ cm}^2$.
5.  Mantellinie $\mathbf m$ und Höhe $\mathbf h$
Durch Umstellen der Formel: $A_O=A_G + A_D + A_M$ lässt sich die Mantelfläche bestimmen. Doch zunächst musst du dafür die Flächeninhalte der Grund- und Deckfläche berechnen.
$ \begin{array}{rll} A_G=&\pi\cdot R^2&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_G=&\pi\cdot (72\text{ cm})^2\\[5pt] A_G=&16.286,02\text{ cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} A_D=&\pi\cdot r^2&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_D=&\pi\cdot (26\text{ cm})^2\\[5pt] A_D=&2.123,72\text{ cm}^2 \end{array} $
Setze die berechneten Werte in die Formel ein.
$ \begin{array}{rll} A_O=&A_G + A_D + A_M&\scriptsize \text{umstellen}\\[5pt] A_M=&A_O -( A_D + A_G)&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_M=&39.345\text{ cm}^2 -( 2.123,72\text{ cm}^2 + 16.286,02\text{ cm}^2)\\[5pt] A_M=&20.935,26\text{ cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} A_M=&(R+r)\cdot \pi\cdot m&\scriptsize \text{nach m auflösen}\\[5pt] m=&\dfrac{A_M}{(R+r)\cdot \pi}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] m=&\dfrac{20.935,26\text{ cm}^2}{(72\text{ cm}+26\text{ cm})\cdot \pi}\\[5pt] m=&68\text{ cm} \end{array} $
Berechnen nun die Höhe. Überlege dir wie der Kegelstumpf von der Seite aussieht (siehe Skizze). Du kannst die Höhe $h$ des Kegelstumpfs mittels Satz des Pythagoras berechnen, indem du die Mantellinie $m$ verschiebst. Du erhälst nun die Seite $m'$. Wende nun den Satz des Pythagoras an um die Höhe $h$ zu berechnen.
Stümpfe: Kegelstumpf
Stümpfe: Kegelstumpf
$ \begin{array}{rll} m'^2=&h^2+(R-r)^2&\scriptsize \text{umstellen}\\[5pt] h^2=&m'^2-(R-r)^2&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] h^2=&(68\text{ cm})^2-(72\text{ cm}-26\text{ cm})^2\\[5pt] h^2=&2508\text{ cm}^2&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] h=&50\text{ cm} \end{array} $
Die Seitenlinie $m$ beträgt $68\text{ cm}$, der Kegelstumpf ist $50\text{ cm}$ hoch.
6.  Flächeninhalt der Deckfläche und Mantellinie $\mathbf m$
Berechne zunächst den Radius $R$ der Grundfläche. Danach kannst du durch Umstellen der Volumenformel $r$ bestimmen.
$ \begin{array}{rll} A_G=&\pi\cdot R^2&\scriptsize \text{nach r auflösen}\\[5pt] R^2=&\frac{A_G}{\pi}&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] R=&\sqrt {\frac{A_G}{\pi}} \end{array} $
$ \begin{array}{rll} R=&\sqrt {\frac{A_G}{\pi}}&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] R=&\sqrt {\frac{1.256,6\text{ cm}^2}{\pi}}\\[5pt] R=&20\text{ cm} \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V=&\dfrac{h_{St} \cdot \pi}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)&\scriptsize \text{umstellen}\\[5pt] \dfrac{3\cdot V}{h_{St}\cdot \pi}=&(R^2+R \cdot r + r^2)&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] \dfrac{3\cdot 5194,1\text{ cm}^3}{10\text{ cm}\cdot \pi}=&(20\text{ cm}^2+20\text{ cm} \cdot r+r^2\\[5pt] 496\text{ cm}^2=&400\text{ cm}^2+20\text{ cm} \cdot r+r^2&\scriptsize \mid -400\text{ cm}^2\\[5pt] 96\text{ cm}^2=&20\text{ cm} \cdot r+r^2&\scriptsize \text{umstellen, dann PQ-Formel anwenden}\\[5pt] 0=&r^2+20\text{ cm} \cdot r-96\text{ cm}^2\\[5pt] r_{1,2}=&-\dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2-q}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] r_{1,2}=&-\dfrac{20}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{20}{2}} \right)^2 +96}\\[5pt] r_{1,2}=&-10 \pm \sqrt {196}\\[5pt] r_{1,2}=&-10 \pm 14\\[5pt] r_1=&-10+14=4\\[5pt] r_2=&-10-14=-24&\scriptsize \text{(negatives Ergebnis nicht von Bedeutung)}\\[5pt] \end{array} $
Nun kannst du mit dem berechneten Wert den Flächeninhalt der Deckfläche berechnen.
$ \begin{array}{rll} A_D=&\pi\cdot r^2&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_D=&\pi\cdot (4\text{ cm})^2\\[5pt] A_D=&50,3\text{ cm}^2 \end{array} $
Überlege dir wie der Kegelstumpf von der Seite aussieht (siehe Skizze Aufgabe 5). Du kannst die Mantellinie $m$ des Kegelstumpfs mittels Satz des Pythagoras berechnen, indem du die Mantellinie $m$ verschiebst. Du erhälst nun die Seite $m'$. Wende nun den Satz des Pythagoras an um die Seite $m'$ zu berechnen.
$ \begin{array}{rll} m'^2=&h^2+(R-r)^2&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] m'^2=&(10\text{ cm})^2+(20\text{ cm}-4\text{ cm})^2\\[5pt] m'^2=&356\text{ cm}^2&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] m'=&18,9\text{ cm} \end{array} $
Die Deckfläche besitzt einen Flächeninhalt von $50,3\text{ cm}^2$, die Mantellinie $m$ ist $18,9\text{ cm}$ lang.
7.  Volumen und Oberfläche
Aus der Aufgabenstellung lässt sich entnehmen, dass die Grundfläche vier mal so groß ist, wie die Deckfläche. Daraus folgt:
$ \begin{array}{rll} A_G=&4\cdot A_D&\scriptsize \text{Formeln einsetzen}\\[5pt] \pi\cdot R^2=&4\cdot \pi\cdot r^2&\scriptsize \mid :\pi\\[5pt] R^2=&4\cdot r^2&\scriptsize \mid \sqrt {\;\;}\\[5pt] R=&2r \end{array} $
Mithilfe des Tangens kannst du die Länge der Radien berechnen.
Stümpfe: Kegelstumpf
Stümpfe: Kegelstumpf
$ \begin{array}{rll} tan \alpha=&\dfrac{Gegenkathete}{Ankathete}&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] tan 58=&\dfrac{1\text{ m}}{r}&\scriptsize \text{nach m auflösen}\\[5pt] r=&\dfrac{1\text{ m}}{tan 58}\\[5pt] r=&0,625\text{ m}\\[5pt] \end{array} $
Daraus lässt sich nun der Radius $R$ berechnen.
$ \begin{array}{rll} R=&2r&\scriptsize \text{Wert einsetzen}\\[5pt] R=&2\cdot (0,625\text{ m}\\[5pt] R=&1,25\text{ cm} \end{array} $
Bestimme das Volumen des Kegelstumpf. Setze die berechneten Werte in die Volumenformel ein.
$ \begin{array}{rll} V=&\dfrac{h_{St} \cdot \pi}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V=&\dfrac{1\text{ m}\cdot \pi}{3} \cdot ((1,25\text{ m})^2 + 1,25\text{ m} \cdot 0,625\text{ m} + (0,625\text{ m})^2)\\[5pt] V=&2,86\text{ m}^3 \end{array} $
Nun musst du die Mantellinie $m$ bestimmen. Verwende dabei den Sinus.
$ \begin{array}{rll} sin \alpha=&\dfrac{Gegenkathete}{Hypothenuse}&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] sin 58=&\dfrac{1\text{ m}}{m}&\scriptsize \text{nach m auflösen}\\[5pt] m=&\dfrac{1\text{ m}}{sin 58}\\[5pt] m=&1,18\text{ m}\\[5pt] \end{array} $
Mit dem berechneten Wert kannst du die Mantelfläche bestimmen.
$ \begin{array}{rll} A_M=&(R+r)\cdot \pi\cdot m&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_M=&(1,25\text{ m}+0,625\text{ m})\cdot \pi\cdot 1,18\text{ m}\\[5pt] A_M=&6,95\text{ m}^2 \end{array} $
Bestimme noch die Flächeninhalte der Grund- und Deckfläche.
$ \begin{array}{rll} A_G=&\pi\cdot R^2&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_G=&\pi\cdot (1,25\text{ m})^2\\[5pt] A_G=&4,91\text{ m}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} A_D=&\pi\cdot r^2&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_D=&\pi\cdot (0,625\text{ m})^2\\[5pt] A_D=&1,23\text{ m}^2 \end{array} $
Setzte die Werte in die Oberflächenformel ein.
$ \begin{array}{rll} A_O=&A_G + A_D + A_M&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_O=&4,91 \text{ m}^2 + 1,23\text{ m}+ 6,95\text{ m}^2\\[5pt] A_O=&13,9\text{ m}^2 \end{array} $
Das Volumen beträgt $2,86\text{ m}^3$, der Kegelstumpf besitzt eine Oberfläche von $13,9\text{ m}^2$.
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