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Raumdiagonale

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Erklärung

Verbindungslinien zwischen zwei nicht nebeneinanderliegenden Ecken eines Körpers werden als Diagonalen bezeichnet. Am einfachsten lassen sie sich über den Satz des Pythagoras oder über die Winkelfunktionen (sin, cos, tan) im rechtwinkligen Dreieck berechnen.

Beispiel

Quader:
Es gilt: $a=4$ cm; $b=c=3$ cm
Flächendiagonalen:
$d_{F1}=\sqrt{b²+c²}=\sqrt{(3\text{ cm})²+(3\text{ cm})²}$$=4,24$ cm
$d_{F2}=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{(4\text{ cm})²+(3\text{ cm})²}$$=5$ cm
Raumdiagonalen:
$d_{R1}=\sqrt{(d_F1)²+a²}$$=\sqrt{(4,24\text{ cm})²+(4\text{ cm})²}=5,83$ cm
$d_{R2}=\sqrt{(d_F2)²+c²}$$=\sqrt{(5\text{ cm})²+(3\text{ cm})²}=5,83$ cm
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1.
$\blacktriangleright$ Länge der Raumdiagonalen berechnen
Du hast einen Würfel mit der Kantenlänge $a = 5 \text{ cm}$ gegeben.
Gefragt ist nach der Länge der Raumdiagonalen $\overline{BH}$.
Um die Länge der Raumdiagonalen bestimmen zu können benötigst du zunächst die Länge der Flächendiagonalen $d_F$.
Bei zwei gegebenen Kantenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck kannst du die fehlende Seite über den Satz des Pythagoras berechnen:
Satz des Pythagoras:
$a^2 + b^2 = c^2$
mit
  • $a$ und $b$ : Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks
  • $d$: Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks
Die Länge der Flächendiagonalen $d_F$ berechnest du wie folgt:
$\begin{array}{rcl} d_F&=&\sqrt{a² + a²} \\ &=&\sqrt{(5 \text{ cm})² + (5 \text{ cm})²} \\ &=&\sqrt{25 \text{ cm}² + 25 \text{ cm}²}& \\ &=&\sqrt {50} \text{ cm} \\ \end{array}$
Jetzt kannst du die Länge der Raumdiagonalen $\overline{BH}$ berechnen:
$\begin{array}{rcl} \overline{BH}&=&\sqrt{a² + d_F²} \\ &=&\sqrt{(5 \text{ cm})² + (\sqrt{50} \text{ cm})²} \\ &=&\sqrt{25 \text { cm}² + 50 \text{ cm}²}& \\ &=&\sqrt {75} \text{ cm} \\ &\approx&8,66 \text{ cm} \\ \end{array}$
Die Raumdiagonale $\overline{BH}$ ist $8,66$ cm lang.
2.
$\blacktriangleright$ Länge der Raumdiagonalen berechnen
Du hast einen Quader mit den Kantenlängen $a = 5 \text{ cm}$, $b = 6$ cm und $c = 7$ cm gegeben.
Gefragt ist nach der Länge der Raumdiagonalen $\overline{CE}$.
Diese kannst du wie in Aufgabe 1 über die Flächendiagonale mit Hilfe des Satz des Pythagoras bestimmen, da du hier ebenfalls zwei Kantenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck gegeben hast.
Die Länge der Flächendiagonalen $d_F$:
$\begin{array}{rcl} d_F&=&\sqrt{a² + b²} \\ &=&\sqrt{(5 \text{ cm})² + (6 \text{ cm})²} \\ &=&\sqrt{25 \text{ cm}² + 36 \text{ cm}²}& \\ &=&\sqrt {61} \text{ cm} \\ \end{array}$
Die Länge der Raumdiagonalen $\overline{CE}$:
$\begin{array}{rcl} \overline{CE}&=&\sqrt{c² + d_F²} \\ &=&\sqrt{(7 \text{ cm})² + (\sqrt{61} \text{ cm})²} \\ &=&\sqrt{49 \text { cm}² + 61 \text{ cm}²}& \\ &=&\sqrt {110} \text{ cm} \\ &\approx &10,49 \text{ cm} \\ \end{array}$
Die Raumdiagonale $\overline{CE}$ ist $10,49$ cm lang.
3.
$\blacktriangleright$ Länge der Seitenkante berechnen
Du hast eine Pyramide mit den Kantenlängen $a = 2$ cm, $b = 3$ cm und der Höhe $h = 2$ cm gegeben.
Die Länge der Seitenkante $\overline{AS}$ kannst du bestimmen, indem du zunächst die Länge der Flächendiagonalen $d_F$, der durch die Kanten $a$ und $b$ eingeschlossenen Fläche, berechnest.
Die Hälfte dieser Flächendiagonalen schließt mit der Höhe $h$ und der Seitenkante $\overline{AS}$ wiederum ein rechtwinkliges Dreieck ein.
Hier hast du wieder jeweils zwei Kantenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck gegeben, daher kannst du die dritte Kantenlänge über den Satz des Pythagoras bestimmen.
Die Länge der Flächendiagonalen $d_F$:
$\begin{array}{rcl} d_F&=&\sqrt{a² + b²} \\ &=&\sqrt{(2 \text{ cm})² + (3 \text{ cm})²} \\ &=&\sqrt{4 \text{ cm}² + 9 \text{ cm}²}& \\ &=&\sqrt {13} \text{ cm} \\ \end{array}$
Die Hälfte der Flächendiagonalen ist demnach $\dfrac{1}{2} \sqrt {13}$.
Die Länge der Seitenkante $\overline{AS}$:
$\begin{array}{rcl} \overline{AS}&=&\sqrt{h² + (\dfrac{1}{2} d_F)²} \\ &=&\sqrt{(2 \text{ cm})² + (\dfrac{1}{2} \sqrt{13} \text{ cm})²} \\ &=&\sqrt{4 \text { cm}² + \dfrac{13}{4} \text{ cm}²}& \\ &=&\sqrt {\dfrac{29}{4}} \text{ cm} \\ &\approx &2,69 \text{ cm} \\ \end{array}$
Die Seitenkante $\overline{AS}$ ist $2,69$ cm lang.
$\blacktriangleright$ Länge der Seitenhöhe berechnen
Die Seitenhöhe $h_s$ schließt mit der Höhe $h$ und der in der Abbildung mit $x$ bezeichneten Länge ein rechtwinkliges Dreieck ein.
$x$ entspricht der Hälfte der Kantenlänge $a$.
Du hast also wieder zwei Längen eines rechtwinkligen Dreiecks gegeben. Die dritte kannst du demnach über den Satz des Pythagoras bestimmen.
$\begin{array}{rcl} h_s&=&\sqrt{h² + (\dfrac{1}{2} a)²} \\ &=&\sqrt{(2 \text{ cm})² + (\dfrac{1}{2} \cdot 2 \text{ cm})²} \\ &=&\sqrt{4 \text { cm}² + 1 \text{ cm}²}& \\ &=&\sqrt {5} \text{ cm} & \\ &\approx &2,24 \text{ cm} \\ \end{array}$
Die Seitenhöhe $h_s$ ist $2,24$ cm lang.
4.
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\overline{AB}$ eines Zylinders berechnen
Du hast einen Zylinder mit dem Durchmesser $d = 8$ cm gegeben.
Die Strecke $\overline{AB}$ verläuft in einem Winkel von $\alpha = 45°$ zur Grundfläche.
Du sollst die Länge dieser Strecke $\overline{AB}$ bestimmen.
Du hast in diesem Fall eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks und einen Winkel gegeben. Über die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens kannst du damit die restlichen Seiten des Dreiecks bestimmen.
Die Strecke $\overline{AB}$ ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, der Durchmesser $d$ beschreibt die Ankathete des Winkels $\alpha$.
Daher benötigst du hier den Cosinus:
$\cos(\alpha) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\cos(\alpha) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Mit Einsetzen in die Formel folgt:
$\begin{array}{crcll} &cos(\alpha)&=&\dfrac{d}{\overline {AB}} &\mid\; \cdot \overline {AB} \, :cos(\alpha) \\[5pt] \Rightarrow&\overline {AB}&=&\dfrac{d}{cos(\alpha)} \\[4pt] &&=&\dfrac{8 \text{ cm}}{cos(45°)} &\mid\; cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\\[4pt] &&=&\dfrac{8 \text{ cm}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\[4pt] &&=&\dfrac{2 \cdot 8 \text{ cm}}{\sqrt{2}} \\[4pt] &&\approx& 11,31 \text{ cm} \\ \end{array}$
$ \cos(\alpha)=\dfrac{d}{\overline {AB}} \mid\; \cdot \overline {AB} \, :\cos(\alpha) $
Die Strecke $\overline{AB}$ ist $11,31$ cm lang.
5.
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\overline{AS}$ eines Kegels berechnen
Du hast einen Kegel mit der Seitenkantenlänge $s = 5$ cm und dem Radius $r = 3$ cm gegeben.
Die Strecke $\overline{AS}$ schließt mit der Höhe $h$ und der Strecke $\overline{AM}$ ein rechtwinkliges Dreieck ein. Die Strecke $\overline{AM}$ ist nach Aufgabenstellung mit $1,5$ cm gegeben. Die Höhe $h$ muss noch bestimmt werden.
Die Höhe schließt mit dem Radius $r$ und der Seitenkante $s$ wiederum ein rechtwinkliges Dreieck ein.
Hier hast du wieder jeweils zwei Kantenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck gegeben, daher kannst du die dritte Kantenlänge über den Satz des Pythagoras bestimmen.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt somit: $s²=h²+r²$. Stellen wir dies nach h um, erhalten wir: $h²=s²-r²$.
Somit gilt für die Länge der Höhe $h$:
$\begin{array}{rcl} h&=&\sqrt{s² - r²} \\ &=&\sqrt{(5 \text{ cm})² - (3 \text{ cm})²} \\ &=&\sqrt{25 \text{ cm}² - 9 \text{ cm}²}& \\ &=&\sqrt {16} \text{ cm} \\ &=&4 \text{ cm} \\ \end{array}$
Die Höhe des Kegels ist demnach $4$ cm.
Die Länge der Seitenkante $\overline{AS}$:
$\begin{array}{rcl} \overline{AS}&=&\sqrt{\overline{AM}² + h²} \\ &=&\sqrt{(1,5 \text{ cm})² + (4 \text{ cm})²} \\ &=&\sqrt{2,25 \text{ cm}² + 16 \text{ cm}²}& \\ &=&\sqrt {18,25} \text{ cm} \\ &\approx& 4,27 \text{ cm} \\ \end{array}$
Die Strecke $\overline{AS}$ ist $4,27$ cm lang.
6.
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\overline{DE}$ einer Pyramide berechnen
Du hast eine Pyramide mit den Längen $\overline{AB}=6$ cm, $\overline{BC}=4$ cm und $\overline{MS}=6$ cm gegeben.
Die gesuchte Strecke $\overline{DE}$ schließt mit der Raumdiagonalen $d_F$ und der Strecke $\overline{BE}$ ein rechtwinkliges Dreieck ein. Diese beiden Strecken müssen zuerst berechnet werden und damit dann die gesuchte Strecke $\overline{DE}$:
  • Schritt 1: Berechne Raumdiagonale $d_F$
  • Schritt 2: Berechne Strecke $\overline{BE}$
  • Schritt 3: Berechne Strecke $\overline{DE}$
Schritt 1: Berechne Raumdiagonale $d_F$
Wie du auf der Skizze erkennen kannst, sind die beiden Raumdiagonalen die Strecken $\overline{BD}$ und $\overline{AC}$. Da es sich um eine rechteckige Grundfläche handelt, sind diese beiden Strecken gleich lang: $d_F=\overline{BD}=\overline{AC}$.
$\overline{AC}$ schließt mit den gegebenen Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ ein rechtwinkliges Dreieck ein. Mit dem Satz des Pythagoras:
$\begin{array}{rcl} \overline{AC}&=&\sqrt{\overline{AB}² + \overline{BC}²} \\ &=&\sqrt{(6 \text{ cm})² + (4 \text{ cm})²} \\ &=&\sqrt{36 \text{ cm}² + 16 \text{ cm}²}& \\ &=&\sqrt {52} \text{ cm} \\ \end{array}$
Also gilt für die Raumdiagonale: $d_F=\overline{BD}=\overline{AC}=\sqrt {52}$ cm.
Schritt 2: Berechne Strecke $\overline{BE}$
Da nach Aufgabenstellung der Punkt E in der Mitte der Seitenkante $\overline{BS}$ liegt, ist die Strecke $\overline{BE}$ gerade die Hälfte der Strecke $\overline{BS}$: $\;\overline{BE}=\dfrac{1}{2} \cdot \overline{BS}$.
Diese Strecke $\overline{BS}$ schließt mit den Strecken $\overline{MS}$ und der Hälfte der Raumdiagonalen $d_F$ (Schritt 1) ein rechtwinkliges Dreieck ein. Mit dem Satz des Pythagoras:
$\begin{array}{rcl} \overline{BS}&=&\sqrt{\overline{MS}² + {(\dfrac{1}{2} \cdot d_F)}²} \\ &=&\sqrt{(6 \text{ cm})² + (\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt {52} \text{ cm})²} \\ &=&\sqrt{36 \text{ cm}² + \dfrac{1}{4} \cdot 52 \text{ cm}²}& \\ &=&\sqrt{36 \text{ cm}² + 13 \text{ cm}²}& \\ &=&\sqrt {49} \text{ cm} \\ &=&7 \text{ cm} \\ \end{array}$
Also gilt für die Strecke $\overline{BE}$:
$\overline{BE}=\dfrac{1}{2} \cdot \overline{BS} = \dfrac{1}{2} \cdot 7 = 3,5 $ cm.
Schritt 3: Berechne Strecke $\overline{DE}$
Mit den in den Schritten 1 und 2 ausgerechneten Längen können wir nun die Länge der Strecke $\overline{DE}$ berechnen. Mit dem Satz des Pythagoras:
$\begin{array}{rcl} \overline{DE}&=&\sqrt{d_F² - \overline{BE}²} \\ &=&\sqrt{(\sqrt{52} \text{ cm})² - (3,5 \text{ cm})²} \\ &=&\sqrt{52 \text{ cm}² - 12,25 \text{ cm}²}& \\ &=&\sqrt {39,75} \text{ cm} \\ &\approx& 6,30 \text{ cm} \\ \end{array}$
Die Strecke $\overline{DE}$ ist $6,30$ cm lang.
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