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Steigung einer Geraden

Aufgaben
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Aufgabe 1

a)
Zeichne die beiden Punkte $A\,(1\mid2)$ und $B\,(3\mid6)$ in ein Koordinatensystem ein. Zeichne dabei den $x$-Bereich von $-2$ bis $3$.
b)
Zeichne eine Gerade durch den Ursprung und die Punkte $A$ und $B$ und lies die Koordinaten von zwei weiteren Punkten aus dem Schaubild ab. Zeichne die Punkte ein.
c)
Zeichne zwischen den beiden Punkten aus Aufgabenteil b) ein Steigungsdreieck ein und berechne die Steigung der Funktion. Gib anschließend die Gleichung der Funktion $f$ an, die durch die Punkte $A$, $B$ und durch die in Aufgabenteil b) bestimmten Punkte verläuft.

Aufgabe 2

a)
Zeichne die beiden Funktionen $f$ und $g$ mit $f: y=x$ und $g:y=1,5x$ in ein Koordinatensystem ein.
b)
Spiegel die Graphen der beiden Funktionen an der $y$-Achse und bestimme die Funktionsgleichungen der gespiegelten Funktionen.
c)
Vergleiche die Steigung von einer Funktion und ihrer gespiegelten Funktion. Welche Gesetzmäßigkeit kannst du daraus ableiten?

Aufgabe 3

Bestimme die Gleichungen der dargestellten Funktionen.

Aufgabe 4

a)
Berechne die Höhe der einzelnen Stufen.
b)
Berechne mithilfe der Schrittmaßregel wie breit eine Treppenstufe sein muss, damit die Familienmitglieder bequem und sicher zur Haustür gelangen können. Das Ergebnis der Schrittmaßregel soll dabei $66\,\text{cm}$ betragen.
c)
Zeichne die Treppe in ein geeignetes Koordinatensystem. Beginne dabei mit einer Auftrittsfläche, bevor du die erste Treppenstufe einzeichnest. Zeichne anschließend eine Gerade ein, die durch den Ursprung und die Spitzen der Treppenstufen verläuft und bestimme ihre Steigung.

Aufgabe 5

Ihre Mutter erklärt ihr, dass die Farben die Schwierigkeiten der Piste darstellt. Blaue Pisten sind für Anfänger geeignet, rote sind schon schwieriger und schwarze Pisten sind für Profis.
Jennifer hat sich als ihre erste Skipiste die Abfahrt von der Trattalm ausgesucht. Die Strecke über die Trattalm ist eine blaue Strecke. Sie hat ein Gefälle von $16\,\%$ und verläuft über eine horizontale Strecke von $625\,\text{m}$.
Ein Gefälle von $16\,\%$ besagt, dass die Piste über eine horizontale Strecke von $100\,\text{m}$ um $16\,\text{m}$ fällt.
a)
Berechne, um wie viele Meter die Strecke über die Trattalm abfällt.
Die nächste Strecke, die sie befährt führt vom Hornköpfl, von einer Höhe von $1.773\,\text{m}$, abwärts auf eine Höhe von $1.550\,\text{m}$. Das Gefälle der Piste beträgt dabei $30\,\%$.
b)
Über welche horizontale Strecke führt diese Piste?
Als der Tag um ist, fährt Jennifer mit ihren Eltern über die $5,5\,\text{km}$ lange Talabfahrt zurück nach Kitzbühl, das auf einer Höhe von $800\,\text{m}$ liegt. Am Start der Abfahrt steht ein Schild mit einigen Informationen über die Strecke. Dummerweise ist über die Zeit der farbige Punkt, der die Schwierigkeit der Strecke angibt ausgeblichen.
c)
Berechne das Gefälle der Strecke und entscheide, um welche Art Skipiste es sich handelt.
  • Liegt das Gefälle der Skipiste unter $25\,\%$, dann handelt es sich um eine blaue Strecke.
  • Eine rote Piste hat ein Gefälle zwischen $25\,\%$ und $40\,\%$.
  • Hat die Piste ein Gefälle von mehr als $40\,\%$, dann handelt es sich bei der Piste um eine schwarze Strecke.
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Aufgabe 1

a)
Zeichne ein Koordinatensystem in dem geforderten $x$-Bereich und zeichne die Punkte ein. Die erste Koordinate des Punktes bestimmt dabei seine $x$-Koordinate, während der zweite Wert die $y$-Koordinate angibt.
Denk daran, alle Punkte, die du einzeichnest, zu beschriften. Das Koordinatensystem sieht so aus:
b)
Zeichne eine Gerade in dein Koordinatensystem ein, die durch die beiden Punkte und den Ursprung bei $U\,(0\mid0)$ verläuft.
Lies anschließend zwei weitere Punkte aus dem Koordinatensystem ab, die auf der Geraden liegen. Dabei empfiehlt es sich, Punkte zu nehmen, die ganze Zahlen als Koordinaten besitzen, da du diese einfacher ablesen kannst. Du kannst auch den Ursprung verwenden.
Als Punkte wurden die beiden Punkte $C\,(2\mid4)$ und $D\,(-1\mid-2)$ abgelesen. Dein Koordinatensystem kann so aussehen:
c)
Das Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den beiden Punkten $C$ und $D$ als Eckpunkten. Die Grundseite liegt auf der Geraden. Zeichne das Steigungsdreieck, indem du vom niedrigeren Punkt eine parallele Linie zur $x$-Achse und vom höheren Punkt eine parallele Linie zur $y$-Achse zeichnest. Dort, wo sich die beiden Linien kreuzen, liegt der dritte Eckpunkt des Steigungsdreiecks. Das Steigungsdreieck sieht so aus:
Die Funktion $f$ verläuft durch den Ursprung. Ihre Funktionsgleichung lautet allgemein:
$y=m\cdot x$
$y=m\cdot x$
Dabei ist $m$ die Steigung der Funktion. Berechne die Steigung der Funktion, indem du die Differenz der $y$-Koordinaten zweier Punkte durch die Differenz der $x$-Koordinaten dieser Punkte teilst.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] m&=&\dfrac{4-(-2)}{2-(-1)} \\[5pt] m&=&\dfrac{4+2}{2+1} \\[5pt] m&=&\dfrac{6}{3} \\[5pt] m&=&2 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Funktion $f$ lautet: $y=2x$.

Aufgabe 2

a)
Zeichne die beiden Funktionen in ein Koordinatensystem ein. Du kannst ein paar Punkte berechnen, um ein Gefühl für den $x$- und $y$-Bereich zu bekommen.
Das Koordinatensystem sieht so aus:
b)
Spiegel die Graphen der beiden Funktionen an der $y$-Achse, indem du für ein paar Punkte der Graphen den Abstand zur $y$-Achse misst und auf der anderen Seite der $y$-Achse im selben Abstand einen Spiegelpunkt einzeichnest. Anschließend kannst du eine Spiegelgerade durch diese Punkte zeichnen.
Die gespiegelten Geraden sehen so aus:
Um die Gleichung der gespiegelten Funktionen zu bestimmen, musst du jeweils zwei Punkte der Funktionen bestimmen. Die Steigung der Funktion kannst du anschließend berechnen, indem du die Differenz der $y$-Werte durch die Differenz der $x$-Werte der beiden Punkte teilst.
Für die Funktion $f'$ wurden die Punkte $P_1\,(-1\mid1)$ und $P_2\,(0\mid0)$ bestimmt. Berechne die Steigung der Funktion.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] m&=&\dfrac{0-1}{0-(-1)} \\[5pt] m&=&\dfrac{-1}{0+1} \\[5pt] m&=&\dfrac{-1}{1} \\[5pt] m&=&-1 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Funktion $f'$ lautet: $y=-1\cdot x$.
Für die Funktion $g'$ wurden die Punkte $P_3\,(-2\mid3)$ und $P_2\,(0\mid0)$ bestimmt. Berechne die Steigung der Funktion.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] m&=&\dfrac{0-3}{0-(-2)} \\[5pt] m&=&\dfrac{-3}{0+2} \\[5pt] m&=&\dfrac{-3}{2} \\[5pt] m&=&-1,5 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Funktion $g'$ lautet: $y=-1,5\cdot x$.
c)
Vergleiche die Steigungen der gespiegelten Funktionen mit denen ihrer ursprünglichen Funktionen. Was fällt dir auf? Welchen Schluss kannst du daraus ziehen? Versuche folgenden Satz zu vollenden: „Wenn eine Funktion an der $y$-Achse gespiegel wird, dann…“
Die Steigung der Funktion $f$ beträgt $1$, während die ihrer Spiegelfunktion $f'$ $-1$ beträgt. Die Steigung der Funktion $g$ beträgt $1,5$, während die ihrer Spiegelfunktion $g'$ $-1,5$ beträgt.
Wenn du die Funktion spiegelst, dann erhältst du den negativen Wert der Steigung der ursprünglichen Funktion als Steigung.
„Wenn du eine Funktion an der $y$-Achse spiegelst, dann erhältst du die Steigung der neuen Funktion, indem du die Steigung der ursprünglichen Funktion mit $-1$ multiplizierst.“

Aufgabe 3

Alle Graphen der eingezeichneten Funktion verlaufen durch den Ursprung. Ihre Funktionsgleichungen haben demnach die allgemeine Form:
$y=m\cdot x$
$y=m\cdot x$
Dabei ist $m$ die Steigung. Bestimme die Steigungen der dargestellten Funktionen, indem du für jede Funktion die Koordinaten von zwei Punkten bestimmst und anschließend die Differenz der $y$-Koordinaten durch die Differenz der $x$-Koordinaten teilst.
Im Schaubild kannst du sehen, dass jede der Funktionen durch den Ursprung $U\,(0\mid0)$ verläuft. Damit hast du für jede Funktion bereits einen Punkt bestimmt, sodass du nur noch einen weiteren bestimmen musst.
Funktion $f$
Für diese Funktion wurde der Punkt $P_1\,(2\mid3)$ bestimmt. Berechne die Steigung der Funktion und gib ihre Funktionsgleichung an.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] m&=&\dfrac{3-0}{2-0} \\[5pt] m&=&\dfrac{3}{2} \\[5pt] m&=&1,5 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Funktion $f$ lautet: $y=1,5\cdot x$.
Funktion $g$
Für diese Funktion wurde der Punkt $P_2\,(2\mid2)$ bestimmt. Berechne die Steigung der Funktion und gib ihre Funktionsgleichung an.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] m&=&\dfrac{2-0}{2-0} \\[5pt] m&=&\dfrac{2}{2} \\[5pt] m&=&1 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Funktion $g$ lautet: $y=1\cdot x$.
Funktion $h$
Für diese Funktion wurde der Punkt $P_3\,(4\mid1)$ bestimmt. Berechne die Steigung der Funktion und gib ihre Funktionsgleichung an.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] m&=&\dfrac{1-0}{4-0} \\[5pt] m&=&\dfrac{1}{4} \\[5pt] m&=&0,25 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Funktion $h$ lautet: $y=0,25\cdot x$.
Funktion $i$
Für diese Funktion wurde der Punkt $P_4\,(-1\mid3)$ bestimmt. Berechne die Steigung der Funktion und gib ihre Funktionsgleichung an.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] m&=&\dfrac{-3-0}{1-0} \\[5pt] m&=&\dfrac{-3}{1} \\[5pt] m&=&-3 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Funktion $i$ lautet: $y=-3\cdot x$.
Funktion $j$
Für diese Funktion wurde der Punkt $P_5\,(-3\mid2)$ bestimmt. Berechne die Steigung der Funktion und gib ihre Funktionsgleichung an.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] m&=&\dfrac{2-0}{-3-0} \\[5pt] m&=&\dfrac{2}{-3} \\[5pt] m&=&-\frac{2}{3} \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Funktion $j$ lautet: $y=-\frac{2}{3}\cdot x$.

Aufgabe 4

a)
Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die Treppe aus $3$ Stufen besteht, die zusammen eine Höhe von $54\,\text{cm}$ besitzen. Teile die Gesamthöhe durch die Anzahl der Stufen, um die Höhe einer Stufe zu berechnen.
$\dfrac{54\,\text{cm}}{3}=18\,\text{cm}$
Eine Stufe ist $18\,\text{cm}$ hoch.
b)
Berechne mithilfe der angegebenen Formel die Breite einer Treppenstufe. Das Ergebnis der Schrittmaßregel soll $66\,\text{cm}$ betragen. Die Höhe einer Treppenstufe hast du bereits in Aufgabenteil a) berechnet. Sie beträgt $18\,\text{cm}$. Setze die bekannten Werte in die Formel ein und berechne die Breite $A$ einer Stufe.
$\begin{array}[t]{rll} 66\,\text{cm}&=&A+2\cdot S &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 66\,\text{cm}&=&A+2\cdot 18\,\text{cm} \\[5pt] 66\,\text{cm}&=&A+36\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\;-36\,\text{cm}\\[5pt] 30\,\text{cm}&=&A\\[5pt] \end{array}$
Die Breite einer Treppenstufe beträgt $30\,\text{cm}$.
c)
Zeichne die Treppe nach den Angaben in ein geeignetes Koordinatensystem. Überlege dir dazu, wie breit und wie hoch das Koordinatensystem werden muss und welche Schrittgrößen sinnvoll sind.
Zeichne zuerst eine horizontale Linie, die der Breite einer Treppenstufe entspricht. Von da aus zeichnest du die Höhe einer Stufe ein (dieser Punkt ist später für das Einzeichnen der Geraden wichtig) und gehst eine weitere Stufenbreite nach rechts. Wiederhole das, bis du alle Treppenstufen eingezeichnet hast.
Das Koordinatensystem sieht so aus:
Überlege dir nun, durch welche zwei Punkte der Graph der Funktion verläuft und bestimme aus den Koordinaten dieser Punkte die Gleichung der Funktion.
Der Graph der Funktion verläuft durch den Ursprung mit $U\,(0\mid0)$. Die Spitzen der Treppenstufen liegen bei den Punkten $P_1\,(30\mid18)$, $P_2\,(60\mid36)$ und $P_3\,(90\mid54)$. Verwende die Koordinaten von zwei dieser Punkte, um die Gleichung der Funktion zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] m&=&\dfrac{54-0}{90-0} \\[5pt] m&=&\dfrac{54}{90} \\[5pt] m&=&0,6 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Funktion lautet $y=0,6\cdot x$.

Aufgabe 5

a)
Du kannst eine Steigung berechnen, indem du die Differenz der $y$-Werte durch die Differenz der $x$-Werte teilst. Überlege dir hier, welche Werte du gegeben hast, welchen Werten der Formel sie entsprechen und was du berechnen willst.
Du willst den Höhenunterschied zwischen Anfang und Ende der Skipiste berechnen. Das entspricht in der Formel der Differenz der $y$-Werte. Die Differenz der $x$-Werte hast du mit $625\,\text{m}$ gegeben. Ebenso weißt du, dass das Gefälle $16\,\%$ beträgt. Überlege dir, wie du vom Gefälle auf die Steigung kommst.
Die Definition des Gefälles besagt, dass auf einen Abschnitt von $100\,\text{m}$ horizontal eine gewisse Höhe (hier $16\,\text{m}$) nach unten gehst. Würdest du dieses Gefälle als Funktion beschreiben, dann würde es für $1$ Schritt $0,16$ Schritte abwärst gehen. Die Steigung der Funktion beträgt demnach $-0,16$.
Setze die bekannten Werte in die Formel ein und berechne die Differenz der $y$-Werte.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] -0,16&=&\dfrac{\Delta y}{625\,\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 625\,\text{m}\\[5pt] -0,16\cdot 625\,\text{m}&=&\Delta y\\[5pt] -100\,\text{m}&=&\Delta y\\[5pt] \end{array}$
Dein Ergebnis ist negativ, weil die Strecke abfällt. Der Betrag dieses Ergebnisses ist der Höhenunterschied der Skipiste. Die Strecke über die Trattalm fällt um $100\,\text{m}$ ab.
b)
Gehe hier ähnlich vor wie bei Teilaufgabe a). Mache dir klar, welche Werte du gegeben hast und was du suchst.
Die Differenz der $y$-Werte hast du gegeben. Sie beträgt $1.773\,\text{m}-1.550\,\text{m}=223\,\text{m}$. Ebenso kennst du die Steigung mit $-0,30$. Gesucht wird die Differenz der $x$-Werte.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] -0,30&=&\dfrac{223\,\text{m}}{\Delta x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \Delta x;\, :(-0,30)\\[5pt] \Delta x&=&\dfrac{223\,\text{m}}{-0,30} \\[5pt] \Delta x&\approx&-743\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$
Bilde wieder den Betrag deines Ergebnisses. Die Piste vom Hornköpfl abwärts verläuft über eine horizontale Strecke von ca. $743\,\text{m}$.
c)
Gehe hier ähnlich vor wie bei Teilaufgabe a). Mache dir klar, welche Werte du gegeben hast und was du suchst.
Die Differenz der $x$-Werte ist mit $5.500\,\text{m}$ gegeben. Die Differenz der $y$-Werte kannst du mithilfe der Höhenangabe von Kitzbühel ($800\,\text{m}$) und des Kitzbüheler Horns ($2.000\,\text{m}$) berechnen. Sie beträgt $2.000\,\text{m}-800\,\text{m}=1.200\,\text{m}$. Gesucht wird die Steigung.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] m&=&\dfrac{1.200\,\text{m}}{5.500\,\text{m}} \\[5pt] m&=&\dfrac{1.200\,\text{m}}{5.500\,\text{m}} \\[5pt] m&\approx&0,22 \\[5pt] \end{array}$
Das Gefälle der Talabfahrt beträgt $22\,\%$. Damit ist die Talabfahrt eine blaue Strecke.
Bildnachweise [nach oben]
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