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Streckung und Stauchung

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Lösungen PLUS
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In x-Richtung
  • Allgemeine Form: $f(x)=\sin(bx)$ bzw. $f(x)=\cos(bx)$
  • Streckung: $\;|b|\lt 1\;$ Stauchung $\;|b|>1\;$
  • Periode: $p=\dfrac{2\pi}{|b|}$
  • Spiegelung: Ist $b\lt 0$ wird der Graph der Funktion an der $y$-Achse gespiegelt
Schaubild 2
Schaubild 2

Beispiel

a)
$f(x)=\sin(2x) $$\Rightarrow$$ b=2 $$\Rightarrow$$ p=\dfrac{2\pi}{|b|}=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$.
Die Funktion hat eine Periode von $\pi$ (siehe Schaubild 1).
b)
$f(x)=\sin(\frac{\pi}{4}x) $$\Rightarrow$$ b=\frac{\pi}{4} $$\Rightarrow$$ p=\dfrac{2\pi}{\frac{\pi}{4}}=8$.
Die Funktion hat eine Periode von 8 (siehe Schaubild 2).
In y-Richtung
  • Allg. Form: $f(x)=a\cdot \sin(x)$ bzw. $f(x)=a\cdot\cos(x)$
  • Streckung: $|a|>1\;$ Stauchung $|a|\lt1\;$
  • Amplitude $|a|$: maximale Auslenkung der Kurve von der $x$–Achse
  • Spiegelung: Ist $a\lt 0$ wird der Graph der Funktion an der $x$-Achse gespiegelt
Schaubild 2   $f(x)=\frac{1}{2}\cos(x)$
Schaubild 2   $f(x)=\frac{1}{2}\cos(x)$

Beispiel

a)
$f(x)=2\cdot\sin(x) $$\Rightarrow$$ |a|=2 $$\Rightarrow$$ \mathbb{W}=\left[-2;2\right]$.
Die Funktion hat eine Amplitude von $2$ (siehe Schaubild 1).
b)
$f(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\cos(x) $$\Rightarrow$$ |a|=\frac{1}{2} $$\Rightarrow$$ \mathbb{W}=\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$.
Die Funktion hat eine Amplitude von $\frac{1}{2}$ (siehe Schaubild 2).
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