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1.
Rechne in Bogenmaß um.
b)
$180^{\circ} $
d)
$-30^{\circ} $
f)
$135^{\circ} $
2.
Rechne in Gradmaß um.
b)
$\dfrac{\pi}{2}$
d)
$0,733$
f)
$\dfrac{\pi}{180}$
3.
Bestimme die Periode und die Amplitude der Graphen.
4.
Schreibe die Funktionsgleichung für Sinusfunktionen mit den angegebenen Perioden $P$ und Amplituden $a$
a)
$P=2\pi$, $\;a=\dfrac{1}{2}$
b)
$P=\dfrac{3}{2}\pi$, $\;a=5$
c)
$P=6\pi$, $\;a=2$
5.
Zeige, dass die folgenden Aussagen wahr sind:
a)
$\cos(x)=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$
b)
$\sin(45°)=\sin\left(\dfrac{3}{4}\pi\right)$
c)
$\sin(90°)=|\sin(270°)\,|$
6.
a)
Verschiebe den Graphen der Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=3\cdot \sin\left(\dfrac{1}{2}\pi\cdot x\right)$ um $3$ Einheiten in Richtung der positiven $y$-Achse und um $2$ Einheiten in Richtung der negativen $x$-Achse und gib die zugehörige Funktionsgleichung an.
b)
Zeichne den Graphen der Funktion $f$ und den verschobenen Graphen.
7.
Gegeben ist die Funktion $g$ mit der Funktionsgleichung $g(x)=\cos(x)$.
a)
Strecke die Funktion $g$ um den Streckfaktor $3$ in $x$-Richtung.
b)
Stauche die Funktion $g$ um den Faktor $\frac{1}{2}$ in $y$-Richtung.
8.
Die monatliche Durchschnittstemperaturen in Deutschland lassen sich durch eine Sinusfunktion beschreiben. Die Temperaturen erreichen im Juli einen Höhepunkt mit etwa $17^{\circ}\,\text{C}$. Die Amplitude der Sinusfunktion ist $9^{\circ}\,\text{C}$.
a)
Finde eine geeignete Funktionsgleichung, die den Temperaturverlauf beschreibt.
b)
Zeichne den Graphen der Funktion.
c)
Welche Temperaturen erwartest du in den Monaten Mai und Dezember?
d)
Wie hoch ist die Jahresdurchschnittstemperatur?
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Lösungen
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1.
Verwende die Formel $\alpha_{bog}=\frac{\alpha}{360^{\circ}}\cdot 2\cdot \pi$:
a)
$\dfrac{90^{\circ} }{360^{\circ}}\cdot 2\cdot \pi=\dfrac{\pi}{2}$
b)
$\dfrac{180^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot 2\cdot \pi=\pi $
c)
$\dfrac{360^{\circ} }{360^{\circ}}\cdot 2\cdot \pi=2\pi$
d)
$\dfrac{-30^{\circ} }{360^{\circ}}\cdot 2\cdot \pi=-\dfrac{\pi}{6}$
e)
$\dfrac{72^{\circ} }{360^{\circ}}\cdot 2\cdot \pi=\dfrac{2}{5}\pi$
f)
$\dfrac{135^{\circ} }{360^{\circ}}\cdot 2\cdot \pi=\dfrac{3}{4}\pi$
2.
Verwende die Formel $\alpha=\frac{\alpha_{bog}}{2\cdot \pi}\cdot 360^{\circ}$:
a)
$\dfrac{\pi}{2\pi} \cdot 360^{\circ} = 180^{\circ}$
b)
$\dfrac{\pi}{2\cdot 2\pi} \cdot 360^{\circ} = 90^{\circ}$
c)
$\dfrac{2,74}{2\pi} \cdot 360^{\circ} \approx 157^{\circ}$
d)
$\dfrac{0,733}{2\pi} \cdot 360^{\circ} \approx 42^{\circ}$
e)
$\dfrac{7\pi}{3\cdot 2\pi} \cdot 360^{\circ} = 420^{\circ}$
f)
$\dfrac{\pi}{180\cdot 2\pi} \cdot 360^{\circ} = 1^{\circ}$
3.
Bestimme aus den Graphen die Amplitude und die Periodenlänge. Die Periodenlänge erhältst du, wenn du den Abstand zwischen $2$ Hoch- oder Tiefstellen bestimmst. Du kannst auch die Länge mehrerer Perioden messen und dann durch die Anzahl der Perioden teilen.
Die Amplitude ist die halbe Differenz der Funktionswerte von Hoch- und Tiefpunkt.
Funktion $f$: Bestimme den Abstand zweier Hochstellen. Die Periodenlänge des Graphen der Funktion $f$ ist $P_f=\frac{5}{4}\pi-\frac{1}{4}\pi=\pi$. Die Amplitude ist $a_f=\frac{1-(-1)}{2}=1$.
Funktion $g$: Bestimme die Länge von $3$ Perioden. Die Periodenlänge des Graphen der Funktion $g$ ist $P_g=\frac{2\pi}{3}$. Die Amplitude ist $a_g=\frac{2-(-2)}{2}=2$.
Funktion $h$: Bestimme den Abstand zweier Hochstellen. Die Periodenlänge des Graphen der Funktion $h$ ist $P_h=4\cdot\pi-0=4 \pi$. Die Amplitude ist $a_h=\frac{1-(-1)}{2}=1$.
4.
Verwende die Formel $a\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{p}\cdot x\right)$:
a)
$\;\frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{2\pi}x \right)=\frac{1}{2}\sin(x)$
b)
$\;5\sin\left(\frac{2\cdot 2\pi}{3\pi}x\right)=5\sin\left(\frac{4}{3}x\right)$
c)
$\;2\sin\left(\frac{2\pi}{6\pi}x\right)=2\sin\left(\frac{1}{3}x\right)$
5.
a)
Verschiebst du den Graphen der Sinusfunktion um $\frac{\pi}{2}$ in Richtung der negativen $x$-Achse erhältst du den Graphen der Kosinusfunktion. Deshalb gilt: $\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$.
Du kannst auch anders argumentieren. Die Graphen dieser Sinus- und Kosinusfunktion haben die selbe Amplitude $a=1$ und die selbe Periode $P=2\pi$. Wenn sie an zwei Punkten, die nicht mehrfache von der halben Periode $\pi$ auseinander liegen übereinstimmen, müssen sie überall übereinstimmen:
$\cos(0)=1=\sin\left(0+\frac{\pi}{2}\right)$, $\;\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)$
b)
Bestimme beide Werte: $\sin(45^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\;\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
c)
Bestimme auch hier beide Werte: $\sin(90^{\circ})=1$, $\;\left|\sin(270^{\circ})\right|=\left|(-1)\right|=1$.
6.
a)
Die allgemeine Form der Sinusfunktion ist $a\cdot\sin\left(b\cdot (x-c)\right)+d$. Mit den Parametern $c$ und $d$ kannst du den Graphen der Funktion verschieben. Der verschobene Graph hat die Funktionsgleichung $f^*(x) $$=3\cdot\sin\left(\frac{1}{2}\pi\cdot(x+2)\right)+3$.
b)
Die Graphen der Funktionen sehen so aus:
7.
Die allgemeine Form der Kosinusfunktion ist $a\cdot\cos\left(b\cdot (x-c)\right)+d$. Strecke und stauche die Funktion durch anpassen der Parameter $a$ und $b$.
a)
$g^*=\cos\left(\dfrac{1}{3}x\right)$
b)
$g^{**}=\dfrac{1}{2}\cos(x)$
8.
a)
Modelliere die Sinusfunktion $T(x)=a\cdot \sin\left(b\cdot(x-c)\right)+d$ so, dass sie das Modell beschreibt.
Periode Die Periodenlänge sollte $12$ betragen, weil das Jahr $12$ Monate hat: $b=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$.
Amplitude Die Amplitude ist mit $9^{\circ}\,\text{C}$ angegeben: $a=9$.
Verschiebung in $y$-Richtung Die Funktion muss in Richtung der postitive $y$-Achse verschoben werden. Die Maximale Temperatur liegt bei $17^{\circ}\,\text{C}$. Die Amplitude ist nur $9^{\circ}\,\text{C}$, daher muss die Funktion um $17-9=8$ Einheiten in Richtung der positiven $y$-Achse verschoben werden: $d=8$.
Verschiebung in $x$-Richtung Das Maximum der Sinusfunktion liegt bei einem Viertel der Periodenlänge. Hier ist das $\frac{12}{4}=3$. Soll der $x$-Wert den Monat beschreiben und bezeichnest du den Januar mit $1$, den Februar mit $2$ usw., muss das Maximum bei $7$, also Juli liegen. Daher musst du die Funktion um $4$ Einheiten in Richtung der positiven $x$-Achse verschieben: $c=4$.
Die Funktionsgleichung ist dann: $T(x)=9\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\cdot(x-4)\right)+8$.
b)
Der Graph der Funktion sollte so aussehen:
c)
Bestimme die Funktionswerte für $x=5$ für den Monat Mai und $x=12$ für den Monat Dezember:
$\begin{array}[t]{rll} T(5)&=&9\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\cdot(5-4)\right)+8 &= 12,5 \\[5pt] T(12)&=&9\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\cdot(12-4)\right)+8 &\approx 0,2 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} T(5)&= 12,5 \\[5pt] T(12)&\approx 0,2 \\[5pt] \end{array}$
Die Durchschnittstemperatur im Mai sind nach diesem Modell $12,5^{\circ}\,\text{C}$, im Dezember sind es $0,2^{\circ}\,\text{C}$
d)
Die Jahresdurchschnittstemperatur ist durch die Verschiebung in Richtung der $y$-Achse gegeben. Die Jahresdurchschnittstemperatur beträgt nach diesem Modell $8^{\circ}\,\text{C}$.
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