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Gleiche Basis

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Hast du zwei Potenzen mit der gleichen Basis gegeben, kannst du diese zu einer Potenz zusammenfassen.
Multiplizierst du Potenzen mit gleicher Basis, behältst du die Basis und addierst die Exponenten. Die Regel lautet für alle Zahlen $a \neq 0$:
$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$
$a^n \cdot a^m $$= a^{n+m}$
Dividierst du Potenzen mit gleicher Basis, behältst du die Basis und subtrahierst die Exponenten. Die Regel lautet für alle Zahlen $a \neq 0$:
$a^n \cdot a^{-m} = \dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
$a^n \cdot a^{-m} $$= \dfrac{a^n}{a^m} $$= a^{n-m}$
Addierst du zwei Potenzen mit gleicher Basis, so kannst du diese im Allgemeinen nicht mit Potenzgesetzen zusammenfassen. Oft kannst du Summen durch Ausklammern zusammenfassen, aber es gibt keine einheitliche Regel dafür.
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Aufgaben
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1.
Forme um und berechne.
b)
$5^1\cdot5^2$
d)
$14^2\cdot14^3$
f)
$(-3)^1\cdot(-3)^3$
2.
Forme um und berechne. Bei großen Hochzahlen kannst du den Taschenrechner verwenden. Achte auf das Vorzeichen!
b)
$(-3)^{8}:(-3)^{-4}$
d)
$\dfrac{(-9)^5}{(-9)^{3}}$
f)
$\dfrac{(-4)^{5}}{(-4)^{3}}$
3.
Schreibe die Potenz als Produkt und vereinfache soweit wie möglich.
b)
$5^{3+n}$
d)
$(-4)^{3+m}$
f)
$(-5)^{x+3}$
4.
Schreibe als Bruch und vereinfache soweit wie möglich.
b)
$3^{5-n}$
d)
$4^{t-3}$
f)
$12^{2t-3k}$
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Lösungen
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1.
Potenzen berechnen
b)
$ \begin{array}[t]{rcl} 5^1\cdot5^2&=&5^{1+2}\\[5pt] &=&5^3\\[5pt] &=&125 \end{array} $
d)
$ \begin{array}[t]{rcl} 14^2\cdot14^3&=&14^{2+3}\\[5pt] &=&14^5\\[5pt] &=&537.824 \end{array} $
f)
$ \begin{array}[t]{rcl} (-3)^1\cdot(-3)^3&=&(-3)^{1+3}\\[5pt] &=&(-3)^4\\[5pt] &=&81 \end{array} $
2.
Umformen
b)
$ \begin{array}[t]{rcl} (-3)^{8}:(-3)^{-4}&=&(-3)^{8-(-4)}\\[5pt] &=&(-3)^{(8+4)}\\[5pt] &=&(-3)^{12}\\[5pt] &=&3^{12}\\[5pt] &=&531.441 \end{array} $
d)
$ \begin{array}[t]{rcl} \dfrac{(-9)^5}{(-9)^{3}}&=&(-9)^{5-3}\\[5pt] &=&(-9)^2\\[5pt] &=&9^2\\[5pt] &=&81 \end{array} $
f)
$ \begin{array}[t]{rcl} \dfrac{(-4)^{5}}{(-4)^{3}}&=&(-4)^{5-3}\\[5pt] &=&(-4)^2\\[5pt] &=&4^2\\[5pt] &=&16 \end{array} $
3.
Umformen und vereinfachen
b)
$ \begin{array}[t]{rcl} 5^{3+n}&=&5^{3}\cdot5^{n}\\[5pt] &=&125\cdot5^n\\[5pt] \end{array} $
d)
$ \begin{array}[t]{rcl} (-4)^{3+m}&=&(-4)^{3}\cdot(-4)^{m}\\[5pt] &=&-64\cdot(-4)^{m}\\[5pt] \end{array} $
f)
$ \begin{array}[t]{rcl} (-5)^{x+3}&=&(-5)^{x}\cdot(-5)^{3}\\[5pt] &=&-125\cdot-5^{x}\\[5pt] \end{array} $
4.
Schreibe als Bruch und vereinfache soweit wie möglich.
b)
$ \begin{array}[t]{rcl} 3^{5-n}&=&\dfrac{3^5}{3^n}\\[5pt] &=&\dfrac{243}{3^n} \end{array} $
d)
$ \begin{array}[t]{rcl} 4^{t-3}&=&\dfrac{4^t}{4^3}\\[5pt] &=&\dfrac{4^t}{64} \end{array} $
f)
$ \begin{array}[t]{rcl} 12^{2t-3k}&=&\dfrac{12^{2t}}{12^{3k}} \end{array} $
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