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Quadratzahlen und Potenzen

Spickzettel
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Eine Potenz besteht aus der Grundzahl (Basis) und der Hochzahl (Exponent). Man schreibt allgemein: $a^n$. Hierbei ist $a$ die Basis und $n$ der Exponent.
Die Basis wird hierbei so oft mit sich selbst multipliziert, wie der Exponent angibt, also z.B.: $2^3=2\cdot2\cdot2=8$
Hat eine Zahl den Exponenten $0$, so ist das Ergebnis immer $1$. Es gibt darüber hinaus noch einige Potenzen, die du auswendig können solltest. Dazu zählen die Quadratzahlen von $1$ bis $10$, also die Zahl jeweils hoch $2$, die Potenzreihe von $2^1$ bis $2$$10$ oder die Quadratzahlen von $11$ bis $20$.

Vorgehen

Du kannst zum einfachen Rechnen die Potenz, wie im allgemeinen Beispiel weiter oben, in ein Produkt schreiben und dieses Stück für Stück ausrechnen. Wenn sowohl die Basis als auch der Exponent übereinstimmen und sich die Zahlen nur im Vorfaktor unterscheiden, wie z.B. bei: $2\cdot4^2+1\cdot4^2$; dann kannst du die Vorfaktoren zusammenrechnen und sie dann mit der Potenz verrechnen, also:
$ \begin{array}{rcl} 2\cdot4^2+1\cdot4^2&=&(2+1)\cdot4^2\\[5pt] &=&3\cdot16\\[5pt] &=&48 \end{array} $
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Aufgaben
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1.
Berechne ohne Taschenrechner.
b)
$6^2$
d)
$2^2$
f)
$5^2$
h)
$1^2$
j)
$8^2$
l)
$3^3$
2.
Berechne ohne Taschenrechner.
b)
$12^2$
d)
$20^2$
f)
$13^2$
h)
$19^2$
j)
$18^2$
l)
$10^8$
3.
Berechne ohne Taschenrechner.
b)
$2^7$
d)
$2^4$ + $4^2$
f)
$2$$10$
h)
$5^4$ + $9^2$
j)
$2$$10$ + $10^2$
l)
$3^3$ + $10^3$
4.
Berechne ohne Taschenrechner. Wenn möglich versuche zuerst die zwei Ausdrücke zu einem zusammenzufassen bevor du rechnest.
b)
$3 \cdot 4^2$ $-$ $2 \cdot 4^2$
d)
$5 \cdot 2^4$ $+$ $3 \cdot 2^4$
f)
$2 \cdot 8^2$ $-$ $8^2$
h)
$9^2$ $-$ $2 \cdot 9^2$
j)
$4 \cdot 11^2$ $-$ $2 \cdot 11^2$
l)
$5 \cdot 3^3$ $-$ $2 \cdot 3^3$
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Lösungen
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1.
Potenzen berechnen
b)
$6^2=6\cdot6=36$
d)
$2^2=2\cdot2=4$
f)
$5^2=5\cdot5=25$
h)
$1^2=1\cdot1=1$
j)
$8^2=8\cdot8=64$
l)
$3^3=3\cdot3\cdot3=27$
2.
Potenzen berechnen
b)  $12^2=12\cdot12=144$
d)  $20^2=20\cdot20=400$
f)  $13^2=13\cdot13=169$
h)  $19^2=19\cdot19=361$
j)  $18^2=18\cdot18=324$
l)  $10^8=100000000$
3.
Potenzen berechnen
b)
$2^7=128$
d)
$2^4$ + $4^2=16+16=32$
f)
$2$$10$$=1024$
h)
$5^4$ + $9^2=625+81=706$
j)
$2$$10$ + $10^2=1024+100=1124$
l)
$3^3$ + $10^3=27+1000=1027$
4.
Potenzen berechnen
Um die Rechnungen zu vereinfachen kannst du ausdrücke mit den gleichen Potenzen zusammen rechnen indem du den Faktor vor der Potenz addierst oder subtrahierst. Beispiel:
$ \begin{array}{rl} 3 \cdot2^2+1\cdot2^2&=4\cdot2^2\\[5pt] &=4\cdot4\\[5pt] &=16 \end{array} $
Achtung: Das darfst du nur tun, wenn sowohl Exponent als auch Basis überein stimmen!
b)
$ \begin{array}{rl} 3\cdot4^2-2\cdot4^2&=1\cdot4^2\\[5pt] &=1\cdot16\\[5pt] &=16 \end{array} $
d)
$ \begin{array}{rl} 5\cdot2^4+3\cdot2^4&=8\cdot2^4\\[5pt] &=8\cdot16\\[5pt] &=128 \end{array} $
f)
$ \begin{array}{rl} 2\cdot8^2-8^2&=1\cdot8^2\\[5pt] &=1\cdot64\\[5pt] &=64 \end{array} $
g)
$ \begin{array}{rl} 9^2-2\cdot9^2&=-1\cdot9^2\\[5pt] &=-1\cdot81\\[5pt] &=-81 \end{array} $
j)
$ \begin{array}{rl} 4\cdot11^2-2\cdot11^2&=2\cdot11^2\\[5pt] &=2\cdot121\\[5pt] &=242 \end{array} $
l)
$ \begin{array}{rl} 5\cdot3^3-2\cdot3^3&=3\cdot3^3\\[5pt] &=3\cdot27\\[5pt] &=81 \end{array} $
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