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Brüche in Potenzschreibweise darstellen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Erkläre die Tabelle und führe sie bis $\frac{1}{256}$ fort.
b)
Erstelle eine ähnliche Tabelle für Potenzen von $4^3$ bis $4^{-3}$.
#potenz#potenzschreibweise#bruch

Aufgabe 1

Schreibe die Terme so um, dass ein Bruch entsteht. Berechne den Potenzwert im Anschluss
b)
$3^{-4}$
d)
$5^{-2}$
f)
$8^{-4}$
h)
$10^{-4}$
j)
$1.000^{-2}$
#potenz#bruch#potenzschreibweise

Aufgabe 2

Schreibe die Brüche in die Potenzschreibweise um.
b)
$\dfrac{1}{36}$
d)
$\dfrac{1}{25}$
f)
$\dfrac{1}{10}$
h)
$\dfrac{1}{400}$
j)
$\dfrac{1}{1.000}$
#bruch#potenzschreibweise#potenz

Aufgabe 3

Berechne den Potenzwert mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.
b)
$0,3^{-3}$
d)
$0,4^{-5}$
f)
$0,36^{-3}$
h)
$1,7^{-3}$
j)
$2,36^{-3}$
#bruch#potenzschreibweise#potenz

Aufgabe 4

Finde heraus, ob die Potenzwerte größer >, kleiner <, oder gleich = sind.
b)
$2^{-5} \;$ $ \;5^{-2}$
d)
$6^{-3} \;$ $ \;2^{-6}$
f)
$9^{-3} \;$ $ \;4^{-8}$
h)
$6^{-4} \;$ $ \;36^{-2}$
j)
$0,25^{-5} \;$ $ \;32^2$
#potenz#potenzschreibweise#bruch

Aufgabe 5

Schreibe die Terme ohne Bruchstrich.
b)
$\dfrac{1}{b^3}$
d)
$\dfrac{1}{d^9}$
f)
$\dfrac{1}{f^y}$
#potenz#potenzschreibweise#bruch

Aufgabe 6

Wandle die Dezimalbrüche in eine Potenz mit negativem Exponenten um.
b)
$0,0625$
d)
$0,015625$
f)
$0,125$
h)
$0,001$
#bruch#potenzschreibweise#potenz

Aufgabe 7

Schreibe als Potenz mit positivem Exponenten.
b)
$0,03125^{-2}$
d)
$0,008^{-2}$
f)
$0,0625^{-2}$
#potenzschreibweise#potenz#bruch

Aufgabe 8

Schreibe die Brüche als Potenz mit negativem Exponenten um. Versuche dabei, alle Möglichkeiten anzugeben.
b)
$\dfrac{1}{625}$
d)
$\dfrac{1}{1.024}$
f)
$\dfrac{1}{2.401}$
h)
$\dfrac{1}{6561}$
#potenzschreibweise#bruch#potenz

Aufgabe 9

Rechne aus und runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.
b)
$3^5 - 3^{-1} + 3^{-2} - 3^{-3}- 3^2$
d)
$5^{-1} + 5^{-2} + 5^{-4} + 5^2 + 5^3 + 5^6$
#potenzschreibweise#potenz#bruch
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
ZahlFaktoren-produktPotenz
$\dfrac{1}{16}$$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} $$2^{-4}$
$\dfrac{1}{32}$$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}$$2^{-5}$
$\dfrac{1}{64}$$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}$$2^{-6}$
$\dfrac{1}{128}$$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} $$2^{-7}$
$\dfrac{1}{256}$$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}$$2^{-8}$
$ ERGEBNIS $
b)
ZahlFaktoren-produktPotenz
$64$$4 \cdot 4 \cdot 4 $$4^3$
$16$$4 \cdot 4$$4^2$
$4$$4$$4^1$
$1$$1 $$4^0$
$\dfrac{1}{4}$$\dfrac{1}{4} $$4^{-1}$
$\dfrac{1}{16}$$\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} $$4^{-2}$
$\dfrac{1}{256}$$\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4}$$4^{-3}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Term umschreiben und Potenzwert berechnen
$2^{-3}$
$= \dfrac{1}{2^3}$
$= \dfrac{1}{8}$
b)
$\blacktriangleright$  Term umschreiben und Potenzwert berechnen
$3^{-4}$
$= \dfrac{1}{3^4}$
$= \dfrac{1}{81}$
c)
$\blacktriangleright$  Term umschreiben und Potenzwert berechnen
$4^{-6}$
$= \dfrac{1}{4^6}$
$= \dfrac{1}{4.096}$
d)
$\blacktriangleright$  Term umschreiben und Potenzwert berechnen
$5^{-2}$
$= \dfrac{1}{5^2}$
$= \dfrac{1}{25}$
e)
$\blacktriangleright$  Term umschreiben und Potenzwert berechnen
$6^{-1}$
$= \dfrac{1}{6^1}$
$= \dfrac{1}{6}$
f)
$\blacktriangleright$  Term umschreiben und Potenzwert berechnen
$8^{-4}$
$= \dfrac{1}{8^4}$
$= \dfrac{1}{4.096}$
g)
$\blacktriangleright$  Term umschreiben und Potenzwert berechnen
$9^{-2}$
$= \dfrac{1}{9^2}$
$= \dfrac{1}{81}$
h)
$\blacktriangleright$  Term umschreiben und Potenzwert berechnen
$10^{-4}$
$= \dfrac{1}{10^4}$
$= \dfrac{1}{10.000}$
i)
$\blacktriangleright$  Term umschreiben und Potenzwert berechnen
$100^{-3}$
$= \dfrac{1}{100^3}$
$= \dfrac{1}{1.000.000}$
j)
$\blacktriangleright$  Term umschreiben und Potenzwert berechnen
$1.000^{-2}$
$= \dfrac{1}{1.000^2}$
$= \dfrac{1}{1.000.000}$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Potenzschreibweise anwenden
$\dfrac{1}{8}$
$= \dfrac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2}$
$= \dfrac{1}{2^3}$
$= 2^{-3}$
b)
$\blacktriangleright$  Potenzschreibweise anwenden
$\dfrac{1}{36}$
$= \dfrac{1}{6 \cdot 6}$
$= \dfrac{1}{6^2}$
$= 6^{-2}$
c)
$\blacktriangleright$  Potenzschreibweise anwenden
$\dfrac{1}{64}$
$= \dfrac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4}$
$= \dfrac{1}{4^3}$
$= 4^{-3}$
d)
$\blacktriangleright$  Potenzschreibweise anwenden
$\dfrac{1}{25}$
$= \dfrac{1}{5 \cdot 5}$
$= \dfrac{1}{5^2}$
$= 5^{-2}$
e)
$\blacktriangleright$  Potenzschreibweise anwenden
$\dfrac{1}{49}$
$= \dfrac{1}{7 \cdot 7}$
$= \dfrac{1}{7^2}$
$= 7^{-2}$
f)
$\blacktriangleright$  Potenzschreibweise anwenden
$\dfrac{1}{10}$
$= \dfrac{1}{10 \cdot 1}$
$= \dfrac{1}{10^1}$
$= 10^{-1}$
g)
$\blacktriangleright$  Potenzschreibweise anwenden
$\dfrac{1}{225}$
$= \dfrac{1}{15 \cdot 15}$
$= \dfrac{1}{15^2}$
$= 15^{-2}$
h)
$\blacktriangleright$  Potenzschreibweise anwenden
$\dfrac{1}{400}$
$= \dfrac{1}{20 \cdot 20}$
$= \dfrac{1}{20^2}$
$= 20^{-2}$
i)
$\blacktriangleright$  Potenzschreibweise anwenden
$\dfrac{1}{10.000}$
$= \dfrac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$
$= \dfrac{1}{10^4}$
$= 10^{-4}$
j)
$\blacktriangleright$  Potenzschreibweise anwenden
$\dfrac{1}{1.000}$
$= \dfrac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 }$
$= \dfrac{1}{10^3}$
$= 10^{-3}$

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Potenzwert berechnen und Ergebnis runden
$3^{-3}$
$= \dfrac{1}{27}$
$\approx 0,04$
b)
$\blacktriangleright$  Potenzwert berechnen und Ergebnis runden
$0,3^{-3}$
$= \dfrac{1.000}{27}$
$\approx 37,04$
c)
$\blacktriangleright$  Potenzwert berechnen und Ergebnis runden
$5^{-4}$
$= \dfrac{1}{625}$
$\approx 0,00$
d)
$\blacktriangleright$  Potenzwert berechnen und Ergebnis runden
$0,4^{-5}$
$= \dfrac{3.125}{32}$
$\approx 97,66$
e)
$\blacktriangleright$  Potenzwert berechnen und Ergebnis runden
$1,2^{-2}$
$= \dfrac{25}{36}$
$\approx 0,69$
f)
$\blacktriangleright$  Potenzwert berechnen und Ergebnis runden
$0,36^{-3}$
$= \dfrac{15.625}{729}$
$\approx 21,43$
g)
$\blacktriangleright$  Potenzwert berechnen und Ergebnis runden
$2,8^{-1}$
$= \dfrac{5}{14}$
$\approx 0,36$
h)
$\blacktriangleright$  Potenzwert berechnen und Ergebnis runden
$1,7^{-5}$
$= \dfrac{1.000}{4.913}$
$\approx 0,20$
i)
$\blacktriangleright$  Potenzwert berechnen und Ergebnis runden
$1,48^{-2}$
$= \dfrac{625}{1.369}$
$\approx 0,46$
j)
$\blacktriangleright$  Potenzwert berechnen und Ergebnis runden
$2,36^{-3}$
$\approx 0,08$

Aufgabe 4

Rechne zuerst die Potenzwerte aus, um vergleichen zu können!
a)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$4^{-3}\;$ $ \;3^{-4}$
$ $
$\frac{1}{64} \;$ $ \;\frac{1}{81}$
$ $
$\frac{1}{64} \;$ $>$$ \;\frac{1}{81}$
b)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$ 2^{-5} \;$ $ \; 5^{-2} $
$ $
$\frac{1}{32} \;$ $ \;\frac{1}{25}$
$ $
$\frac{1}{32} \;$ $<$$ \;\frac{1}{25}$
c)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$ 4^{-5} \;$ $ \; 5^{-4} $
$ $
$\frac{1}{1.024} \;$ $ \;\frac{1}{625}$
$ $
$\frac{1}{1.024} \;$ $<$$ \;\frac{1}{625}$
d)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$ 6^{-3} \;$ $ \; 2^{-6} $
$ $
$\frac{1}{216} \;$ $ \;\frac{1}{64}$
$ $
$\frac{1}{216} \;$ $<$$ \;\frac{1}{64}$
e)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$ 7^{-3} \;$ $ \; 8^{-2} $
$ $
$\frac{1}{343} \;$ $ \;\frac{1}{64}$
$ $
$\frac{1}{343} \;$ $<$$ \;\frac{1}{64}$
f)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$ 9^{-3} \;$ $ \; 4^{-8} $
$ $
$\frac{1}{729} \;$ $ \;\frac{1}{65.536}$
$ $
$\frac{1}{729} \;$ $>$$ \;\frac{1}{65.536}$
g)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$ 0,2^{-5} \;$ $ \; 5^5 $
$ $
$ 3.125 \;$ $ \;3.125$
$ $
$3.125 \;$ $=$$ \;3.125$
h)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$ 6^{-4} \;$ $ \; 36^{-2} $
$ $
$ \frac{1}{1.296} \;$ $ \;\frac{1}{1.296}$
$ $
$\frac{1}{1.296} \;$ $=$$ \;\frac{1}{1.296}$
i)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$ 0,6^{-2} \;$ $ \; 0,1^{-3} $
$ $
$ \frac{25}{9} \;$ $ \;1.000$
$ $
$\frac{25}{9} \;$ $<$$ \;1.000$
j)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$ 0,25^{-5} \;$ $ \; 32^2 $
$ $
$ 1.024 \;$ $ \;1.024$
$ $
$1.024 \;$ $=$$ \;1.024$

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Term umschreiben
$\dfrac{1}{a^2}$
$=a^{-2}$
b)
$\blacktriangleright$  Term umschreiben
$\dfrac{1}{b^3}$
$=b^{-3}$
c)
$\blacktriangleright$  Term umschreiben
$\dfrac{1}{c^5}$
$=c^{-5}$
d)
$\blacktriangleright$  Term umschreiben
$\dfrac{1}{d^9}$
$=d^{-9}$
e)
$\blacktriangleright$  Term umschreiben
$\dfrac{1}{e^x}$
$=e^{-x}$
f)
$\blacktriangleright$  Term umschreiben
$\dfrac{1}{f^y}$
$=f^{-y}$

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  Potenzschreibweise anwenden
$0,01$
$= \dfrac{1}{100}$
$= \dfrac{1}{10^2}$
$= 10^{-2}$
b)
$\blacktriangleright$  Potenzschreibweise anwenden
$0,0625$
$= \dfrac{625}{10.000}$
$= \dfrac{1}{16}$
$= \dfrac{1}{4^2}$
$= 4^{-2}$
c)
$\blacktriangleright$  Potenzschreibweise anwenden
$0,04$
$= \dfrac{4}{100}$
$= \dfrac{1}{25}$
$= \dfrac{1}{5^2}$
$= 5^{-2}$
d)
$\blacktriangleright$  Potenzschreibweise anwenden
$0,015625$
$= \dfrac{15.625}{1.000.000}$
$= \dfrac{1}{64}$
$= \dfrac{1}{8^2}$
$= 8^{-2}$
e)
$\blacktriangleright$  Potenzschreibweise anwenden
$0,5$
$= \dfrac{5}{10}$
$= \dfrac{1}{2}$
$= \dfrac{1}{2^1}$
$= 2^{-1}$
f)
$\blacktriangleright$  Potenzschreibweise anwenden
$0,125$
$= \dfrac{125}{1.000}$
$= \dfrac{1}{8}$
$= \dfrac{1}{2^3}$
$= 2^{-3}$
g)
$\blacktriangleright$  Potenzschreibweise anwenden
$0,008$
$= \dfrac{8}{1.000}$
$= \dfrac{1}{125}$
$= \dfrac{1}{5^3}$
$= 5^{-3}$
h)
$\blacktriangleright$  Potenzschreibweise anwenden
$0,001$
$= \dfrac{1}{1.000}$
$= \dfrac{1}{10^3}$
$= 10^{-3}$

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$  Als Potenz mit positivem Exponenten schreiben
$0,04^{-3}$
$= \dfrac{1}{0,04^3}$
$= 15.625 = \sqrt{15.625} = 125 $
$= 125^2$
b)
$\blacktriangleright$  Als Potenz mit positivem Exponenten schreiben
$0,03125^{-2}$
$= \dfrac{1}{0,03125^2}$
$= 1.024 = \sqrt{1.024} = 32 $
$= 32^2$
c)
$\blacktriangleright$  Als Potenz mit positivem Exponenten schreiben
$0,001^{-4}$
$= \dfrac{1}{0,001^4}$
$= 100.000.000 = \sqrt{100.000.000} = 10.000 $
$= 10.000^2$
d)
$\blacktriangleright$  Als Potenz mit positivem Exponenten schreiben
$0,008^{-2}$
$= \dfrac{1}{0,008^2}$
$= 15.625 = \sqrt{15.625} = 125 $
$= 125^2$
e)
$\blacktriangleright$  Als Potenz mit positivem Exponenten schreiben
$0,25^{-4}$
$= \dfrac{1}{0,25^4}$
$= 256 = \sqrt{256} = 16 $
$= 16^2$
f)
$\blacktriangleright$  Als Potenz mit positivem Exponenten schreiben
$0,0625^{-2}$
$= \dfrac{1}{0,0625^4}$
$= 256 = \sqrt{256} = 16 $
$= 16^2$

Aufgabe 8

Um die Lösung zu finden, ziehst du zuerst die Wurzel aus dem Nenner. Oft kannst du aus dem Ergebnis nochmal die Wurzel ziehen. Wenn du dieses Ergebnis jetzt mit dem zweifachen Exponenten des Ursprungsergebnisses potenzierst, erhältst du ein anderes mögliches Ergebnis.
a)
$\blacktriangleright$  Negative Potenzschreibweise anwenden
$\dfrac{1}{256}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{256}}$
$= \dfrac{1}{16^2} = 16^{-2}$
oder auch $= 4^{-4}$
b)
$\blacktriangleright$  Negative Potenzschreibweise anwenden
$\dfrac{1}{625}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{625}}$
$= \dfrac{1}{25^2} = 25^{-2}$
oder auch $= 5^{-4}$
c)
$\blacktriangleright$  Negative Potenzschreibweise anwenden
$\dfrac{1}{1.296}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{1.296}}$
$= \dfrac{1}{36^2} = 36^{-2}$
oder auch $= 6^{-4}$
d)
$\blacktriangleright$  Negative Potenzschreibweise anwenden
$\dfrac{1}{1.024}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{1.024}}$
$= \dfrac{1}{32^2} = 32^{-2}$
oder auch $= 2^{-5}$
e)
$\blacktriangleright$  Negative Potenzschreibweise anwenden
$\dfrac{1}{81}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{81}}$
$= \dfrac{1}{9^2} = 9^{-2}$
oder auch $= 3^{-4}$
f)
$\blacktriangleright$  Negative Potenzschreibweise anwenden
$\dfrac{1}{2.401}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{2.401}}$
$= \dfrac{1}{49^2} = 49^{-2}$
oder auch $= 7^{-4}$
g)
$\blacktriangleright$  Negative Potenzschreibweise anwenden
$\dfrac{1}{4096}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{4.096}}$
$= \dfrac{1}{64^2} = 64^{-2}$
oder auch $= 8^{-4}$
oder auch $= 2^{-12}$
h)
$\blacktriangleright$  Negative Potenzschreibweise anwenden
$\dfrac{1}{6.561}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{6.561}}$
$= \dfrac{1}{81^2} = 81^{-2}$
oder auch $= 9^{-4}$

Aufgabe 9

a)
$\blacktriangleright$  Rechnung lösen
$2^1 + 2^{-4} + 2^3 - 2^5 + 2^6$
$= 2 + \dfrac{1}{16} + 8 - 32 + 64$
$\approx 42,06$
b)
$\blacktriangleright$  Rechnung lösen
$3^5 - 3^{-1} + 3^{-2} - 3^{-3} - 3^2$
$= 243 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{27} - 9$
$\approx 233,74$
c)
$\blacktriangleright$  Rechnung lösen
$4^1 + 4^4 + 4^5 - 4^{-2} - 4^3 + 4^0$
$= 4 + 256 + 1024 - \dfrac{1}{16} - 64 +1$
$\approx 1220,94$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Rechnung lösen
$5^{-1} + 5^{-2} + 5^{-4} + 5^2 + 5^3 + 5^6$
$= \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{625} + 25 + 15.625$
$\approx 15.650,24$
$ ERGEBNIS $
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