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Einfache Potenzen

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Es gibt besondere Exponenten, für die einfache Rechenregeln gelten.
Für jede Zahl $a \neq 0$ gilt $a^0=1$
Was $0^0$ ergibt, ist eine umstrittene Frage. Man findet sowohl die Erklärung, dass $0^0$ nicht definiert ist, als auch, dass $0^0=1$ ist.
Für jede Zahl $a$ gilt außerdem: $a^1=a$.
Eine Zahl hoch $1$ ergibt also immer sich selbst.
Neben besonderen Exponenten gibt es auch besondere Basen.
  • Für $x \neq 0$ gilt: $0^x=0$
  • $1^x=1$ für alle $x$
Darüber hinaus gibt es noch eine Besonderheit bei negativen Basen:
  • Gerader Exponent: die negativen Vorzeichen heben sich beim Multiplizieren gegenseitig auf $\rightarrow$ das Ergebnis wird positiv
  • Ungerader Exponent: die negativen Vorzeichen heben sich beim Multiplizieren nicht alle auf $\rightarrow$ das Ergebnis wird negativ
Du kannst zum einfachen Rechnen die Potenz in ein Produkt umschreiben und dieses Stück für Stück ausrechnen. Dabei solltest du die oben genannten Sonderfälle immer im Hinterkopf haben und auf negative Vorzeichen achten.

Beispiel

Wir wollen die folgenden Potenzen berechnen: $0^4$; $248^0$ und $(-8)^4$.
$ \begin{array}{rcl} 0^4&=&0\cdot0\cdot0\cdot0\\[5pt] &=&0 \end{array} $
Eine Zahl hoch $0$ ergibt immer $1$.
$ \begin{array}{rcl} 248^0&=&1\\[5pt] \end{array} $
Achte darauf, wie sich die Vorzeichen gegenseitig aufheben.
$ \begin{array}{rcl} (-8)^4&=&(-8)\cdot(-8)\cdot(-8)\cdot(-8)\\[5pt] &=&64\cdot64\\[5pt] &=&4096 \end{array} $
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Aufgaben
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1.  Berechne die besonderen Hochzahlen und Basen.
a)  $10^0$ b)  $22^1$ c)  $1^0$
d)  $428^1$ e)  $1^428$ f)  $0^1$
g)  $0^428$ h)  $122^0$ i)  $122^1$
2.  Berechne die Potenzen mit negativer Basis. Achte dabei auf das Vorzeichen.
a)  $(-3)^2$ b)  $(-4)^3$ c)  $(-11)^2$
d)  $(-2)^7$ e)  $(-3)^4$ f)  $(-7)^2$
g)  $(-3)^3$ h)  $(-13)^2$ i)  $(-5)^3$
3.  Vereinfache die folgenden Ausdrücke soweit wie möglich.
a)  $x^0$ b)  $(-y)^3$ c)  $(-z)^2$
d)  $a^1$ e)  $(-k)^4$ f)  $(-1)^4$
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Lösungen
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1.  Potenzen berechnen
Eine Zahl hoch 0 ist immer 1. Eine Zahl hoch 1 entspricht immer der Zahl selbst. Damit kannst du nun die Potenzen ausrechnen.
a)  $10^0=1$ b)  $22^1=22$ c)  $1^0=1$
d)  $428^1=428$ e)  $1^428=1$ f)  $0^1=1$
g)  $0^428=0$ h)  $122^0=1$ i)  $122^1=122$
2.  Potenzen berechnen
Bei geraden Exponenten fällt beim Ausrechnen das Minus als Vorzeichen weg, da Minus mal Minus Plus ergibt. Bei ungeraden Exponenten hingegen heben sich die negativen Vorzeichen nicht alle gegenseitig weg, sodass ein Minus als Vorzeichen verbleibt.
a)  $(-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9$ b)  $(-4)^3=(-4)\cdot(-4)\cdot(-4)=-64$
c)  $(-11)^2=(-11)\cdot(-11)=121$ d)  $(-2)^7=-2^7=-128$
e)  $(-3)^4=3^4=81$ f)  $(-7)^2=(-7)\cdot(-7)=49$
g)  $(-3)^3=(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=-27$ h)  $(-13)^2=(-13)\cdot(-13)=169$
i)  $(-5)^3=(-5)\cdot(-5)\cdot(-5)=-125$
3.  Vereinfachen
Mit dem Wissen aus den vorherigen Aufgaben kannst du die nachfolgen Ausdrücke vereinfachen.
a)  $x^0=1$ b)  $(-y)^3=-y^3$ c)  $(-z)^2=z^2$
d)  $a^1=a$ e)  $(-k)^4=k^4$ f)  $(-1)^4=1$
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