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Abschreibung und Wertverlust

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Anschaffungskosten von Wirtschaftsgütern können verteilt auf die Nutzungsdauer steuermindernd geldend gemacht werden. Wenn sich ein Betrieb verschiedene Wirtschaftsgüter anschafft, kann er diese steuerlich geltend machen. Der Prozess wird Abschreibung genannt. Das Finanzamt gibt sogenannte Abschreibungszeiträume vor, damit nicht jeder unterschiedlich den Abschreibungszeitraum bestimmen kann.
Wachstum: Abschreibung und Wertverlust
Abb. 1: Lineare Abschreibung
Wachstum: Abschreibung und Wertverlust
Abb. 1: Lineare Abschreibung
b)
Ergänze die Tabelle bis zum sechsten Jahr.
JahrAbschreibungRestwert
0$0\;€$$18.000\;€$
1$3.000\;€$$15.000\;€$
2$3.000\;€$$12.000\;€$
JahrAbschrei-
bung
Restwert
0$0,00\;€$$18.000\;€$
1$3.000\;€$$15.000\;€$
2$3.000\;€$$12.000\;€$
Wachstum: Abschreibung und Wertverlust
Abb. 2: Degressive Abschreibung
Wachstum: Abschreibung und Wertverlust
Abb. 2: Degressive Abschreibung
d)
Führe die Tabelle bis zum sechsten Jahr fort.
JahrAbschreibungRestwert
0$0\;€$$18.000\;€$
1$3.600\;€$$14.400\;€$
2$2.88 \;€$$11.520\;€$
JahrAbschrei-
bung
Restwert
0$0\;€$$18.000\;€$
1$3.600\;€$$14.400\;€$
2$2.880\;€$$11.520\;€$
#degressiveabschreibung#lineareabschreibung

Aufgabe 1

Steuerberater raten ihren Kunden zu einer Mischform aus degressiver und linearer Abschreibung, um mehr Gewinn zu erzielen.
a)
Vergleiche die beiden Diagramme aus der Einführungsaufgabe und überlege, ab welchem Jahr der Wechsel von degressiver zu linearer Abschreibung sinnvoll ist.
b)
Berechne den Restwert nach zweijähriger degressiver Abschreibung. Berechne anschließend den Betrag der linearen Abschreibung vom vierten bis zum sechsten Jahr.
#degressiveabschreibung#lineareabschreibung

Aufgabe 2

Berechne den Restwert am Ende der Nutzungsdauer bei degressiver Abschreibung.
Wachstum: Abschreibung und Wertverlust
Abb. 3: Die Grillsaison ist im American Diner immer eröffnet!
Wachstum: Abschreibung und Wertverlust
Abb. 3: Die Grillsaison ist im American Diner immer eröffnet!
#degressiveabschreibung#lineareabschreibung

Aufgabe 3

Berechne den durchschnittlichen jährlichen Wertverlust in Prozent.
a)
Eine Abfüllmaschine für Parfümflaschen kostete $584.000$ $€$. Nach sechs Jahren hat sie nur noch einen Wert von $46.400$ $€$.
b)
Valeria kauft sich einen drei Jahre alten Roller für $1.300$ $€$. Neu hatte er $4.200$ $€$ gekostet.
c)
Der Wert eines Autos beträgt heute $9.100$ $€$. Das sind $30$ $\text{%}$ weniger als es beim Kauf vor drei Jahren kostete.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
[2]
© 2017 – SchulLV.
[3]
https://goo.gl/hKTVjA – Dat Carcinogen!, Guian Bolisay, CC BY-SA.
[4]
Public Domain.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Schaubild erklären
Das Schaubild zeigt ein Säulendiagramm. An der $x$-Achse liest du das Jahr ab, für welches die jeweiligen Werte gelten. An der $y$-Achse liest du den Betrag in $€$ ab. Es gibt zwei Kategorien an Säulen. Blau zeigt den Restwert an, also wie viel die Laserschneidemaschine zu einem bestimmten Zeitpunkt noch gekostet hat. Rot zeigt die Abschreibung an, also welcher Anteil vom Restwert jährlich abgeschrieben wurde. Dieser Betrag bleibt immer gleich, während sich der Restwert jährlich umd den Betrag der Abschreibung verringert. Es fällt auf, dass nach $5$ Jahren der Restbetrag und die Abschreibung genau gleich sind. Nach sechs Jahren beträgt der Restwert $0\;€$ und die Abschreibung $3.000\;€$, da die Abschreibung ja gleich bleibt (linear).
b)
$\blacktriangleright$  Tabelle ergänzen
Der Betrag der Abschreibung ist immer gleich, da eine lineare Abschreibung erfolgt. Der Restwert verringert sich jedes Jahr um den Betrag der Abschreibung, also subtrahierst du von dem vorangegangenen Restbetrag jeweils $3.000\;€$ pro Jahr.
JahrAbschrei-
bung
Restwert
0$0\;€$$18.000\;€$
1$3.000\;€$$15.000\;€$
2$3.000\;€$$12.000\;€$
3$3.000\;€$$9.000\;€$
4$3.000\;€$$6.000\;€$
5$3.000\;€$$3.000\;€$
6$3.000\;€$$0\;€$
c)
$\blacktriangleright$  Lineare und degressive Abschreibung vergleichen
Das Schaubild zeigt ein Säulendiagramm. An der $x$-Achse liest du das Jahr ab, für welches die jeweiligen Werte gelten. An der $y$-Achse liest du den Betrag in $€$ ab. Es gibt zwei Kategorien an Säulen. Blau zeigt den Restwert an, also wie viel die Laserschneidemaschine zu einem bestimmten Zeitpunkt noch gekostet hat. Rot zeigt die Abschreibung an, also welcher Anteil vom Restwert jährlich abgeschrieben wurde. Dieser Betrag richtet sich nach dem Restwert, da dieser sich jährlich um $20\;\text{%}$ verringert. Er ist also nie gleich, sondern nimmt jährlich ab. Bei der degressiven Abschreibung dauert es erheblich länger, den Restwert komplett abzuschreiben.
d)
$\blacktriangleright$  Tabelle ergänzen
Um den Restwert und die Abschreibung pro Jahr zu berechnen, kannst du den Anfangswert mit dem Prozentsatz $\left(\frac{20}{100}\right)$ multiplizieren. Das Ergebnis ist dann der Betrag der Abschreibung. Um den folgenden Restwert zu berechnen, musst du den errechneten Betrag der Abschreibung von dem Anfangswert subtrahieren.
JahrAbschrei-
bung
Restwert
0$0\;€$$18.000\;€$
1$3.600\;€$$14.400\;€$
2$2.880\;€$$11.520\;€$
3$2.304\;€$$9.216\;€$
4$1.843,20\;€$$7.372,80\;€$
5$1.474,56\;€$$5.898,24\;€$
6$1.179,60\;€$$4.718,59\;€$

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Diagramme vergleichen
Die Kurve des Diagrammes für lineare Abschreibung fällt immer um denselben Faktor. Sie nimmt also linear ab und schneidet die $x$-Achse im sechsten Jahr. Die Kurve des Diagrammes für degressive Abschreibung nimmt exponentiell ab. Das bedeutet, dass die Abnahmerate zu Beginn noch sehr hoch ist, aber dann immer kleiner wird. Die Kurve nähert sich der $x$-Achse also nur an, aber wird sie nicht schneiden.
Um festzustellen, ab wann ein Wechsel von degressiver zu lineare Abschreibung sinnvoll ist, kannst du die Tabellen betrachten, die du in der Einführungsaufgabe erstellt hast. Vergleiche, ab wann der Restwert bei linearer und degressiver Abschreibung ungefähr gleich ist. Das ist in diesem Fall nach dem zweiten Jahr, denn im dritten Jahr ist der Restwert der linearen Abschreibung geringer als der Restwert der degressiven Abschreibung.
b)
$\blacktriangleright$  Restwert berechnen
Du sollst den Restwert nach zwei Jahren bei degressiver Abschreibung berechnen. Da du wieder einen Anfangswert $K_0 = 18.000$, die Dauer $n = 2$, und die Abnahmerate $p = 20$ gegeben hast, kannst du die Werte in die Formel einsetzen, die du bereits aus dem Thema "Bevölkerungsabnahme" kennst. Berechne dann den Wert für $K_n$.
$\begin{array}[t]{rll} K_n&=& K_0 \cdot 18.000 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^n &\quad \\[5pt] K_2&=& 18.000 \cdot \left(1 - \dfrac{20}{100}\right)^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Wert in der Klammer} \\[5pt] &=& 18.000 \cdot (0,8)^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Potenzwert} \\[5pt] &=& 18.000 \cdot 0,64 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] &=& 11.520&\quad \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die jährlichen Restwerte berechnest du, indem du den Betrag der Abschreibung so lange von dem Wert für $K_2$ subtrahierst, bis das Ergebnis $0$ beträgt.
$\begin{array}[t]{rll} K_3 &=& 11.520 - 3.000 &\quad \\[5pt] &=& 8.520 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} K_4 &=& 8.520 - 3.000 &\quad \\[5pt] &=& 5.520 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} K_5 &=& 5.520 - 3.000 &\quad \\[5pt] &=& 2.520 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} K_6 &=& 2.520 - 3.000 &\quad \\[5pt] &=& -480 \end{array}$
Es dauert also etwas weniger als sechs Jahre, bis die Laserschneidemaschine vollständig abgeschrieben wurde.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Restwert berechnen
Nutze die Formel aus Aufgabe 1, um den Restwert nach $8$ Jahren Nutzungsdauer zu berechnen. Du hast die Werte $n = 8$, $p = 15$ und $K_0 = 28.500$. Setze sie in die Formel ein und berechne $K_n$.
$\begin{array}[t]{rll} K_n &=& K_0 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^n &\quad \\[5pt] K_8 &=& 28.500 \cdot \left(1 - \dfrac{15}{100}\right)^8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Wert in der Klammer} \\[5pt] &=& 28.500 \cdot (0,85)^8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Potenzwert} \\[5pt] &\approx& 28.500 \cdot 0,27 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] &=& 7.695 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Nach $8$ Jahren beträgt der Restwert des Autos noch $7.695\;€$.
b)
$\blacktriangleright$  Restwert berechnen
Nutze die Formel aus Aufgabe 1, um den Restwert nach $8$ Jahren Nutzungsdauer zu berechnen. Du hast die Werte $n = 8$, $p = 31$ und $K_0 = 1.200$. Setze sie in die Formel ein und berechne $K_n$.
$\begin{array}[t]{rll} K_n &=& K_0 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^n &\quad \\[5pt] K_8 &=& 1.200 \cdot \left(1 - \dfrac{31}{100}\right)^8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Wert in der Klammer} \\[5pt] &=& 1.200 \cdot (0,69)^8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Potenzwert} \\[5pt] &\approx& 1.200 \cdot 0,05 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] &=& 60 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Nach $8$ Jahren beträgt der Restwert des Grills noch $80\;€$.
c)
$\blacktriangleright$  Restwert berechnen
Du sollst den Restwert nach fünf Jahren degressiver Abschreibung und drei Jahren linearer Abschreibung berechnen. Berechne also den Restwert nach fünf Jahren. Das Ergebnis verwendest du dann, um den Restwert nach drei Jahren linearer Abschreibung zu berechnen. Berechne zuerst $K_5$. Du hast die Werte $K_0 = 28.500$, $n= 5$ und $p = 15$ gegeben. Setze die Werte in die Formel aus Aufgabe 1 und berechne $K_5$.
$\begin{array}[t]{rll} K_n &=& K_0 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^n &\quad \\[5pt] K_5 &=& 28.500 \cdot \left(1 - \dfrac{15}{100}\right)^8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Wert in der Klammer} \\[5pt] &=& 28.500 \cdot (0,85)^5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Potenzwert} \\[5pt] &\approx& 28.500 \cdot 0,44 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] &=& 12.540 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Nach $5$ Jahren beträgt der Restwert des Autos noch $12.540\;€$. Verwende diesen Wert, um den Restwert nach drei Jahren linearer Abschreibung zu berechnen. Hierzu musst du das Ergebnis durch die restlichen drei Jahre Nutzungsdauer teilen.
$\begin{array}[t]{rll} 12.540 : 3 &=& 4.180 \end{array}$
Jetzt subtrahierst du $3.562,50$ von $K_5$ und wiederholst den Vorgang insgesamt drei Mal, weil du den Restwert nach drei weiteren Jahren berechnen willst.
$\begin{array}[t]{rll} K_6 &=& 12.540 - 4.180&\quad \\[5pt] &=& 8.360 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} K_7 &=& 8.360 - 4.180&\quad \\[5pt] &=& 4180 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} K_8 &=& 4180 - 4180&\quad \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
Nach $5$ Jahren degressiver Abschreibung und $3$ Jahren linearer Abschreibung beträgt der Restwert $0\;€$.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Wertverlust berechnen
Du sollst den jährlichen Wertverlust $p$ in Prozent berechnen. Gegeben sind die Werte $K_0 = 584.000$, $K_6 = 46.400$ und $n =6$. Du kannst sie in die Formel aus Aufgabe 1 einsetzen und dann nach $p$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} K_n&=& K_0 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^n &\quad \\[5pt] 46.400 &=& 584.000 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^6 &\quad \scriptsize \mid\; :584.000\\[5pt] 0,079 &\approx& \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^6 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[6]{\,}\\[5pt] 0,655 &\approx& 1 - \dfrac{p}{100} &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -0,345 &=& - \dfrac{p}{100} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-100)\\[5pt] 34,5&=& p \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Der Wertverlust beträgt jährlich $34,5\;\text{%}$.
b)
$\blacktriangleright$  Wertverlust berechnen
Du sollst den jährlichen Wertverlust $p$ in Prozent berechnen. Gegeben sind die Werte $K_0 = 4.200$, $K_3 = 1.300$ und $n =3$. Du kannst sie in die Formel aus Aufgabe 1 einsetzen und dann nach $p$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} K_n&=& K_0 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^n &\quad \\[5pt] 1.300 &=& 4.200 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^3 &\quad \scriptsize \mid\; :4.200\\[5pt] 0,310 &\approx& \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\,}\\[5pt] 0,677 &\approx& 1 - \dfrac{p}{100} &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -0,323 &=& - \dfrac{p}{100} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-100)\\[5pt] 32,3&=& p \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Der Wertverlust beträgt jährlich $32,3\;\text{%}$.
c)
$\blacktriangleright$  Wertverlust berechnen
Du sollst den jährlichen Wertverlust $p$ in Prozent berechnen. Gegeben sind die Werte $K_3 = 9.100$ und $n =3$. Außerdem weißt du, dass das Auto vor $3$ Jahren $30\;\text{%}$ mehr gekostet hat. Das ist also $K_0$. Du kannst $K_0$ berechnen, indem du $K_3$ mit dem Prozentsatz $\frac{30}{100}$ multiplizierst und das Ergebnis dann mit $K_3$ addierst.
$\begin{array}[t]{rll} K_0&=& \left(K_3 \cdot \dfrac{30}{100}\right) + K_3 &\quad \\[5pt] &=& \left(9.100 \cdot \dfrac{30}{100}\right) + 9.100 &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Wert in der Klammer}\\[5pt] &=& 2.730 + 9.100 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] &=& 11.830 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$K_0$ beträgt also $11.830\;€$. Jetzt kannst du $K_0$, $K_3$, und $n$ in die Formel aus Aufgabe 1 einsetzen und dann nach $p$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} K_n&=& K_0 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^n &\quad \\[5pt] 9.100 &=& 11.830 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^3 &\quad \scriptsize \mid\; :11.830\\[5pt] 0,769 &\approx& \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\,}\\[5pt] 0,916 &\approx& 1 - \dfrac{p}{100} &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -0,084 &=& - \dfrac{p}{100} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-100)\\[5pt] 8,4&=& p \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Der Wertverlust beträgt jährlich $8,4\;\text{%}$.
#degressiveabschreibung
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