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Bevölkerungsabnahme

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

JahrBevölkerung
Europas
0$36$
200$67$
700$27$
1000$42$
1300$73$
1350$51$
1400$45$
1450$60$

Aufgabe 1

Wachstum: Bevölkerungsabnahme
Abb. 1: Die Pest raffte im Spätmittelalter mehrere Millionen Menschen dahin.
Wachstum: Bevölkerungsabnahme
Abb. 1: Die Pest raffte im Spätmittelalter mehrere Millionen Menschen dahin.

Aufgabe 2

a)
Im Jahr 2089 bricht eine Zombie-Apokalypse aus. Der Biss eines Zombies ist hoch infektiös und überträgt das Zombie-Gen innerhalb weniger Sekunden. Pro Jahr werden $21$ $\text{%}$ der gesunden Bevölkerung infiziert. Nach $10$ Jahren leben noch $0,86$ Mrd. nicht infizierte Menschen. Berechne, wie viele Menschen im Jahr 2089 auf der Erde lebten.
b)
Wissenschaftler gehen davon aus, dass im Jahr 3005 nur noch $3,5$ Mio. nicht infizierte Menschen auf der Erde leben. Durch erhöhte Sicherheitsvorkehrungen wurde die Abnahmerate von den bisherigen $21$ auf $3$ $\text{%}$ reduziert. Berechne, wie viele Menschen im Jahr 3010 noch leben.

Aufgabe 3

Wachstum: Bevölkerungsabnahme
Abb. 3: Der Inferno-Virus endet tödlich!
Wachstum: Bevölkerungsabnahme
Abb. 3: Der Inferno-Virus endet tödlich!
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
[2]
Public Domain.
[3]
https://goo.gl/0gESu3 – Chikungunya virus, microbiologybytes, CC BY-SA.
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Feststellung beschreiben
Die Bevölkerung Europas ist seit dem Jahr 0 bis 1450 stetig gewachsen. Sie hat sich fast verdoppelt. Allerdings gab es zwei gravierende Abnahmezeiträume. Im Jahr 200 lebten noch $67$ Mio. Menschen in Europa. 500 Jahre später lebten nur noch $27$ Mio. Menschen in Europa. Der zweite Einschnitt fand ab dem Jahr 1300 statt. Hier reduzierte sich die Bevölkerung innerhalb eines Jahrhunderts um $28$ Mio. Menschen.
b)
$\blacktriangleright$  Formel für Abnahmerate überlegen
Das Gegenteil der Abnahmerate ist die Wachstumsrate. Du kennst bereits die Wachstumsformel. Sie lautet:
$K_n = K_0 \cdot q^n$
$K_n = K_0 \cdot q^n$
Auch wenn die Bevölkerungszahl abnimmt, sind die Werte $K_n$, $K_0$ und $n$ gleich. Nur der Abnahmefaktor $q$ wird anders berechnet als der Wachstumsfaktor $q$. Den Wachstumsfaktor $q$ berechnest du mit folgender Formel:
$q = \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$
$q = \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$
Wie kannst du jetzt allerdings den Abnahmefaktor berechnen? Das Bevölkerungswachstum steigt jährlich. Deswegen wird in der Klammer immer mit $1$ addiert. Wenn die Bevölkerung aber jährlich abnimmt, muss in der Klammer von $1$ subtrahiert werden. Die Formel für den Abnahmefaktor $q$ lautet also:
$q = \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$
$q = \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$
$\blacktriangleright$  Abnahmerate für Zeitraum 200 - 700 berechnen
Du hast bereits die Formel für die Bevölkerungsabnahme hergeleitet. Für $K_0$ verwendest du den Wert vom Jahr 200. Der Zeitraum $n$ beträgt $500$ Jahre, da der nächste dir bekannte Wert erst im Jahr 700 liegt. Dir ist also auch $K_{500}$ bekannt. Jetzt kannst du die Werte in die Formel einsetzen und nach $p$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} K_n &=& K_0 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^n \\[5pt] 27 &=& 67 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^{500} &\quad \scriptsize \mid\; :67 \\[5pt] 0,403 &\approx& \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^{500} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[500]{\,}\\[5pt] 0,998 &\approx& 1 - \dfrac{p}{100} &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -0,002 &=& - \dfrac{p}{100} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-100) \\[5pt] 0,2 &=& p \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Abnahmerate für den Zeitraum 200 - 700 beträgt $0,2$ $\text{%}$.
#abklingprozesse

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Abnahmerate berechnen
Du sollst die Abnahmerate für den Zeitraum 1300 - 1350 berechnen. Gegeben sind die Werte $K_0 = 73$ und $K_{50} = 51$ und der Zeitraum $n = 50$. Du kannst die Werte in die Formel einsetzen, die du in der Einführungsaufgabe erstellt hast. Löse dann nach $p$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} K_n&=& K_0 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^n &\quad \\[5pt] 51 &=& 73 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^{50} &\quad \scriptsize \mid\; :73 \\[5pt] 0,699 &\approx& \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^{50} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[50]{\,}\\[5pt] 0,993 &\approx& 1 - \dfrac{p}{100} &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -0,007 &=& - \dfrac{p}{100} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-100) \\[5pt] 0,7 &=& p \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Abnahmerate für den Zeitraum 1300 - 1350 beträgt $0,7$ $\text{%}$.
Jetzt sollst du die Abnahmerate für den Zeitraum 1350 - 1400 berechnen. Gegeben sind die Werte $K_0 = 51$ und $K_{50} = 45$ und der Zeitraum $n = 50$. Du kannst die Werte in die Formel einsetzen, die du in der Einführungsaufgabe erstellt hast. Löse dann nach $p$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} K_n&=& K_0 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^n &\quad \\[5pt] 45 &=& 51 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^{50} &\quad \scriptsize \mid\; :51 \\[5pt] 0,882 &\approx& \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^{50} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[50]{\,}\\[5pt] 0,997 &\approx& 1 - \dfrac{p}{100} &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -0,003 &=& - \dfrac{p}{100} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-100) \\[5pt] 0,3 &=& p \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Abnahmerate für den Zeitraum 1350 - 1400 beträgt $0,3$ $\text{%}$.
b)
$\blacktriangleright$  $K_n$ berechnen
Du sollst die Einwohnerzahl im Jahr 1350, also $K_n$ berechnen. Gegeben sind die Werte $K_0 = 73$, die Abnahmerate $p = 53$ und der Zeitraum $n = 50$. Setze die Werte in die Formel aus der Einführungsaufgabe ein und berechne $K_n$.
$\begin{array}[t]{rll} K_n &=& K_0 \cdot \left(1- \dfrac{p}{100}\right)^{50} &\quad \\[5pt] &=& 73 \cdot \left(1- \dfrac{5}{100}\right)^{50} &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Wert in der Klammer} \\[5pt] &=& 73 \cdot 0,95^{50}&\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Potenzwert} \\[5pt] &\approx& 73 \cdot 0,077 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] &\approx& 5,6 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Im Jahr 1350 würden also nur noch $5,6$ Mio. Menschen leben.
Jetzt sollst du die Einwohnerzahl im Jahr 1350 berechnen, wenn $p$ nur $1$ $\text{%}$ beträgt. Gegeben sind die Werte $K_0 = 73$, die Abnahmerate $p = 1$ und der Zeitraum $n = 50$. Setze die Werte in die Formel aus der Einführungsaufgabe ein und berechne $K_n$.
$\begin{array}[t]{rll} K_n &=& K_0 \cdot \left(1- \dfrac{p}{100}\right)^{50} &\quad \\[5pt] &=& 73 \cdot \left(1- \dfrac{1}{100}\right)^{50} &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Wert in der Klammer} \\[5pt] &=& 73 \cdot 0,99^{50}&\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Potenzwert} \\[5pt] &\approx& 73 \cdot 0,605 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] &\approx& 44,2 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Im Jahr 1350 würden also noch $44,2$ Mio. Menschen leben.
#abklingprozesse

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Du sollst den Anfangswert $K_0$ berechnen. Gegeben sind die Werte $K_{10} = 0,86$, die Abnahmerate $p = 21$ und das Zeitintervall $10$ Jahre. Jetzt kannst du die Werte in die Formel einsetzen und nach $K_0$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} K_n &=& K_0 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^n &\quad \\[5pt] 0,83 &=& K_0 \cdot \left( 1 - \dfrac{21}{100}\right)^{10} &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Wert in der Klammer} \\[5pt] 0,83 &=& K_0 \cdot (0,79)^{10} &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Potenzwert} \\[5pt] 0,83 &\approx& K_0 \cdot 0,095 &\quad \scriptsize \mid\; : 0,095 \\[5pt] 8,74 &\approx& K_0 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Im Jahr 2089 haben $8,74$ Mrd. Menschen auf der Erde gelebt.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Du sollst den Endwert $K_5$ berechnen. Gegeben sind die Werte $K_0 = 3,5$ Mio., die Abnahmerate $p = 3$ und der Zeitraum $n = 5$ Jahre. Diese Werte kannst du in die Formel einsetzen und dann nach $K_5$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} K_n &=& K_0 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^n &\quad \\[5pt] K_5 &=& 3,5 \cdot \left( 1 - \dfrac{3}{100}\right)^5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Wert in der Klammer} \\[5pt] &=& 3,5 \cdot (0,97)^5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Potenzwert} \\[5pt] &\approx& 3,5 \cdot 0,859 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] &\approx& 3,007 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Im Jahr 3010 leben noch $3,007$ Mio. Menschen auf der Erde.
#abklingprozesse

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Dauer berechnen
Du sollst berechnen, wie viele Jahre es dauert, bis nur noch ein einziger Mensch auf der Erde übrig ist. Du sollst also die Dauer $n$ bestimmen. Gegeben sind die Werte $K_0 = 8,6$ Mrd., den Endwert $K_n = 1$ und die Abnahmerate $p = 32$. Beachte, dass du $8,6$ Mrd. ausschreibst, also $8.600.000.000$. Setze die Werte in die Formel ein und löse nach $n$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} K_n &=& K_0 \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^n &\quad \\[5pt] 1 &=& 8.600.000.000 \cdot \left(1 - \dfrac{32}{100}\right)^n &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Wert in der Klammer} \\[5pt] 1 &=& 8.600.000.000 \cdot (0,68)^n &\quad \scriptsize \mid\; : 8.600.000.000\\[5pt] 0,0000000001162791 &\approx& 0,68^n &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] \log_{0,68} \, 0,0000000001162791 &=& n &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne} \\[5pt] 59,31 &\approx& n \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Es würde $59,31$ Jahre dauern, bis nur noch ein Mensch auf der Erde leben würde.
#abklingprozesse
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