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Umkehrung

Spickzettel
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Um Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen zu bestimmen, musst du die entsprechende Wurzel ziehen. Die Wurzelfunktionen sind deswegen die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen. Gehe in folgenden Schritten vor, um die Umkehrfunktion aufzustellen:
  • $ y=f(x)$ nach $ x$ auflösen
  • Du erhältst eine Funktionsgleichung der Form $\quad x=f^{-1}(y)$
  • vertausche nun $x$ und $y$
  • Es ergibt sich die Umkehrfunktion $ \quad y=f^{-1}(x)$
#umkehrfunktion
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne die Funktion $f(x)=x^2$ im Bereich $0\leq x \leq 4$ in ein Koordinatensystem. Bestimme die Definitions- und Wertemenge der Funktion.
b)
Bestimme die Umkehrfunktion von $f$, indem du in der Funktionsgleichung $x$ und $y$ vertauschst und anschließend die Formel nach $y$ auflöst.
Achtung: Wenn du bei der Umformung die Wurzel ziehst, dann kannst du zwei verschiedene Ergebnisse erhalten: Das positive und das negative Ergebnis. Entscheide dich für eines der Ergebnisse.
c)
Zeichne die Umkehrfunktion aus Aufgabenteil b) in das Koordinatensystem aus Aufgabenteil a) und bestimme die Definitions- und Wertemenge. Was fällt dir auf, wenn du Definitions- und Wertemengen der beiden Funktionen vergleichst?
#umkehrfunktion#wertebereich#definitionsbereich

Aufgabe 1

Bestimme die Gleichung der Umkehrfunktion, sowie den Definitions- und Wertebereich der beiden Funktionen.
b)
$f(x)=2x^2-4$
d)
$f(x)=\sqrt[3]{x-27}$
f)
$f(x)=\sqrt[5]{x^3+8}$
#umkehrfunktion#definitionsbereich#wertebereich

Aufgabe 2

Beantworte anhand der gegebenen Informationen die Frage über die Funktion.
a)
Die Umkehrfunktion verläuft auf der $I.$ Winkelhalbierenden. Wie lautet die Funktionsgleichung der Funktion?
b)
Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion lautet $\mathbb{D}=\{x\mid x\geq0\}$. Verläuft der Graph der Funktion über oder unterhalb der $x$-Achse?
c)
Der Punkt $P\,(3\mid 1)$ liegt auf dem Graphen der Umkehrfunktion. Wie lauten die Koordinaten eines Punktes, der definitiv auf dem Graphen der Funktion liegen?
d)
In der Funktionsgleichung der Umkehrfunktion steht unter der Wurzel der Ausdruck $x-3$. Welche Potenz hat der Ausdruck mit $x$ in der Funktionsgleichung der Funktion?
#umkehrfunktion

Aufgabe 3

Potenzen und Potenzfunktionen: Umkehrung
Abb. 1: Die BASF ist das größte Chemieunternehmen der Welt.
Potenzen und Potenzfunktionen: Umkehrung
Abb. 1: Die BASF ist das größte Chemieunternehmen der Welt.
Ein Produktzweig ist die Herrstellung von Kunststoffgranulat. Das sind kleine Kugeln aus Plastik, die als Rohstoff unter anderem für die Herstellung des legendären Legosteins verwendet werden. Dieses Kunststoffgranulat kann man aus verschiedenen Arten von Plastik herstellen. Die verschiedenen Kunststoffgranulate unterscheiden sich in ihrer Dichte und anderen Eigenschaften. Die Dichte von Polyamidgranulat beträgt z.B. $1,13\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}}^3$, während Polypropylengranulat nur eine Dichte von $0,946\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}}^3$ hat. Es gibt aber auch noch Granulate mit höheren Dichten, wie z.B. Polytetrafluorethylengranulat, das eine Dichte von $2,2\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}}^3$ besitzt.
a)
In welchem Zusammenhang steht die Masse einer Kugel mit der Dichte und dem Radius einer Kugel? Die Formel für die Dichte eines Stoffes lautet $\rho=\dfrac{m}{V}$.
b)
Zeichne den Verlauf der Masse eines Kunststoffgranulatkügelchens in Abhängigkeit vom Radius des Granulats für jedes der drei genannten Polymere in das gleiche Koordinatensystem für $0,1\,\text{cm}\leq r\leq 0,5\,\text{cm}$.
c)
Welchen Radius hat ein Kunststoffgranulatkügelchen aus Polyamid, wenn es $350\,\text{mg}$ schwer ist? Welchen Radius hätten Granulatkügelchen, die gleich schwer sind, aber aus Polypropylen bzw. Polytetrafluorethylen gefertigt sind?
#kugel
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://goo.gl/xgomms – BASF-Logo bw.svg, © BASF.
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne die Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem. Deine Zeichnung sollte so aussehen:
Bestimme nun den Definitions- und Wertebereich der Funktion. Der Definitionsbereich umfasst alle Zahlen, die du in die Funktion einsetzen kannst, ohne dabei eine falsche Aussage zu bekommen, wie z.B. eine negative Zahl unter der Wurzel. Überlege dir, für welche Zahlen von $x$ die Funktion einen negativen Ausdruck unter der Wurzel hätte oder du durch $0$ teilen würdest.
Da die Funktion keine Brüche oder Wurzeln enthält, darfst du alle reellen Zahlen in die Funktion einsetzen. Der Definitionsbereich lautet also $\mathbb{D}=\mathbb{R}$.
Der Wertebereich umfasst alle Zahlen, die du als Ergebnis der Funktion erhalten kannst. Überlege dir, welche Werte du bei der Funktion erhalten kannst. Gibt es bestimmte Zahlen, die du z.B. aufgrund der Potenz nicht erhalten kannst?
Da du die Potenz $x^2$ hast, kannst du keine negativen Zahlen erhalten. Wenn du eine negative Zahl für $x$ einsetzt, dann verschwindet das $-$ beim Potenzieren. Du kannst also nur Zahlen die größer oder gleich $0$ sind erhalten. Der Wertebereich lautet also $\mathbb{W}=\{x\mid x\geq0\}$.
b)
Bestimme die Gleichung der Umkehrfunktion $f^{-1}$, in dem du wie in der Aufgabenstellung gefordert vorgehst. Vertausche die beiden Variablen und löse dann nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Variablen tauschen}\\[5pt] x&=&y^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] \sqrt{x}&=&y\\[5pt] \end{array}$
$ y=\sqrt{x} $
Die Gleichung der Umkehrfunktion von $f$ lautet $f^{-1}=\sqrt{x}$. Hierbei wurde das positive Ergebnis benutzt. Das negative Ergebnis wäre $f^{-1}=-\sqrt{x}$.
c)
Zeichne den Graphen der Funktion, die du in Aufgabenteil b) berechnet hast, in das Koordinatensystem aus Aufgabenteil a). Deine Zeichnung sollte so aussehen:
Hier ist das positive Ergebnis eingezeichnet worden. Wenn du das negative Ergebnis einzeichnen würdest, dann wäre die Funktion in der Abbildung an der $x$-Achse gespiegelt.
Überlege dir nun, wie in Aufgabenteil b), wie der Definitions- und Wertebereich der Funktion lautet.
Wenn du eine negative Zahl in die Funktionsgleichung einsetzt, dann erhältst du eine negative Zahl unter der Wurzel. Der Definitionsbereich lautet demnach $\mathbb{D}=\{x\mid x\geq0\}$.
Du erhältst bei der Funktionsgleichung nur positive bzw. negative Ergebnisse. Das Ergebnis der Wurzel ist immer positive und je größer die Zahl ist, die du einsetzt, desto größer ist der Wert nach dem Wurzelziehen. Wenn du das positive Ergebnis hast, dann bleiben die Werte positiv. Die Wertemenge lautet demnach $\mathbb{W}=\{x\mid x\geq0\}$. Wenn du das negative Ergebnis hast, dann wird der Wert immer negativ. Die Wertemenge lautet demnach $\mathbb{W}=\{x\mid x\leq0\}$. Da beide Funktionen zur Umkehrfunktion gehören, würde der Wertebereich der beiden Funktionen vereint $\mathbb{W}=\mathbb{R}$ lauten.
Vergleiche nun die Definitions- und Wertebereiche der Funktion und der Umkehrfunktion. Was fällt dir auf?
Der Definitionsbereich der Funktion und der Wertebereich der Umkehrfunktion sind identisch. Das gleiche gilt für den Wertebereich der Funktion und den Definitionsbereich der Umkehrfunktion.
Wenn du eine Funktion umkehrst, dann spiegelst du ihren Graphen an der $I.$ Winkelhalbierenden, also der Funktion $y=x$. Dabei vertauschen sich auch Definitions- und Wertebereich. Du kannst also einfach auf diese Bereiche der Funktion bzw. der Umkehrfunktion schließen, wenn du die Bereiche einer Funktion kennst. Der Definitionsbereich der Funktion wird zum Wertebereich der Umkehrfunktion und der Wertebereich der Funktion wird zum Definitionsbereich der Umkehrfunktion.
#intervall#umkehrfunktion#wertebereich#definitionsbereich

Aufgabe 1

Bestimme die Gleichung der Umkehrfunktion, indem du die Variablen vertauschst und anschließend nach $y$ auflöst. Wenn du eine Wurzel ziehst, dann gib nur eines der möglichen Ergebnisse an. Bestimme anschließend den Definitions- und Wertebereich der beiden Funktionen. Überlege dir für den Definitionsbereich, wann die Funktion einen negativen Wert unter der Wurzel hat oder wann du durch $0$ teilst. Überlege dir für den Wertebereich, welche Zahlen als Ergebnis auftreten können, wenn du die Zahlen des Definitionsbereichs in die Funktion einsetzt.
Du kannst dir deine Beobachtung aus Aufgabenteil c) aus der Einführungsaufgabe zu nutze machen. Wenn du eine Funktion umkehrst, dann vertauschen sich auch der Definitions- und Wertebereich. Sei jedoch vorsichtig bei Wurzelfunktionen, da du nur eine Hälfte der Umkehrfunktion angibst.
a)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^3+1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Variablen tauschen}\\[5pt] x&=&y^3+1 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] x-1&=&y^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\,}\\[5pt] \sqrt[3]{x-1}&=&y\\[5pt] \end{array}$
$ \sqrt[3]{x-1} $
Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion lautet $f^{-1}=\sqrt[3]{x-1}$.
Der Definitionsbereich der Funktion bzw. der Wertebereich der Umkehrfunktion lauten $\mathbb{D}_{f}=\mathbb{W}_{f-1}=\mathbb{R}$.
Der Wertebereich der Funktion bzw. der Definitionsbereich der Umkehrfunktion lauten $\mathbb{W}_{f}=\mathbb{D}_{f-1}=\mathbb{R}$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2x^2-4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Variablen tauschen}\\[5pt] x&=&2y^2-4 &\quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt] x+4&=&2y^2 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] \dfrac{x}{2}+2&=&y^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] \sqrt{\dfrac{x}{2}+2}&=&y\\[5pt] \end{array}$
$ y=\sqrt{\dfrac{x}{2}+2} $
Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion lautet $f^{-1}=\sqrt{\dfrac{x}{2}+2}$.
Der Definitionsbereich der Funktion lautet $\mathbb{D}_{f}=\mathbb{R}$.
Der Wertebereich der Umkehrfunktion lautet $\mathbb{W}_{f-1}=\{x\mid x\geq0\}$.
Der Wertebereich der Funktion bzw. der Definitionsbereich der Umkehrfunktion lauten $\mathbb{W}_{f}=\mathbb{D}_{f-1}=\{x\mid x\geq-4\}$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\sqrt{2-x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Variablen tauschen}\\[5pt] x&=&\sqrt{2-y}&\quad \scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] x^2&=&2-y &\quad \scriptsize \mid\; +y;\,-x^2\\[5pt] y&=&-x^2+2\\[5pt] \end{array}$
$ y=-x^2+2 $
Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion lautet $f^{-1}=-x^2+2$.
Der Definitionsbereich der Funktion bzw. der Wertebereich der Umkehrfunktion lauten $\mathbb{D}_{f}=\mathbb{W}_{f-1}=\{x\mid x\leq2\}$.
Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion lautet $\mathbb{W}_{f-1}=\mathbb{R}$.
Der Wertebereich der Funktion lautet $\mathbb{W}_{f}=\{x\mid x\geq0\}$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\sqrt[3]{x-27} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Variablen tauschen}\\[5pt] x&=&\sqrt[3]{y-27}&\quad \scriptsize \mid\; ^3\\[5pt] x^3&=&y-27&\quad \scriptsize \mid\; +27\\[5pt] x^3+27&=&y\\[5pt] \end{array}$
$ y=x^3+27 $
Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion lautet $f^{-1}=x^3+27$.
Der Definitionsbereich der Funktion bzw. der Wertebereich der Umkehrfunktion lauten $\mathbb{D}_{f}=\mathbb{W}_{f-1}=\mathbb{R}$.
Der Wertebereich der Funktion bzw. der Definitionsbereich der Umkehrfunktion lauten $\mathbb{W}_{f}=\mathbb{D}_{f-1}=\mathbb{R}$.
e)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2+2x+1 &\quad \scriptsize \mid\; 1.\,\text{binomische Formel}\\[5pt] y&=&(x+1)^2&\quad \scriptsize \mid\; \text{Variablen tauschen}\\[5pt] x&=&(y+1)^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] \sqrt{x}&=&y+1&\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] \sqrt{x}-1&=&y\\[5pt] \end{array}$
$ y=\sqrt{x}-1 $
Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion lautet $f^{-1}=\sqrt{x}-1$.
Der Definitionsbereich der Funktion lautet $\mathbb{D}_{f}=\mathbb{R}$.
Der Wertebereich der Umkehrfunktion lautet $\mathbb{W}_{f-1}=\{x\mid x\geq-1\}$.
Der Wertebereich der Funktion lautet $\mathbb{W}_{f}=\{x\mid x\geq1\}$.
Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion lautet $\mathbb{D}_{f-1}=\{x\mid x\geq0\}$.
f)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\sqrt[5]{x^3+8} &\quad \scriptsize \mid\; \,\text{Variablen tauschen}\\[5pt] x&=&\sqrt[5]{y^3+8} &\quad \scriptsize \mid\; ^5\\[5pt] x^5&=&y^3+8 &\quad \scriptsize \mid\; -32\\[5pt] x^5-8&=&y^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\,}\\[5pt] \sqrt[3]{x^5-8}&=&y \\[5pt] \end{array}$
$ y=\sqrt[3]{x^5-8} $
Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion lautet $f^{-1}=\sqrt[3]{x^5-8}$.
Der Definitionsbereich der Funktion bzw. der Wertebereich der Umkehrfunktion lauten $\mathbb{D}_{f}=\mathbb{W}_{f-1}=\mathbb{R}$.
Der Wertebereich der Funktion bzw. der Definitionsbereich der Umkehrfunktion lauten $\mathbb{W}_{f}=\mathbb{D}_{f-1}=\mathbb{R}$.
#wertebereich#integral#definitionsbereich#umkehrfunktion

Aufgabe 2

Überlege dir, in welcher Beziehung eine Funktion zu einer Umkehrfunktion steht. Lies anschließend die Fragestellungen und überlege dir, wie du mithilfe dieser Beziehungen die Fragen beantworten kannst.
a)
Die Umkehrfunktion verläuft auf der $I.$ Winkelhalbierenden. Diese hat die Gleichung $y=x$. Da die Umkehrfunktion und die Winkelhalbierende identisch sind, ist das auch die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion. Jetzt kannst du die Funktionsgleichung der Funktion bestimmen, indem du die Variablen vertauscht. Dadurch kommst du auf $x=y$. Die Funktionsgleichung der Funktion ist also identisch zu der der Umkehrfunktion und der der $I.$ Winkelhalbierenden. Sie lautet $f(x)=x$.
b)
Du kennst den Definitionsbereich der Umkehrfunktion. Dieser ist identisch zum Wertebereich der Funktion, also lautet er $\mathbb{W}=\{x\mid x\geq0\}$. Der Wertebereich entspricht den Funktionswerten, die die Funktion annehmen kann, also dem $y$-Wert. Ist dieser Wert positiv, dann verläuft der Graph der Funktion oberhalb der $x$-Achse. Das ist hier der Fall. Der Graph der Funktion verläuft also oberhalb der $x$-Achse.
c)
Wenn du die Umkehrung einer Funktion durchführst, dann spiegelst du ihren Graph an der $I.$ Winkelhalbierenden. Du kennst bereits einen Punkt des Graphens der Umkehrfunktion. Wenn du diesen Punkt an der Winkelhalbierenden spiegelst, dann erhältst du die Koordinaten eines Punkts, der auf dem Graphen der Funktion liegt. Um einen Punkt an der $I.$ Winkelhalbierenden zu spiegeln, musst du nur seine $x$- und $y$-Koordinaten vertauschen. Der Punkt $P_f\,(1\mid3)$ liegt also definitiv auf dem Graphen der Funktion.
d)
Bei dieser Aufgabe sind Erfahrungen aus Aufgabe 1 nützlich. Alternativ kannst du dir aufschreiben, was du von der Funktion weißt und sie nach dem Schema aus Aufgabe 1 umkehren.
Du weißt, dass die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion den Ausdruck $\sqrt{x-3}$ enthält. Wenn du die Variablen vertauscht, dann steht da $x=\sqrt{y-3}$. Nun kannst du beide Seiten der Gleichung quadrieren, um die Wurzel über dem $y$ zu entfernen. Somit erhältst du $x^2=y-3$. Da keine weiteren Wurzeln oder Quadrate an den beiden Variablen $x$ und $y$ stehen, musst du keine weiteren Wurzeln ziehen oder potenzieren. An der Potenz bei $x$ wird sich also nichts mehr ändern. Die Funktionsgleichung hat also die $2.$ Potenz am Ausdruck mit $x$.
#umkehrfunktion

Aufgabe 3

a)
Wie lautet die Gleichung für das Volumen einer Kugel? Setze diese Formel in die Formel für die Dichte ein und forme nach $m$ um.
Die Formel für das Volumen einer Kugel lautet $V_K=\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3$
$\begin{array}[t]{rll} \rho&=&\dfrac{m}{V} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \rho&=&\dfrac{m}{\frac{4}{3}\pi\cdot r^3} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \frac{4}{3}\pi\cdot r^3 \\[5pt] \rho\cdot \frac{4}{3}\pi\cdot r^3&=&m \\[5pt] \end{array}$
$ m=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi\cdot r^3 $
Die Masse einer Kugel, abhängig von der Dichte und dem Radius kannst du mit der folgenden Formel berechnen: $m(\rho,r)=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi\cdot r^3$.
b)
Setze die angegebenen Dichten in die Formel ein und zeichne die Graphen der dazugehörigen Funktionen in ein geeignetes Koordinatensystem. Mache deutlich, welcher Graph zu welcher Funktion bzw. welchem Kunststoff gehört. Deine Zeichnung sollte so aussehen:
c)
Setze den angegebenen Wert für die Masse in die Formel von Polyamid ein und berechne den Radius. Beachte, dass das Ergebnis der Funktion in $\text{g}$ angegeben ist und nicht in $\text{mg}$. $1.000\,\text{mg}$ entsprechen $1\,\text{g}$.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\rho\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 0,350\,\text{g}&=&1,13\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\; :1,13\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\\[5pt] 0,267\,\text{cm}&=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\; :\dfrac{4}{3}\\[5pt] 0,200\,\text{cm}&=&\pi\cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\; :\pi\\[5pt] 0,064\,\text{cm}&=&r^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\,}\\[5pt] 0,400\,\text{cm}&=&r^3 \\[5pt] \end{array}$
$ r=0,4\,\text{cm} $
Ein Polyamidgranulatkügelchen mit einem Gewicht von $350\,\text{mg}$ hat einen Radius von $0,4\,\text{cm}$. Setze diesen Radius in die beiden Formel für Polypropylen und Polytetrafluorethyl ein und berechne die jeweilige Masse des Kügelchens.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\rho\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] m&=&0,946\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot (0,4\,\text{cm})^3 \\[5pt] m&=&1,261\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\cdot\pi\cdot 0,064\,\text{cm}^3 \\[5pt] m&=&0,081\,\text{g}\cdot\pi \\[5pt] m&=&0,254\,\text{g} \\[5pt] \end{array}$
$ m=0,254\,\text{g} $
Ein Polypropylengranulatkügelchen mit dem gleichen Radius hätte ein Gewicht von $254\,\text{mg}$.
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\rho\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] m&=&2,2\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot (0,4\,\text{cm})^3 \\[5pt] m&=&2,933\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\cdot\pi\cdot 0,064\,\text{cm}^3 \\[5pt] m&=&1,877\,\text{g}\cdot\pi\\[5pt] m&=&0,590\,\text{g}\cdot\pi\\[5pt] \end{array}$
$ m=0,590\,\text{g} $
Ein Polytetrafluorethylgranulatkügelchen mit dem gleichen Radius hätte ein Gewicht von $590\,\text{mg}$.
#kugel
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
[2]
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[3]
© 2017 – SchulLV.
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