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Prozentuale Änderung

Spickzettel
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Anteile oder Verhältnisse kann man mit Hilfe von Brüchen darstellen. Um Brüche untereinander vergleichbar zu machen, musst du diese immer auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Für Brüche, die den Nenner $100$ haben, kannst du auch die Prozentschreibweise anwenden:

1 Prozent $=1\%=\frac{1}{100}$ 1 Prozent $=1\%=\frac{1}{100}$

p Prozent $=p\%=\frac{p}{100}$ p Prozent $=p\%=\frac{p}{100}$

Die folgende Formel beschreibt den Zusammenhang zwischen Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz:

$\begin{array}[t]{rll} \text{Grundwert}&=&\text{das Ganze} \\[5pt] \text{Prozentwert}&=&\text{Teil des Ganzen} \\[5pt] \text{Prozentsatz}&=&\text{Anteil in}\;\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{Grundwert}&=&\text{das Ganze} \\[5pt] \text{Prozentwert}&=&\text{Teil des Ganzen} \\[5pt] \text{Prozentsatz}&=&\text{Anteil in}\;\% \end{array}$
Diese Formel kannst du, je nachdem, was gegeben ist und was du errechnen willst, auch noch umstellen.
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Aufgaben
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1.
Prozentrechnung
Am Anfang des Schuljahres sind in einer Klasse $29$ Schüler. Davon sind $16$ Mädchen und $13$ Jungen. Im zweiten Halbjahr kommt ein neue Schülerin dazu.
a)
Berechne die Prozentsätze der Anzahl der Schüler nach Geschlecht am Anfang des Schuljahres.
b)
Berechne, um wie viel Prozent die Anzahl der Mädchen größer ist als die Anzahl der Jungen. Betrachte dabei nur den Anfang des Jahres.
c)
Entscheide, ob sich die Prozentsätze aus a) im zweiten Halbjahr ändern. Falls ja, wie?
2.
Prozentrechnung
Eine Schachtel Pralinen kostet $6\;€$. Normalerweise beinhaltet diese $20$ Pralinen. Zurzeit läuft eine besondere Aktion. Bis Ende des Monats enthält die Schachtel $20\;\%$ mehr Inhalt.
a)
Berechne, wie viele Pralinen in einer Schachtel enthalten sind.
b)
Wie unterscheidet sich der Stückpreis während der Aktion vom normalen Stückpreis? Gib das Ergebnis in Prozent an.
c)
Da die Aktion so erfolgreich war, will der Produzent eine neue Aktion starten. Der Stückpreis soll um ca. $10\;\%$ gesenkt werden. Wie viel Inhalt muss dann in der Schachtel sein?
3.
Vervollständige die Tabelle
a)b)c)d)e)f
p%17%25%3%20%
W441,70,222300
G2505004446,8
p%WG
a.)17%250
b.)44500
c.)25%444
d.)1,76,8
e.)3%0,222
f.)20%300
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Lösungen
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1.
Prozentrechnung
a)
$\blacktriangleright$ Prozentsätze berechnen
Hierbei musst du folgende Formel anwenden und die gegebenen Werte einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} \text{W}&=&\frac{\text{p}}{100}\cdot\text{G} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{W}&=&\frac{\text{p}}{100}\cdot\text{G} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{p}_1&=&\frac{16\cdot100}{29} \\[5pt] &=&\frac{1600}{29} \\[5pt] &\approx&55,17\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{p}_2&=&\frac{13\cdot100}{29} \\[5pt] &=&\frac{1300}{29}\\[5pt] &\approx&44,83\% \end{array}$
Es gibt $\boldsymbol{55,17\%}$ Mädchen und $\boldsymbol{44,83\%}$ Jungs in der Klasse.
b)
$\blacktriangleright$ Unterschied berechnen
Um den prozentualen Unterschied zwischen der Anzahl der Mädchen und der Anzahl der Jungen in der Klasse zu errechnen, musst du den kleineren Prozentsatz aus Aufgabe 1a von dem größeren Prozentsatz abziehen und erhälst somit die gesuchte Differenz.

$55,17\;\%-44,83\;\%= \boldsymbol{10,34\;\%}$

Die Anzahl der Mädchen ist um $\boldsymbol{10,34\%}$ größer als die Anzahl der Jungen in der Klasse.
c)
$\blacktriangleright$ Änderung untersuchen
Beachte, dass mit der neuen Schülerin der Grundwert auf $30$ Schüler und der Prozentwert der Mädchen auf $17$ ansteigt. Die neuen Prozentsätze werden wie in Aufgabe 1a berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} \text{p}_1&=&\frac{17\cdot100}{30}\\[5pt] &=&\frac{1700}{30} \\[5pt] &\approx&56,67\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{p}_2&=&\frac{13\cdot100}{30} \\[5pt] &=&\frac{1300}{30} \\[5pt] &\approx&43,33\% \end{array}$


Es ändern sich beide Prozentwerte. Der Prozentsatz $\text{p}_1$ steigt um $\boldsymbol{1,5\%}$ und der Prozentsatz $\text{p}_2$ sinkt um $\boldsymbol{1,5\%}$.
2.
Prozentrechnung
a)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Pralinen berechnen
Damit du diese Aufgabe lösen kannst, ist es hilfreich zu notieren, welche Werte gegeben sind und welche gesucht werden. Dies hilft dir dabei die richtige Formel zu finden.

geg.: $\begin{array}[t]{rll} \text{G}&=&20 \\[5pt] \text{p}\%&=&20\%&=&\frac{20}{100} \end{array}$
ges.:$\;\;\;\text{W}$

Lösung:

$\begin{array}[t]{rll} \text{W}&=&\frac{\text{p}}{100}\cdot\text{G} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{W}&=&\frac{\text{p}}{100}\cdot\text{G} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{W}&=&\frac{20}{100}\cdot20 \\[5pt] &=&\frac{20\cdot20}{100} \\[5pt] &=&4 \end{array}$
Nachdem du nun weißt, dass es 4 Pralinen zusätzlich in der Aktionsverpackung geben wird, musst du dieses Ergebnis nur noch mit dem ursprünglichen Inhalt der Pralinenschachtel addieren.
$20\;+\;4\;=24$

In der Aktionsverpackung werden insgesamt $\;\boldsymbol{24}\;$ Pralinen enthalten sein.
b)
$\blacktriangleright$ Veränderung berechnen
Berechne zuerst den ursprünglichen Stückpreis und den Stückpreis der Aktion, indem du den Quotienten aus dem Preis und der Pralinenanzahl bildest:
Stückpreis =$\; 6\;€:20\; \text {St} \; \;=0,30 \;\frac{€} { \text {St}} $
Stückpreis$_{\text{Aktion}}= 6\;€:24\; \text {St} \; \;=0,25 \;{\frac{€} { \text {St}}} $
Somit beträgt die Differenz: $\;0,30\; \frac{€} { \text {St}} -0,25 \;\frac{€} { \text {St}} = 0,05 \;\frac{€} { \text {St}}$
Um nun die prozentuale Veränderung (in diesem Fall den Prozentsatz) zu errechnen, musst du die gegebenen Werte in folgende Formel einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} \text{p}&=&\frac{\text{W}\cdot100}{\text{G}} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{p}&=&\frac{\text{W}\cdot100}{\text{G}} \end{array}$


$\begin{array}[t]{rll} \text{p}&=&\frac{0,05\frac{€} { \text {St}}\cdot100}{0,30\frac{€} { \text {St}}} \\[5pt] &=&\frac{5\frac{€} { \text {St}}}{0,3\frac{€} { \text {St}}} \\[5pt] &\approx&16,67\% \end{array}$


Somit wird der Preis während der Aktion um $\boldsymbol{16,67\;\%}$ gesenkt.
c)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Pralinen berechnen
Zuerst einmal musst du dir den alten Stückpreis notieren.
Stückpreis$_{\text{alt}}$ =$\;0,30\frac{€} { \text {St}}$

Da der Stückpreis um $10\%$ gesenkt werden soll, berechnest du nun den neuen Prozentwert
$\begin{array}[t]{rll} \text{W}&=&\frac{\text{p}}{100}\cdot\text{G} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{W}&=&\frac{\text{p}}{100}\cdot\text{G} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{W}&=&\frac{10}{100}\cdot0,30\frac{€} { \text {St}} \\[5pt] &=&\frac{3\frac{€} { \text {St}}}{100} \\[5pt] &=&0,03\frac{€} { \text {St}} \end{array}$
$0,30\frac{€} { \text {St}}-0,03\frac{€} { \text {St}}=0,27\frac{€} { \text {St}}=\text{Stückpreis}_\text{neu}$

$6€:0,27\frac{€} { \text {St}}\approx22\;\text{Pralinen}$

In einer Schachtel sollten $\;\boldsymbol{22}\;$ Pralinen enthalten sein.
3.
Vervollständige die Tabelle
Je nachdem welche Werte du suchst, musst du die folgenden Formeln anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} \text{p}\%&=&\frac{\text{W}}{\text{G}} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{p}\%&=&\frac{\text{W}}{\text{G}} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{W}&=&\frac{\text{p}}{100}\cdot\text{G} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{W}&=&\frac{\text{p}}{100}\cdot\text{G} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{G}&=&\frac{\text{W}\cdot100}{\text{p}} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{G}&=&\frac{\text{W}\cdot100}{\text{p}} \end{array}$
a)b)c)d)e)f
p%17%8,8%25%25%3%20%
W42,5441111,70,222300
G2505004446,87,41500
p%WG
a.)17%42,5%250
b.)8,8%44500
c.)25%111444
d.)25%1,76,8
e.)3%0,2227,4%
f.)20%3001500
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