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Mit Dezimalbrüchen rechnen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Die vier Grundrechenarten Multiplikation, Addition, Subtraktion und Division kannst du auch bei Dezimalbrüchen anwenden.
Brüche: Mit Dezimalbrüchen rechnen
Brüche: Mit Dezimalbrüchen rechnen
Brüche: Mit Dezimalbrüchen rechnen
Brüche: Mit Dezimalbrüchen rechnen
#subtraktion#addition#multiplikation#division

Aufgabe 1

Erkläre wie in der Einführungsaufgabe die jeweiligen Aufgaben gerechnet wurden.

Aufgabe 2

b)
$3$ $4$ $5$
$-$ $2$ $1$$2$ , $0$ $7$ $1$
d)
$0$ , $8$ $4$
$+$ $0$ , $0$ $2$ $6$
f)
$6$ $8$ , $4$
$+$ $4$ , $0$ $8$
h)
$7$ $6$ , $3$ $3$
$-$ $1$ $5$ , $1$ $2$
#addition#dezimalbruch#subtraktion

Aufgabe 3

$0$ , $6$ $4$ $3$ $3$ + $1$ $1$ , $7$ $4$ $2$ = $\;$ $\;$ , $\;$ $\;$ $5$ $\;$
#addition

Aufgabe 4

Überschlage zuerst und löse dann. Überprüfe anschließend dein Ergebnis mit dem Taschenrechner.
b) $131,3 + 13,543 +$ $21,005 +2,323 +6$
d) $100,4 +4,64 +$ $5,089 + 0,06 +1,54$
#addition

Aufgabe 5

Überschlage zuerst und löse danach.
b)
$21,5 \cdot 7,02$
d)
$525,4 \cdot 0,75$
f)
$0,126 \cdot 4,2$
#multiplikation

Aufgabe 6

Überschlage zuerst und rechne dann. Überprüfe mit dem Taschenrechner.
In der Aufgabe a) findest du ein Beispiel.
b)
$10,5 \cdot 3,1 - (74,4 -66,9)$
d)
$57,10 - 3,5 \cdot 2,08 + 0,63 -3,4$
#multiplikation#subtraktion#addition

Aufgabe 7

In dieser Aufgabe kannst du das Kopfrechnen üben.
b)
Multipliziere mit $0,1 (0,01, 0,001)$:
    $1,736761$
    $0,236$
    $0,0073$
    $0,000005$
    $12,5$
Multipliziere mit $0,1 (0,01, 0,001)$:
    $1,736761$
    $0,236$
    $0,0073$
    $0,000005$
    $12,5$
#multiplikation

Aufgabe 8

Löse ohne Taschenrechner.
$65 : 2,5$
$42:0,06$
$10,5 : 15$
$24,4 : 4$
$10,5 : 2,5$
$18,4:3,2$
#division

Aufgabe 9

Ein Olympisches Schwimmbecken ist $50 \,\text{m}$ lang, $25 \,\text{m}$ und überall $2 \,\text{m}$ tief. Wie viel Wasser ist im Becken, wenn sich die Wasseroberfläche $20 \,\text{cm}$ unter dem Beckenrand befindet?
Brüche: Mit Dezimalbrüchen rechnen
Abb. 4: Das Olympische Schwimmbecken in Rio de Janeiro.
Brüche: Mit Dezimalbrüchen rechnen
Abb. 4: Das Olympische Schwimmbecken in Rio de Janeiro.
#volumen
Bildnachweise [nach oben]
[1-3]
© 2017 – SchulLV.
[4]
https://goo.gl/3a1ICH – Interno dell'Estádio Aquático Olímpico di Rio de Janeiro, brasil2016.gov.br, CC BY 3.0 BR.
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Lösungen
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Addieren erklären
    1.$\;$ Die Zahlen werden erst stellenweise und rechtsbündig untereinander aufgeschrieben. Das Plus schreibst du vor die letzte Zeile.
    2. $\;$Nun addierst du die Zahlen Stelle für Stelle. Du beginnst hinten und addierst erst $0+0+2$. Das ergibt $2$. Diese schreibst du dann unter den Strich.
    3. $\;$ Bei der nächsten Stelle rechnest du $0+7+8$. Das ergibt $15$. Nun schreibst du die $5$ unter den Strich und die $1$ über den Strich. Die $1$ addierst du bei der nächsten Rechnung dazu. Diese Schritte wiederholst du nun bis alle Stellen addiert sind.
Brüche: Mit Dezimalbrüchen rechnen
Abb. 1: Schriftliches Addieren.
Brüche: Mit Dezimalbrüchen rechnen
Abb. 1: Schriftliches Addieren.
    4. $\;$ Kommt bei der letzten Stelle ein zweistelliges Ergebnis heraus, schreibst du die Zehnerstelle nicht über den Strich, sondern unter den Strich.
    Beim Addieren ist es wichtig, die Zahlen so untereinander zu schreiben, dass alle Kommas untereinander stehen.
b)
$\blacktriangleright$  Subtrahieren erklären
    1. $\;$ Die Zahlen werden erst stellenweise und rechtsbündig untereinander aufgeschrieben. Das Minus schreibst du vor die zweite Zeile.
    2. $\;$ Nun zieht man jeweils die unten stehende Zahl ab von der oberen. Bei uns also $4-5$. Damit ein positives Ergebnis herauskommt rechnen wir $14-5$ und schreiben eine $1$ unter die nächste Stelle. Immer wenn die obere Zahl zu klein ist zum subtrahieren, überträgst du eine $1$.
    3. $\;$ Die Zahl in der ersten Zeile ist der Minuend, die Zahl in der zweiten Zeil ist der Subtrahend. Der Subtrahend muss kleiner oder gleich groß sein wie der Minuend. Sonst funktioniert das schriftliche Subtrahieren nicht.
Brüche: Mit Dezimalbrüchen rechnen
Abb.2: Schriftliches Subtrahieren.
Brüche: Mit Dezimalbrüchen rechnen
Abb. 2: Schriftliches Subtrahieren.
c)
$\blacktriangleright$  Dividieren erklären
    1. $\;$ Die Zahl die wir teilen heißt Dividend. Die Zahl durch die geteilt wird, heißt Divisor und das Ergebnis beim Teilen ist der Quotient. Hast du wie in Abbildung 3 eine Kommazahlen im Dividend oder Divisor hilft es diese zu vereinfachen. Wenn du beide Kommas eine Stelle nach rechts verschiebst, ändert sich nichts am Quotient. Allerdings vereinfacht sich die Rechnung.
Brüche: Mit Dezimalbrüchen rechnen
Abb. 3: Schriftliches Dividieren.
Brüche: Mit Dezimalbrüchen rechnen
Abb. 3: Schriftliches Dividieren.
    2. $\;$ Nun schaust du, wie oft passt $84$ in $538$? Die $84$ passen $6$ mal in die $538$. Also ist $6$ die erste Ziffer des Quotienten. Da du alle Ziffern des Dividenden vor dem Komma bereits geteilt hast, kannst du nach der $6$ im Quotient ein Komma setzen.
    3. $\;$ Nun musst du erst $84 \cdot 6$ rechnen und das Ergebnis dann von $538$ abziehen. Das Ergebnis ist orange eingefärbt und kannst du in Abbildung 3 sehen.
    4. $\;$ Im nächsten Schritt schreibst du zu den $34$ die $8$ aus dem Dividend. Nun rechnest du wie oft die $84$ in die $348$ passt. Die $84$ passt $4$ mal in die $348$.Also ist $4$ die nächste Ziffer des Quotienten.
    5. $\;$ Im nächsten Schritt schreibst du zu den $34$ die $8$ aus dem Dividend. Nun rechnest du wie oft die $84$ in die $348$ passt. Die $84$ passt $4$ mal in die $348$.Also ist $4$ die nächste Ziffer des Quotienten.
    6. $\;$ Nun ziehst du das Ergebnis von $84 \cdot 4$ von $348$ ab. Das Ergebnis hiervon ist in Abbildung 3 blau eingefärbt. Da es nicht groß genug zum dividieren ist, fügst du ihm die restliche $6$ aus dem Dividend hinzu. In die $126$ wiederum passt die $84$ insgesamt $1$ mal. Daher ist $1$ die nächste Ziffer des Quotienten.
    7.$\;$ Nun ziehst du $84$ von $126$ ab und erhältst $42$. Um dividieren zu können hängst du der $42$ eine Null an. Die $84$ passt genau $5$ mal in die $420$. Daher kommt die $5$ in den Quotient. Der Rest beträgt $0$ und damit ist die Rechnung beendet.
d)
$\blacktriangleright$  Multiplizieren erklären
    1. $\;$ Schreibe am Anfang die Zahlen sauber nebeneinander und unterstreicht diese. Unter dem Strich brauchen wir so viele Zeilen wie die rechte Zahl Stellen hat.
    2. $\;$ Nun nimmst du die erste Ziffer der rechten Zahl und multiplizierst damit jede Stelle der linken Zahl.
Brüche: Mit Dezimalbrüchen rechnen
Abb. 4: Schriftliches multiplizieren.
Brüche: Mit Dezimalbrüchen rechnen
Abb. 4: Schriftliches multiplizieren.
    3. $\;$ Dabei schreibst du das Ergebnis der einzelnen Rechnungen in die erste Zeile unter den Strich. Dies tust du wie folgt. $2 \cdot 8$ ist $16$. Du schreibst also die $6$ unter die $2$ und überträgst die Zehnerstelle. Bei der Rechnung $2 \cdot 3$ kommt $6$ heraus, da wir aber noch die Zehnerstelle über haben ergibt die Rechnung $7$. $2 \cdot 1$ ergibt wiederum 2, damit ist diese Zeile komplett.
    4.$\;$ Man wiederholt nun diesen Rechenvorgang noch für die restlichen Ziffern. In der zweiten Zeile schreibst du die erste Ziffer des Zwischenergebnisses direkt unter die $5$. In diesem Fall die $0$. Bist du mit dieser Zeile fertig beginnst du mit der letzten Zeile. Die erste Ziffer des Zwischenergebnisses schreibst du unter die $3$ der rechten Zahl. Wenn du nun diese Zeile ebenfalls fertig gerecht hast, addiert man die Zwischenergebnisse und erhält das Ergebnis.
#multiplikation#addition#subtraktion#division

Aufgabe 2

In der Einführungsaufgabe wurden dir die Addition und Subtraktion erneut erklärt. Hier kannst du die erlernten Regeln anwenden.
b)
$\blacktriangleright$  Subtrahieren
$3$ $4$ $5$ , $0$ $0$ $0$
$-$ $2$ $1$$2$ , $0$ $7$ $1$
1 1 1
$1$ $3$$2$ , $ 9$ $ 2$ $9$
d)
$\blacktriangleright$  Addieren
$0$ , $8$ $4$ $0$
$+$ $0$ , $0$ $2$ $6$
$0$,$8$ $6$$6$
f)
$\blacktriangleright$  Addieren
$6$ $8$ , $4$ $0$
$+$ $4$ , $0$ $8$
1
$6$$4$, $3$$2$
h)
$\blacktriangleright$  Subtrahieren
$7$ $6$ , $3$ $3$
$-$ $1$ $5$ , $1$ $2$
$6$$1$ , $2$ $1$
#addition#subtraktion

Aufgabe 3

Addiere die beiden Zahlen wie gewohnt indem du sie zuerst untereinander schreibst.
$0$ , $6$ $4$ $3$ $3$ + $1$ $1$ , $7$ $4$ $2$ = $1$ $2$ , $3$ $8$ $5$ $3$

Aufgabe 4

Runde zuerst auf ganze Zahlen und addiere diese dann. So erhältst du ein Überschlagsergebnis.
a)
Überschlag: $78 + 14 + 40 +1,5 = 133,5 $
Rechnung: $78,05 + 13,863 + 40 +1,503 $
$= 133,416 $
b)
Überschlag: $131 + 13,5 + 21 + 2 = 167,5 $
Rechnung: $131,3 + 13,543$ $+ 21,005 +2,323 $
$= 168,171$
c)
Überschlag: $88 + 3 + 9 + 1 = 101 $
Rechnung: $88,08 + 2,8 + 8,888 +0,8 $
$= 100,568$
d)
Überschlag: $100 + 5 + 5 + 0,1 = 110,1 $
Rechnung: $100,4 +4,64 + 5,089$ $+ 0,06 +1,54 $
$=111,729$
#addition

Aufgabe 5

Überschlage zuerst und löse danach.
a)
Überschlag: $5 \cdot 6 = 30$
Rechnung: $5,2 \cdot 6,1 = 31,72$
b)
Überschlag: $22 \cdot 7 = 154$
Rechnung: $21,5 \cdot 7,02 = 150,93$
c)
Überschlag: $0,4 \cdot 0,1 = 0,04$
Rechnung: $0,42 \cdot 0,05 = 0,021$
d)
Überschlag: $525 \cdot 0,8 = 420$
Rechnung: $525,4 \cdot 0,75 = 394,05$
e)
Überschlag: $3 \cdot 0,4 = 1,2$
Rechnung: $3,4 \cdot 0,35= 1,19$
f)
Überschlag: $0,13 \cdot 4 = 0,52$
Rechnung: $0,126 \cdot 4,2 = 0,5292$
#multiplikation

Aufgabe 6

Hier sollst du zuerst überschlagen und dann rechnen. Überprüfe mit dem Taschenrechner.
In der Aufgabe a) findest du ein Beispiel.
a)
$(3,05+5,75) \cdot (3,05 - 2,25) =$ $7,04$
Überschlag: $(3 + 6) \cdot (3-2) = 9$
b)
Beachte hier die Punkt-vor-Strich-Regel! Führe erst die Multiplikationen und Divisionen durch, danach die Subtraktionen und Additionen.
$10,5 \cdot 3,1 - (74,4 -66,9) =$ $25,05$
Überschlag: $10 \cdot 3 -(74-66) = 24$
c)
Beachte hier die Punkt-vor-Strich-Regel! Führe erst die Multiplikationen und Divisionen durch, danach die Subtraktionen und Additionen.
$163,5 + 1,4 \cdot 22,4 - 48,6 =$ $124,86$
Überschlag: $164 +1 \cdot 22 - 49 = 137$
d)
Beachte hier die Punkt-vor-Strich-Regel! Führe erst die Multiplikationen und Divisionen durch, danach die Subtraktionen und Additionen.
$57,1 - 3,5 \cdot 2,08 + 0,63 -3,4$ $= 47,05$
Überschlag: $57 - 4 \cdot 2,1 + 0,6 -3 = 46,2$
#punkt-vor-strich

Aufgabe 7

a)
Hier sollst du lernen, wie man das Komma verschiebt. Multipliziere mit $10 (100, 1.000)$:
    $1,736761$
    $0,236$
    $0,0073$
    $0,000005$
    $12,5$
Hier sollst du lernen, wie man das Komma verschiebt. Multipliziere mit $10 (100, 1.000)$:
    $1,736761$
    $0,236$
    $0,0073$
    $0,000005$
    $12,5$
$\;$
$10 \cdot 1,736761 = 17,36761$ Wenn du eine Zahl mit 10 multiplizierst, verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach rechts.
$100 \cdot 0,236 = 23,6$ Wenn du eine Zahl mit 100 multiplizierst, verschiebt sich das Komma um zwei Stellen nach rechts.
$1.000 \cdot 0,0073 = 7,3$ Wenn du eine Zahl mit 1000 multiplizierst, verschiebt sich das Komma um drei Stellen nach rechts.
b)
Multipliziere mit $0,1 (0,01, 0,001)$:
    $1,736761$
    $0,236$
    $0,0073$
    $0,000005$
    $12,5$
Multipliziere mit $0,1 (0,01, 0,001)$:
    $1,736761$
    $0,236$
    $0,0073$
    $0,000005$
    $12,5$
$\;$
Hier sollst du lernen, wie man das Komma verschiebt.
$0,1 \cdot 1,736761 = 0,1736761$ Wenn du eine Zahl mit 0,1 multiplizierst, verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach links.
$0,01 \cdot 0,236 = 0,00236$ Wenn du eine Zahl mit 0,01 multiplizierst, verschiebt sich das Komma um zwei Stellen nach links.
$0,001 \cdot 0,0073 = 0,0000073$ Wenn du eine Zahl mit 0,001 multiplizierst, verschiebt sich das Komma um drei Stellen nach links.
#multiplikation

Aufgabe 8

Um ohne Taschenrechner auf die Ergebnisse zu kommen, musst du erst durch die Zahl ohne Komma teilen und dann das Komma verschieben. Bei der a) zeigen wir dir ausführlich wie das geht.
a)
$533:4= 133,25$
$533:0,4= 1.332,5$
$270 : 18 = 15$
$270 : 1,8 = 150$
$65 : 25 = 2,6$ $65 : 2,5 = 26$
$42:6 = 7$ $42:0,06= 700$
b)
$43,2 : 12= 3,6$
$27,3 : 3= 9,1$
$10,5 : 15 = 0,7$
$24,4 : 4= 6,1$
c)
$12,6 : 1,4 = 9$
$9,6:3,2 = 3$
$10,5 : 2,5 = 4,2$
$18,4:3,2 = 5,75$
#division

Aufgabe 9

Das Volumen des komplett gefüllten Beckens berechnest du, indem du die Länge mit der Breite und der Tiefe multiplizierst.
$\,\text{Volumen} = \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe}$
$\,\text{Volumen} = 50\,\text{m} \cdot 25\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} $
$= 2.500\,\text{m}^3$
Wenn du nun wissen möchtest, wie viel Wasser im Becken ist, wenn sich die Wasseroberfläche $20\;\text{cm}$ unter dem Beckenrand befindet, musst du erst berechnen wie viel $20\;\text{cm}$ von $2\;\text{m}$ sind. Dazu musst du zuerst die Einheiten angleichen. Wenn du dieses Verhältnis kennst, kannst du errechnen wie viel Wasser noch im Becken ist wenn sich die Wasseroberfläche $20\;\text{cm}$ unter dem Beckenrand befindet.
$2\,\text{m} -20\,\text{cm} =$ $2\,\text{m} - 0,2\,\text{m} = 1,8\,\text{m} $
Du weißt nun, dass die veränderte Höhe des Beckens $1,8\,\text{m}$ beträgt.
Nun kannst du mit der oben erwähnten Formel die Wassermenge berechnen.
$\,\text{Volumen} =$ $ \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = $ $ 50\;\text{m} \cdot 25\;\text{m} \cdot 1,8\;\text{m}$ $= 2.250\;\text{m}^3$
Es befindet sich $2.250\,\text{m}^3$ Wasser im Pool!
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