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Vermehrter und verminderter Grundwert

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

#vermehrtergrundwert#vermindertergrundwert

Aufgabe 1

Alter
Preis
RabattWachstums-
faktor
Neuer
Preis
$920\; €$$65 \; \%$
$740\; €$$27 \; \%$
$230\; €$$15 \; \%$
$15\; €$$5 \; \%$
$950\; €$$42 \; \%$
$46\; €$$50 \; \%$
$40\; €$$35 \; \%$
a)
Bestimme den Wachstumsfaktor.
b)
Berechne den neuen Preis.
#vermindertergrundwert

Aufgabe 2

Ein Urlaubsanbieter wirbt damit, dass Sommerurlauber, die Ihren Urlaub noch vor den Weihnachtsfeiertagen buchen, einen Frühbucherrabatt erhalten.
a)
Eine Woche Indonesien kostet $680 \; €$. Als Frühbucher erhält man $25 \; \%$ Rabatt. Wie teuer ist die Reise dann?
b)
Zwei Wochen an der Nordseeküste kosten nicht mehr $1.100 \; €$, sondern sind um $40 \; \%$ reduziert. Wie teuer ist die Reise für Frühbucher?
c)
$14$ Tage in der Karibik kosten $2.100 \; €$. Wenn man einen Tauchkurs dazu bucht, erhöht sich der Preis um $40\;\%$. Wie viel kostet die Reise mit Tauchkurs?
#vermindertergrundwert

Aufgabe 3

Alter
Preis
ErhöhungWachstums-
faktor
Neuer
Preis
$920\; €$$65 \; \%$
$740\; €$$27 \; \%$
$230\; €$$15 \; \%$
$15\; €$$5 \; \%$
$950\; €$$42 \; \%$
$46\; €$$50 \; \%$
$40\; €$$35 \; \%$
a)
Bestimme den Wachstumsfaktor.
b)
Berechne den neuen Preis.
#vermehrtergrundwert

Aufgabe 4

Es kommt zu Preiserhöhungen beim Abo eines Musikstream-Anbieters. Im letzten Jahr kostete der Betrag monatlich $8,75 \; €$. Nun werden die Kosten um $10 \; \%$ erhöht.
a)
Berechne den neuen Preis, der dadurch im kommenden Jahr insgesamt anfällt.
b)
Entschließt man sich dazu, auch den Videosteam zu abonnieren, dann beträgt die Erhöhung für den Musikstream nur $7,5 \; \%$. Der Videostream kostet zusätzlich monatlich $5 \; €$. Wie viel zahlt man im Jahr für dieses Angebot?
#vermehrtergrundwert
Bildnachweise [nach oben]
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[2]
Public Domain.
[3]
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Einführungsaufgabe

Bei den folgenden Aufgaben ist der verminderte Grundwert und der vermehrte Grundwert gesucht. Der verminderte Grundwert ist der neue Wert, nachdem auf den Grundwert ein Rabatt oder ein Preisnachlass gegeben wurde. Der vermehrte Grundwert beschreibt den neuen Wert nach einer Erhöhung des Grundwerts.
a)
$\blacktriangleright$ Vermindertern Grundwert berechnen
$\begin{array}[t]{lll} \text{alter Preis}&& 85\;€ \\[5pt] \text{Nachlass}&& \\[5pt] 20\;\% \; \text{von} \; 85\;€ && 17\;€ \\[5pt] \hline \text{ neuer Preis} && 68\;€ \end{array}$
Der verminderte Grundwert ist demnach der neue Preis: $68 \; €$.
Einfacher kannst du das Ergebnis mit der Hilfe des Wachstumsfaktors berechnen. Der Wachstumsfaktor ist die Dezimalzahl zum verminderten Prozentsatz. In dem Beispiel also die Dezimalzahl zu $80 \; \%$, also $0,8$.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Grundwert} &\rightarrow& \text{Wachstumsfaktor} &\rightarrow& \text{verminderter Grundwert} &\quad \scriptsize \\[5pt] 85 \; € &\rightarrow& \cdot \; 0,80 &\rightarrow& 68 \; € \end{array}$
Sophies Sneaker kosten also nur noch $68 \; €$.
b)
$\blacktriangleright$ Vermehrten Grundwert berechnen
$\begin{array}[t]{lll} \text{alter Preis}&& 120\;€ \\[5pt] \text{Nachlass}&& \\[5pt] 10\;\% \; \text{von} \; 120\;€ && 12\;€ \\[5pt] \hline \text{neuer Preis} && 132\;€ \end{array}$
Der vermehrte Grundwert ist demnach der neue Preis: $132\; €$.
Einfacher kannst du das Ergebnis mit der Hilfe des Wachstumsfaktors berechnen: Einfacher kannst du das Ergebnis mit der Hilfe des Wachstumsfaktors berechnen. Der Wachstumsfaktor ist die Dezimalzahl zum vermehrten Prozentsatz. In dem Beispiel also die Dezimalzahl zu $110 \; \%$, also $1,10$.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Grundwert} &\rightarrow& \text{Wachstumsfaktor} &\rightarrow& \text{vermehrter Grundwert} &\quad \scriptsize \\[5pt] 120 \; € &\rightarrow& \cdot \; 1,10 &\rightarrow& 132 \; € \end{array}$
Tom müsste für das neue, teurere Modell seiner Kopfhörer demnach $132 \; €$ zahlen.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Wachstumsfaktor bestimmen
Der Wachstumsfaktor ist die Dezimalzahl zum verminderten Prozentsatz. Der Prozentsatz zum verminderten Grundwert ist hierbei der Grundwert von $100 \; \%$ abzüglich des Nachlasses.
Beispiel:
Grundwert$\mathrel{\widehat{=}}100 \; \%$
Nachlass$\mathrel{\widehat{=}}65 \; \%$
Verminderter
Grundwert
$\mathrel{\widehat{=}} 100 \; \% - 65 \; \% = 35 \; \%$
Wachstumsfaktor$0,35$
b)
$\blacktriangleright$ Prozentwert bestimmen
Mit Hilfe des Wachstumsfaktors lässt sich im Anschluss der neue Preis ermitteln. Als Anleitung dient dir Teil a) der Einführungsaufgabe.
Alter
Preis
RabattWachstums-
faktor
Neuer
Preis
$920\; €$$65 \; \%$$0,35$ $322\; €$
$740\; €$$27 \; \%$$0,73$$540,20\; €$
$230\; €$$15 \; \%$$0,85$$195,50\; €$
$15\; €$$5 \; \%$$0,95$$14,25\; €$
$950\; €$$42 \; \%$$0,58$$551\; €$
$46\; €$$50 \; \%$$0,5$$23\; €$
$40\; €$$35 \; \%$$0,65$$28\; €$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Verminderter Grundwert
Um den neuen, also reduzierten Preis zu berechnen, bestimmst du zunächst den Wachstumsfaktor. Hierzu rechnest du $1-0,25 = 0,75$.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Grundwert} &\rightarrow& \text{Wachstumsfaktor} &\rightarrow& \text{verminderter Grundwert} &\quad \scriptsize \\[5pt] 680 \; € &\rightarrow& \cdot \; 0,75 &\rightarrow& 510 \; € \end{array}$
Wenn man als Frühbucher die Reise nach Indonesien bucht, zahlt man nur $510 \; €$.
b)
$\blacktriangleright$ Verminderter Grundwert
Um den neuen, also reduzierten Preis zu berechnen, bestimmst du erneut den Wachstumsfaktor. Hierzu rechnest du $1-0,4 = 0,6$.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Grundwert} &\rightarrow& \text{Wachstumsfaktor} &\rightarrow& \text{verminderter Grundwert} &\quad \scriptsize \\[5pt] 1.100 \; € &\rightarrow& \cdot \; 0,6 &\rightarrow& 660 \; € \end{array}$
An die Nordseeküste kann ein Frühbucher 14 Tage Urlaub machen und zahlt hierfür $660 \; €$
c)
$\blacktriangleright$ Vermehrter Grundwert
Um den erhöhten Preis mit einem Tauchkurs zu berechnen, bestimmst du den Wachstumsfaktor. Hierzu rechnest du $1+0,4 = 1,4$.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Grundwert} &\rightarrow& \text{Wachstumsfaktor} &\rightarrow& \text{vermehrter Grundwert} &\quad \scriptsize \\[5pt] 2.100 \; € &\rightarrow& \cdot \; 1,4 &\rightarrow& 2.940 \; € \end{array}$
Möchte man in dem Urlaub auch einen Tauchkurs machen, so zahlt man insgesamt $2.940 \; €$.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Wachstumsfaktor bestimmen
Der Wachstumsfaktor ist die Dezimalzahl zum verminderten Prozentsatz. Der Prozentsatz zum vermehrten Grundwert ist hierbei der Grundwert von $100 \; \%$ zuzüglich des erhöhten Prozentsatzes.
Beispiel:
Grundwert$\mathrel{\widehat{=}}100 \; \%$
Erhöhung$\mathrel{\widehat{=}}65 \; \%$
Vermehrter
Grundwert
$\mathrel{\widehat{=}} 100 \; \% + 65 \; \% = 165 \; \%$
Wachstumsfaktor$1,65$
b)
$\blacktriangleright$ Prozentswert bestimmen
Mit Hilfe des Wachstumsfaktors lässt sich im Anschluss der neue Preis ermitteln.
Alter
Preis
ErhöhungWachstums-
faktor
Neuer
Preis
$920\; €$$65 \; \%$$1,65$$1.518\,€$
$740\; €$$27 \; \%$$1,27$$939,80\,€$
$230\; €$$15 \; \%$$1,15$$264,50 \,€$
$15\; €$$5 \; \%$$1,05$$15,75\,€$
$950\; €$$42 \; \%$$1,42$$1349\,€$
$46\; €$$50 \; \%$$1,5$$69\,€$
$40\; €$$35 \; \%$$1,35$$54\,€$

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Vermehrter Grundwert
$\begin{array}[t]{rll} \text{Grundwert} &\rightarrow& \text{Wachstumsfaktor} &\rightarrow& \text{vermehrter Grundwert} &\quad \scriptsize \\[5pt] 8,75 \; € &\rightarrow& \cdot \; 1,1 &\rightarrow& 9,625 \; € \end{array}$
Für das ganze Jahr ergibt das: $9,625 \; € \cdot 12 = 115,5 \; €$.
b)
$\blacktriangleright$ Vermehrter Grundwert
$\begin{array}[t]{rll} \text{Grundwert} &\rightarrow& \text{Wachstumsfaktor} &\rightarrow& \text{vermehrter Grundwert} &\quad \scriptsize \\[5pt] 8,75 \; € &\rightarrow& \cdot \; 1,075 &\rightarrow& 9,406 \; € \end{array}$
Für das ganze Jahr ergibt das: $9,406 \; € \cdot 12 = 112,875 \; €$
Der Videostream kostet jährlich: $5 \; € \cdot 12 = 60 \; €$
Das Angebot kostet also $112,875 \; € + 60 \; € \approx 172,88 \; €$ im Jahr.
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