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Parallelverschiebung

Spickzettel
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Um die Verschiebung einer Parabel anzugeben, wird die Scheitelform verwendet. Diese hat die Form $y= a(x-f)^2+k$.
Verschiebung entlang der $\boldsymbol{y}$-Achse:
Wenn du eine Konstante $k$ zu der Funktiongleichung addierst, ist der Graph der Funktion $y=ax^2+k$ nach oben oder unten verschoben.
  • $k<0$ : der Graph der Funktion ist nach unten verschoben.
  • $k>0$ : der Graph der Funktion ist nach oben verschoben.
Der Scheitelpunkt liegt auf der $y$-Achse, ist aber nach oben oder unten verschoben. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(0\;|\;k)$.
Verschiebung entlang der $\boldsymbol{x}$-Achse:
Wenn du von dem Argument der Funktion eine Konstante $f$ abziehst, ist der Graph der Funktion $y=a(x-f)^2$ entlang der $x$-Achse verschoben.
  • $f<0$ : der Graph der Funktion ist nach links verschoben.
  • $f>0$ : der Graph der Funktion ist nach rechts verschoben.
Der Scheitelpunkt liegt auf der $x$-Achse, ist aber nach rechts oder links verschoben. Der Scheitelpunkt hat die Form $S(f\;|\;0)$.
Ist die Parabel sowohl in $x$-, als auch in $y$-Richtung verschoben, so ergibt sich der Scheitelpunkt $S(f\;|\;k)$.
#quadratischefunktion#parabel
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Beschreibe die Funktionen bezüglich folgender Eigenschaften: gestreckt, gestaucht, nach oben/unten geöffnet, Scheitelpunkt. Begründe deine Antworten.
b)
$f: y=-2x^2-1$
d)
$f: y=-3(x+1)^2+1 $
f)
$f: y=2(x+3)^2-2$

Aufgabe 1

Zeichne je drei Funktionen mithilfe einer Wertetabelle in ein gemeinsames Koordinatensystem
b)
$g_1: y=-(x+2)^2+1$
d)
$f_2: y=-3(x-2)^2-2$
f)
$h_2: y=2(x-1)^2-1$

Aufgabe 2

a)
Die Normalparabel: Parallelverschiebung
Abb. 1 Graphen $a$, $b$ und $c$
Die Normalparabel: Parallelverschiebung
Abb. 1 Graphen $a$, $b$ und $c$
b)
Die Normalparabel: Parallelverschiebung
Abb. 2 Graphen $d$, $e$ und $f$
Die Normalparabel: Parallelverschiebung
Abb. 2 Graphen $d$, $e$ und $f$

Aufgabe 3

Stimmen die Aussagen? Begründe deine Antwort.
b)
Der Scheitelpunkt von $g: y=2(x-a)^2+3$ hängt nicht von $a$ ab.
d)
Paul behauptet: die Funktion $f: y=3(x-1)^2+2$ kann auch als $f: y=3x^2-6x+5$ geschrieben werden.
Untersuche seine Behauptung durch ausmultiplizieren der Funktion.

Aufgabe 4

Bestimme die Schnittpunkte der Funktionen mit den Koordinatenachsen zeichnerisch.
Bestimme außerdem die Symmetrieachse der Funktionen.
b)
$g: y= -\frac{2}{3}(x+1)^2+1$
d)
$i: y= 3-3(x+3)^2$
f)
$k: y= \frac{3}{2}x^2+4$

Aufgabe 5

Du hast die Funktion $g:y=-2x^2+y_s$ gegeben.
Der Punkt P liegt auf dem Graphen der Funktion $f$
bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $f$
a)
$P(1 \mid 2)$
b)
$P(-1 \mid 6)$
c)
$P(-2 \mid 3)$

Verständnisaufgaben

a)
Die Funktion $f:y= 3(x-a)^2+2$ ist für alle $a$ definiert. Wieviele Schnittstellen mit der $x$-Achse kann sie besitzen?
b)
Für welches $a$ ist die Symmetrieachse der Funktion $f: y= 3(x-a)^2+2$ die $y$-Achse?
c)
Handelt es sich bei der Funktion $g:y=3+3x^2-2x^2-4x+4$ um eine (parallelverschobene) Normalparabel?
d)
Eine parallelverschobene Normalparabel schneidet die $y$-Achse immer in genau einem Punkt.
Bildnachweise [nach oben]
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© 2016 – SchulLV.
[2]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

Beschreibe die Funktionen bezüglich folgender Eigenschaften: gestreckt, gestaucht, nach oben/unten geöffnet, Scheitelpunkt. Begründe deine Antworten.
Für Funktionen der Form $y= a(x-x_s)^2+y_s$ gelten folgende Eigenschaften.
  • $ \mid a\mid < 1 \rightarrow$ $f$ ist gestaucht
  • $ \mid a\mid > 1 \rightarrow$ $f$ ist gestreckt
  • $ a < 0 \rightarrow$ $f$ ist nach unten geöffnet
  • $ a > 0 \rightarrow$ $f$ ist nach oben geöffnet
  • $ x_s$ gibt die Verschiebung des Scheitelpunkts in $x$-Richtung an.
  • $ y_s$ gibt die verschiebung des Scheitelpunkts in $y$-Richtung an.
  • b)
    $f: y=-2x^2-1$
    $a=-2$,
    $x_s=0$,
    $y_s=-1$
    Die Funktion ist nach unten geöffnet und gestreckt.
    Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(0 \mid -1)$.
    d)
    $f: y=-3(x+1)^2+1 $
    $a=-3$,
    $x_s=-1$,
    $y_s=1$
    Die Funktion ist nach unten geöffnet und gestreckt .
    Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(-1 \mid 1)$.
    f)
    $f: y=2(x+3)^2−2$
    $a=2$,
    $x_s=-3$,
    $y_s=-2$
    Die Funktion ist nach oben geöffnet und gestreckt.
    Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(-3 \mid -2)$.

    Aufgabe 1

    Zeichne je drei Funktionen mithilfe einer Wertetabelle in ein gemeinsames Koordinatensystem
    b)
    $g_1: y=-(x+2)^2+1$
    $x$$g_1$
    -3 0
    -2 1
    -1 0
    0 -3
    1 -8
    2 -15
    3 -24
    d)
    $f_2: y=-3(x-2)^2-2$
    $x$$f_2$
    -3 -77
    -2 -50
    -1 -29
    0 -14
    1 -5
    2 -2
    3 -5
    f)
    $h_2: y=2(x-1)^2-1$
    $x$$h_2$
    -3 31
    -2 17
    -1 7
    0 1
    1 -1
    2 1
    3 7
    Die Normalparabel: Parallelverschiebung
    Abb. 2 Graphen der Funktionen $f_2$, $g_2$ und $h_2$
    Die Normalparabel: Parallelverschiebung
    Abb. 2 Graphen der Funktionen $f_2$, $g_2$ und $h_2$

    Aufgabe 2

    a)
    Die Normalparabel: Parallelverschiebung
    Abb. 3 Graphen $a$, $b$ und $c$
    Die Normalparabel: Parallelverschiebung
    Abb. 3 Graphen $a$, $b$ und $c$
    b)
    Die Normalparabel: Parallelverschiebung
    Abb. 4 Graphen $d$, $e$ und $f$
    Die Normalparabel: Parallelverschiebung
    Abb. 4 Graphen $d$, $e$ und $f$

    Aufgabe 3

    Stimmen die Aussagen? Begründe deine Antwort.
    a)
    $\blacktriangleright$  Aussage untersuchen
    Der Punkt $P(2 \mid 5)$ liegt in der Parabel $f: y=7(x-1)^2+2$.
    Um zu untersuchen, ob der Punkt $P$ über der Parabel liegt, kannst du den $y$-Wert der Funktion $f$ an der Stelle $x=2$ bestimmen.
    $\begin{array}[t]{rll} y&=& 7(x-1)^2+2& \quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 7(2-1)^2+2 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 9 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
    Der Punkt $P$ hat den $y$-Wert $5$, damit liegt er über nicht in der Parabel mit dem $y$-Wert $9$. Um dass zu veranschaulichen kannst du eine Skizze anfertigen.
    b)
    $\blacktriangleright$  Aussage untersuchen
    Der Scheitelpunkt von $g: y=2(x-a)^2+3$ hängt nicht von $a$ ab.
    Der Scheitelpunkt von $g$ hat die Koordinaten $(a \mid 3)$. Seine $x$-Koordinate hängt also von $a$ ab.
    Du hast gezeigt , dass die Aussage nicht stimmt.
    c)
    $\blacktriangleright$  Aussage untersuchen
    Die Funktion $h:y= 2(x-3)^2-1$ liegt nirgends links der $y$-Achse.
    Um zu prüfen, ob die Funktion auch links neben der $x$-Achse liegt, kannst du $x=-1$ in die Gleichung einsetzen und überprüfen, ob es einen zugehörigen $y$-Wert gibt.
    $\begin{array}[t]{rll} y&=& 2(x-3)^2-1 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 2(-1-3)^2-1 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 31 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
    Die Behauptung stimmt, da der Punkt $P(-1 \mid 31)$ auf der Funktion $h$ liegt und links der $x$-Achse ist.
    d)
    $\blacktriangleright$  Aussage untersuchen
    Paul behauptet: die Funktion $f: y=3(x-1)^2+2$ kann auch als $f: y=3x^2-6x+5$ geschrieben werden. Untersuche die Behauptung durch ausmultiplizieren.
    $\begin{array}[t]{rll} y &=& 3(x-1)^2+2 &\quad \scriptsize \\[5pt] y &=& 3(x^2-2x+1)+2 &\quad \scriptsize \\[5pt] y &=& 3x^2-6x+3+2 &\quad \scriptsize \\[5pt] y &=& 3x^2-6x+5 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
    Die Aussage stimmt.

    Aufgabe 4

    Du sollst die Schnittpunkte der Funktionen mit den Koordinatenachsen zeichnerisch bestimmen. Dazu kannst du eine Wertetabelle anlegen. An den gezeichneten Funktionen kannst du dann die Schnittpunkte ablesen.
    Die Symmetrieachse einer Parabel geht durch ihren Scheitelpunkt und ist parallel zur $y$-Achse.
    Die Normalparabel: Parallelverschiebung
    Abb. 5 Skizze der Graphen $f$, $g$, $h$
    Die Normalparabel: Parallelverschiebung
    Abb. 5 Skizze der Graphen $f$, $g$, $h$
    Jetzt kannst du die Schnittpunkte der Funktionen $f$, $g$ und $h$ im Schaubild ablesen.
    Die Symmetrie
  • Die Funktion $f$ schneidet die $y$-Achse an der Stelle $y_1(0 \mid 4)$.
    Die Funktion $f$ hat keine Schnittpunkte mit der $x$-Achse.
    Die Symmetrieachse geht durch den Scheitelpunkt $S(1\mid 2)$.
    Sie hat die Gleichung $S:x=1$.
  • Die Funktion $g$ schneidet die $y$-Achse an der Stelle $y_1(0 \mid \frac{1}{3})$.
    Die Funktion $g$ schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x_1(\frac{1}{3} \mid 0)$.
    Die Funktion $g$ schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x_2(-\frac{7}{3} \mid 0)$.
    Die Symmetrieachse hat die Gleichung $S:x=-1$
  • Die Funktion $h$ schneidet die $y$-Achse an der Stelle $y_1(0 \mid 0)$.
    Die Funktion $h$ schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x_1(2 \mid 0)$.
    Die Funktion $h$ schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x_2(0 \mid 0)$.
    Die Symmetrieachse hat die Gleichung $S:x=1$
  • Die Normalparabel: Parallelverschiebung
    Abb. 6 Skizze der Graphen $i$, $j$, $k$
    Die Normalparabel: Parallelverschiebung
    Abb. 6 Skizze der Graphen $i$, $j$, $k$
    Jetzt kannst du die Schnittpunkte der Funktionen $i$, $j$ und $k$ im Schaubild ablesen.
  • Die Funktion $i$ schneidet die $y$-Achse weit außerhalb des Bildbereichs ungefähr bei $y=-30$.
    Die Funktion $i$ schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x_1(-2 \mid 0)$.
    Die Funktion $i$ schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x_2(-4 \mid 0)$.
    Die Symmetrieachse hat die Gleichung $S:x=-3$
  • Die Funktion $j$ schneidet die $y$-Achse an der Stelle $y_1(0 \mid 1)$.
    Die Funktion $j$ schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x_1(-\frac{1}{3} \mid 0)$.
    Die Funktion $j$ schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x_2(-\frac{11}{3} \mid 0)$.
    Die Symmetrieachse hat die Gleichung $S:x=-2$
  • Die Funktion $k$ schneidet die $y$-Achse an der Stelle $y_1(0 \mid 4)$.
    Die Funktion $k$ hat keine Schnittpunkte mit der $x$-Achse.
    Die Symmetrieachse hat die Gleichung $S:x=0$
  • Aufgabe 5

    Du hast die Funktion $f:y=3x^2+y_s$ gegeben.
    Der Punkt Q liegt auf dem Graphen der Funktion $f$
    bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $f$
    Um den Scheitelpunkt der Funktion zu bestimmen, kannst du die $x$ und die $y$ Komponente in die Funktion einsetzen um $y_s$ zu bestimmen. Die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes ist Null, da es sich nicht um eine parallelverschobene Parabel handelt.
    a)
    Setzte den Punkt $Q(0 \mid 2)$ in die Funktion $f:y=3x^2+y_s$ ein um $y_s$ zu bestimmen.
    $\begin{array}[t]{rll} y&=& 3x^2+y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] 2&=& 3 \cdot 0^2+y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] 2&=& y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
    Damit lauten die Koordinaten des Scheitelpunktes $S(0\mid 2)$
    b)
    Setzte den Punkt $Q(2 \mid 1)$ in die Funktion $f:y=3x^2+y_s$ ein um $y_s$ zu bestimmen.
    $\begin{array}[t]{rll} y&=& 3x^2+y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] 1&=& 3 \cdot 2^2+y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] 1&=& 12+y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] 1&=& 12+y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] -11&=& y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
    Damit lauten die Koordinaten des Scheitelpunktes $S(0\mid -11)$
    c)
    Setzte den Punkt $Q(1 \mid 3)$ in die Funktion $f:y=3x^2+y_s$ ein um $y_s$ zu bestimmen.
    $\begin{array}[t]{rll} y&=& 3x^2+y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] 3&=& 3 \cdot 1^2+y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] 3&=& 3+y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=& 3y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
    Damit lauten die Koordinaten des Scheitelpunktes $S(0\mid 0)$
    Du hast die Funktion $g:y=-2x^2+y_s$ gegeben.
    Der Punkt P liegt auf dem Graphen der Funktion $f$
    bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $f$
    a)
    Setzte den Punkt $P(1 \mid 2)$ in die Funktion $g:y=-2x^2+y_s$ ein um $y_s$ zu bestimmen.
    $\begin{array}[t]{rll} y&=& -2x^2+y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] 2&=& -2 \cdot 1^2+y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] 2&=& -2+y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] 4&=& y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
    Damit lauten die Koordinaten des Scheitelpunktes $S(0\mid 4)$
    b)
    Setzte den Punkt $P(-1 \mid 6)$ in die Funktion $g:y=-2x^2+y_s$ ein um $y_s$ zu bestimmen.
    $\begin{array}[t]{rll} y&=& -2x^2+y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] 6&=& -2 \cdot (-1)^2+y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] 6&=& -2+y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] 8&=& y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
    Damit lauten die Koordinaten des Scheitelpunktes $S(0\mid 8)$
    c)
    Setzte den Punkt $P(-2 \mid 3)$ in die Funktion $g:y=-2x^2+y_s$ ein um $y_s$ zu bestimmen.
    $\begin{array}[t]{rll} y&=& -2x^2+y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] 3&=& -2 \cdot (-2)^2+y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] 3&=& -8+y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] 11&=& y_s &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
    Damit lauten die Koordinaten des Scheitelpunktes $S(0\mid 11)$

    Verständnisaufgaben

    a)
    Die Funktion $f:y= 3(x-a)^2+2$ ist für alle $a$ definiert. Wieviele Schnittstellen mit der $x$-Achse kann sie besitzen?
    Die Funktion $f$ ist nach oben geöffnet und hat den Scheitelpunkt $S(a \mid 2)$. $a$ verschiebt den Scheitelpunkt somit parallel zur $x$-Achse. Da der Scheitelpunkt über der $x$-Achse ($y=2$) liegt und die Funktion nach oben geöffnet ist hat die Funktion keine Schnittstelle mit der $x$-Achse.
    b)
    Für welches $a$ ist die Symmetrieachse der Funktion $f: y= 3(x-a)^2+2$ die $y$-Achse?
    Damit die $y$-Achse die Symmetrieachse ist muss der Scheitelpunkt auf der $y$-Achse liegen. Die $x$-Koordinate vom Scheitelpunkt muss somit $x=0$ sein. $a$ ist die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts, daraus folgt: wenn $a=0$ ist, liegt der Scheitelpunkt auf der $y$-Achse.
    Die Symmetrieachse ist für $a=0$ die $y$-Achse.
    c)
    Handelt es sich bei der Funktion $g:y=3+3x^2-2x^2-4x+4$ um eine (parallelverschobene) Normalparabel?
    Du kannst die Funktion $g$ umschreiben, indem du die gleichen Potenzen von $x$ zusmmenfasst.
    $\begin{array}[t]{rll} y&=& 3+3x^2-2x^2-4x+4&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 1x^2-4x+7&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& x^2-4x+4+3&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& (x-2)^2+3&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
    Das ist die Gleichung einer verschobenen Normalparabel.
    d)
    Eine parallelverschobene Normalparabel schneidet die $y$-Achse immer in genau einem Punkt.
    Die Aussage stimmt, da eine Parabel für alle $x$ definiert ist und damit auch an der Stelle $x=0$ einen Funktionswert hat. Dies kannst du auch zeigen, indem du den allgemeinen Funktionswert an der Stelle $x=0$ bestimmst.
    $\begin{array}[t]{rll} y&=& a(x-x_s)^2+y_s&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& a(0-x_s)^2+y_s&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& ax_s^2+y_s&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
    Jede parallelverschobene Normalparabel hat damit den $y$-Achsenschnittpunkt $y=ax_s^2+y_s$
    Bildnachweise [nach oben]
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