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Funktionale Abhängigkeit

Spickzettel
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Der Flächeninhalt und der Umfang verschiedener Figuren lassen sich in Abhängigkeit einer Funktionsgleichung beschreiben.
  • Überlege dir dazu, wie sich der Umfang oder die Fläche der Figur berechnen lässt.
  • Drücke diese Größen durch $x$- und $f(x)$- Werte einer Funktion aus. Überlege dir, welche Seite der Figur der $x$-, welche der $y$-Komponente entspricht.
  • Wenn nach dem maximalen Flächeninhalt oder Umfang gefrag ist, musst du den Punkt bestimmen, an dem die Funktion maximal oder minimal wird. Dies ist bei quadratischen Funkionen oft der Scheitelpunkt.
#parabel#quadratischefunktion
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Du hast die Funkton $f:y=-\frac{1}{2}x^2+7$gegeben.
  • Der Punkt $R(-u \mid 0)$ liegt auf der negativen $x$-Achse zwischen dem Ursprung und der Nullstelle von $f$.
  • Der Punkt $P$ hat die Koordinaten $P(u \mid f(u))$
  • Der Punkt $Q$ hat die Koordinaten $Q(-u \mid f(-u))$
  • Das Rechteck $PQRS$ verbindet die vier Punkte.
a)
Skizziere die Anordnung mit einem beliebigen $u$.
b)
Stelle die Funktion des Umfangs $U$ des Vierecks in abhängigkeit von $u$ auf.
c)
Bestimme für welches $u$ der Umfang $U$ des Vierecks maximal wird.

Aufgabe 1

Ein Befestigungsbogen für ein Zelt kann durch die Funktion $f: y=-\frac{1}{2}x^2-4x-5$ beschrieben werden.
Die Heringe mit denen das Zelt am Boden befestigt wird haben die Koordinaten $L(-11 \mid 0)$ und $R(-1 \mid 0)$.
a)
Skizziere die Anordnung
b)
An welcher Position des Bogens muss die Zeltspitze angebracht werden, damit der Raum im Zelt maximal wird?
Wie groß ist die maximale Fläche der Zeltwand?

Aufgabe 2

Das Produkt des Vorgängers mit dem Nachfolger der natürlichen Zahl $a$ lautet $b$.
a)
Stelle die Funktion auf, mit der du $b$ in abhängigkeit von $a$ bestimmen kannst.
b)
Für welches $a$ wird $b$ minimal?

Aufgabe 3

Ein Rechteck ist $3$ cm breit und $9$ cm lang. Die kurze Seite wird um $x$ cm verlängert und die lange Seite um $2x$ cm verkürzt.
a)
Stelle die Funktion des Flächeninhalts in Abhängigkeit von $x$ auf.
b)
Für welches $x$ wird der Flächeninhalt maximal?

Aufgabe 4

Der Punkt $P(u \mid g(u) $ liegt auf der Funktion $g:y=-2x+6$ zwischen den beiden Achsenschnittpunkten. Der Punkt $H(u \mid 0)$ bildet mit dem Ursprung und $P$ ein Dreieck.
a)
Skizziere $g$ und ein beliebiges Dreieck.
b)
Stelle die Funktion des Flächeninhalts in Abhängigkeit von $u$ auf.
c)
Für welches $u$ wird der Flächeninhalt maximal?
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Skizze anfertigen
Quadratische Funktionen: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 1 Skizze der Abbildung
Quadratische Funktionen: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 1 Skizze der Abbildung
b)
$\blacktriangleright$  Funktion von $U$ aufstellen
Den Umfang eines Rechtecks bestimmst du allgemein mit der Formel:
$U=2G+2H$
$A=2G+2H$
Die Breite ist in diesem Fall von $-u$ bis $u$, also : $G= 2u$.
Die Höhe des Vierecks ist des $y$-Wert von $Q$ und $P$.
Die Höhe des Vierecks ist damit $f(u)$.
Jetzt kannst du den Umfang bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 2G + 2H \\[5pt] U&=& 2(2u)+2f(u) \\[5pt] \end{array}$
Jetzt kannst du $f(u)$ durch die Funktion $f$ ersetzen.
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 4u+2f(u) \\[5pt] U&=& 4x+2(-\frac{1}{2}x^2+7) \\[5pt] U&=& 4x-x^2+14 \\[5pt] U&=& -x^2+4x+14 \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion des Umfangs lautet: $U=-x^2+4x+14$.
c)
$\blacktriangleright$  Größten Umfang bestimmen
Um das Viereck mit dem größten Umfang zu bestimmen, suchst du nach dem größten Wert der Funktion $U$. Das ist der Scheitelpunkt. Dazu kannst du die Formel zur Bestimmung des Scheitelpunkts verwenden.
$(-\frac{b}{2a}\mid c-\frac{b^2}{4a})$
$(-\frac{b}{2a}\mid c-\frac{b^2}{4a})$
$\begin{array}[t]{rll} y_s&=& c-\frac{b^2}{4a} \\[5pt] y_s&=& 14-\frac{4^2}{4\cdot (-1)} \\[5pt] y_s&=& 14-\frac{16}{-4} \\[5pt] y_s&=& 14+4 \\[5pt] y_s&=& 14+4 \\[5pt] y_s&=& 18 \\[5pt] \end{array}$
Der Umfang des Vierecks wird an der Stelle $u=2$ Maximal. der Maximale Flächeninhalt beträgt $U_{max}=18LE$

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Skizze anfertigen
Quadratische Funktionen: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 2: Text
Quadratische Funktionen: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 2: Text
b)
$\blacktriangleright$  Funktion der Zeltfläche aufstellen
Den Flächeninhalt des Dreiecks bestimmst du mit
$A= \frac{a \cdot b}{2}$
$A=\frac{a \cdot b}{2}$
Die Grundfläche des Zeltes hängt nicht von der Befestigungsstelle am Rahmen ab.
$\begin{array}[t]{rll} a&=& L-R \\[5pt] a&=& \pmatrix{-11 \\ 0 }-\pmatrix{-1 \\ 0 } \\[5pt] a&=& \pmatrix{-10 \\ 0 } \\[5pt] \mid a \mid &=& 10 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} b&=& -\frac{1}{2}x^2-4x-5 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion der Fläche lautet damit:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{a \cdot b}{2} \scriptsize \\[5pt] A&=& \frac{10}{2}(-\frac{1}{2}x^2-4x-5) \\[5pt] A&=& -\frac{5}{2}x^2-20x-25 \\[5pt] \end{array}$
Jetzt kannst du den Scheitelpunkt mit der Scheitelpunktformel bestimmen. Der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt der Funktion des Flächeninhalts.
$\begin{array}[t]{rll} y_s&=& c-\frac{b^2}{4a} \\[5pt] y_s&=& -25-\frac{(-20)^2}{-10} \\[5pt] y_s&=& -25+\frac{400}{10} \\[5pt] y_s&=& -25+40 \\[5pt] y_s&=& 15 \\[5pt] \end{array}$
Die Zeltspitze muss an der Position $x=-4$ befestigt werden. Der maximale Flächeninhalt wird dann zu $ A=15 FE$.

Aufgabe 2

Das Produkt des Vorgängers mit dem Nachfolger der natürlichen Zahl $a$ lautet $b$.
a)
$\blacktriangleright$  Funktion für $b$ bestimmen
Der Nachfolger von $a$ lautet $a+1$.
Der Vorgänger von $a$ lautet $a-1$.
Das Produkt von Vorgänger und Nachfolger lautet damit:
$\begin{array}[t]{rll} b&=& (a-1)(a+1) &\quad \\[5pt] b&=& a^2+1 &\quad \\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Für welches $a$ wird $b$ minimal?
Der Scheitelpunkt der nach oben geöffneten Normalparabel $b=a^2+1$ ist der Punkt mit dem kleinsten $b$. Da es sich bei der Parabel um eine verschobene Normalparabel handelt, kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen.
$\begin{array}[t]{rll} b&=& a^2+1 &\quad \\[5pt] b&=& (a-0)^2+1 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Der Scheitelpunkt lautet damit $S(0 \mid 1)$
Das Produkt von Vorgänger und Nachfolger wird für $a=0$ minimal und lautet $b=1$.

Aufgabe 3

Ein Rechteck ist $3$ cm breit und $9$ cm lang. Die kurze Seite wird um $x$ cm verlängert und die lange Seite um $2x$ cm verkürzt.
a)
$\blacktriangleright$  Funktion $A$ von $x$ aufstellen
Stelle die Funktion des Flächeninhalts in Abhängigkeit von $x$ auf.
$A=a \cdot b$
$A=a \cdot b$
Die kurze Seite wird damit zu $3+x$.
Die lange Seite wird zu $9-2x $.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& a \cdot b &\quad \\[5pt] A&=& (3+x) \cdot (9-2x) \\[5pt] A&=& 27-6x+9x-2x^2 \\[5pt] A&=& -2x^2+3x+27 \\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Für welches $x$ wird der Flächeninhalt maximal?
Du musst nun den größt möglichen Flächeninhalt $A$ bestimmen. Dazu suchst du den Scheitelpunkt der Funktion.
$\begin{array}[t]{rll} y_s&=& c-\frac{b^2}{4a} \\[5pt] y_s&=& 27-\frac{3^2}{-8} \\[5pt] y_s&=& 27+\frac{9}{8} \\[5pt] y_s&=& \frac{225}{8} \\[5pt] \end{array}$
Für $x= \frac{3}{4}$ wird der Flächeninhalt maximal. Er beträgt dann $A=\frac{225}{8}$ FE.

Aufgabe 4

Der Punkt $P(u \mid g(u) $ liegt auf der Funktion $g:y=-2x+6$ zwischen den beiden Achsenschnittpunkten. Der Punkt $H(u \mid 0)$ bildet mit dem Ursprung und $P$ ein Dreieck.
a)
$\blacktriangleright$  Skizziere $g$ und ein beliebiges Dreieck.
Quadratische Funktionen: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 3 Skizze
Quadratische Funktionen: Funktionale Abhängigkeit
Abb. 3 Skizze
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhaltsfunktion aufstellen
Der Flächeninhalt des Dreiecks lautet:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{u \cdot g(u)}{2} \\[5pt] A&=& \frac{x \cdot (-2x+6)}{2} \\[5pt] A&=& -x^2+3x &\quad \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion der Flächeninhalts in Abhängigkeit von $x$ lautet : $A=-x^2+3x$.
c)
$\blacktriangleright$  Dreieck mit maximalem Flächeninhalt bestimmen
Um das Dreieck mit dem maximalen Flächeninhalt zu bestimmen, suchst du den Scheitelpunkt der Fuktion $A$.
$\begin{array}[t]{rll} y_s&=& c-\frac{b^2}{4a} \\[5pt] y_s&=& 0-\frac{3^2}{-4} \\[5pt] y_s&=& \frac{9}{4} &\quad \\[5pt] \end{array}$
Das Dreieck hat den maximalen Flächeninhalt, wenn die beiden Punkte $P$ und $H$ die $x$-Koordinate $x=\frac{3}{2}$ haben. Der Flächeninhalt beträgt dann $A=\frac{9}{4}$ FE.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
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[3]
© 2016 – SchulLV.
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