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Herleitung von Funktionsgleichungen

Spickzettel
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Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine passende Funktionsgleichung herzuleiten. Folgende Fälle kann man unterscheiden:
1.
  • Es sind zwei Punkte gegeben
  • Einer der Koeffizienten $a,b$ oder $c$ ist bekannt
Für diesen Fall benötigst du die allgemeine Parabelgleichung. Stelle diese zwei mal allgemein auf:
$y_1=ax_1^2+bx_1+c$
$y_2=ax_2^2+bx_2+c$
Setze in jede Gleichung die Koordinaten eines Punktes ein. Du kannst außerdem den gegebenen Koeffizienten einsetzen und die unbekannten Koeffizienten bestimmen, indem du das Gleichungssystem löst. Du kannst nun die Koeffizienten $a,b$ und $c$ in die allgemeine Parameterform einsetzen und erhältst die gesuchte Funktionsgleichung.
2.
  • Der Scheitel $S(f\;|\;k)$ ist gegeben
  • Der Koeffizient $a$ ist gegeben
Für diesen Fall benötigst du die allgemeine Scheitelform: $y=a(x-f)^2+k$
Setze die Koordinaten des Scheitelpunktes, sowie den Faktor $a$ in die allgemeine Scheitelform ein. Du kannst die Scheitelform in die allgemeine Parabelform überführen, indem du die binomische Formel anwendest.
3.
  • Der Scheitel $S(f\;|\;k)$ ist gegeben
  • Ein weiterer Punkt ist gegeben
Für diesen Fall benötigst du die allgemeine Scheitelform: $y=a(x-f)^2+k$
Setze die Koordinaten des Scheitelpunktes sowie die Koordinaten des Punktes in die allgemeine Scheitelform ein. Durch Umformung erhältst du den Koefizienten $a$. Du kannst die Scheitelform in die allgemeine Parabelform überführen, indem du die binomische Formel anwendest.
#parabelgleichung#parabel#quadratischefunktion#scheitelpunktform#scheitelpunkt
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Bestimme die Gleichung der Parabel. Du hast den Scheitelpunkt $S$ und den Parameter $b$ gegeben. Verwende dazu die Formel zur Bestimmung des Scheitelpunktes.
b)
$S(1 \mid 0)$ und $b=3$
d)
$S(-2 \mid 2)$ und $b=1$

Aufgabe 1

Bestimme die allgemeine Parabelform. Der Scheitelpunkt $S$ und der Punkt $P$ auf der Parabel sind gegeben.
b)
$S(-2 \mid 2)$ und $P(0 \mid 3)$
d)
$S(-0.5 \mid 3.5)$ und $P(1 \mid 8)$

Aufgabe 2

Bestimme die allgemeine Parabelform. Ein Teil der Funktionsgleichung und der Punkt $H$ auf der Parabel sind gegeben.
b)
$y=-x^2-4x+c$ und $H(-3 \mid 6)$
d)
$y=ax^2+2x+6$ und $H(1 \mid 12)$

Aufgabe 3

Bestimme die allgemeine Parabelform. Der Punkt $D$ liegt auf der Parabel.
b)
$y=ax^2+ax+a$ und $D(-2 \mid 3)$
d)
$y=ax^2+2ax+3a$ und $D(1 \mid 12)$

Aufgabe 4

Bestimme die allgemeine Parabelform. Die Punkte $G$ und $H$ liegen auf der Parabel.
b)
$y=ax^2-4x+c$
$G(1 \mid -4)$
$H(-2 \mid 5)$
d)
$y=ax^2-9x+c$
$G(1 \mid -1)$
$H(2 \mid 8)$
f)
$y=ax^2+8x+c$
$G(4 \mid -7)$
$H(3 \mid -1)$

Aufgabe 5

Bestimme die Koeffizienten.
b)
$y=-3(x-3)^2+c$ und $H(2 \mid 3)$
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Einführungsaufgabe

Du sollst die Gleichung der Parabel bestimmen. Dazu hast du den Scheitelpunkt $S$ und den Parameter $b$ gegeben. Die Formel zur Bestimmung des Scheitelpunktes lautet:
$S=\left (-\frac{b}{2a} \mid c - \frac{b^2}{4a}\right )$
$S=\left (-\frac{b}{2a} \mid c - \frac{b^2}{4a}\right )$
Die allgemeine Form einer Parabel lautet:
$y=ax^2+bx+c$
$y=ax^2+bx+c$
b)
$S(1 \mid 0)$ und $b=3$
Zuerst setzt du $x_s$ mit dem Ausdruck der Scheitelpunktformel gleich-
$\begin{array}[t]{rll} x_s&=& -\frac{b}{2a}&\quad \scriptsize \\[5pt] 1 &=& -\frac{3}{2a}&\quad \scriptsize \\[5pt] a &=& -\frac{3}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Dann setzt du $y_s$ mit dem Ausdruck der Scheitelpunktform gleich.
$\begin{array}[t]{rll} y_s&=& c - \frac{b^2}{4a}&\quad \scriptsize \\[5pt] 0 &=& c - \frac{3^2}{4 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)} \\[5pt] 0 &=& c + \frac{9}{6}\\[5pt] c &=& -\frac{3}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion lautet: $y=-\frac{3}{2}x^2+3x-\frac{3}{2}$
d)
$S(-2 \mid 2)$ und $b=1$
Zuerst setzt du $x_s$ mit dem Ausdruck der Scheitelpunktformel gleich-
$\begin{array}[t]{rll} x_s&=& -\frac{b}{2a}&\quad \scriptsize \\[5pt] -2 &=& -\frac{1}{2a}&\quad \scriptsize \\[5pt] a &=& \frac{1}{4}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Dann setzt du $y_s$ mit dem Ausdruck der Scheitelpunktform gleich.
$\begin{array}[t]{rll} y_s&=& c - \frac{b^2}{4a} \\[5pt] 2 &=& c - \frac{1^2}{4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)} \\[5pt] 2 &=& c - \frac{1}{1}&\quad \scriptsize \\[5pt] c &=& 3&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion lautet: $y=\frac{1}{4}x^2+x+3$

Aufgabe 1

Bestimme die allgemeine Parabelform. Der Scheitelpunkt $S$ und der Punkt $P$ auf der Parabel sind gegeben.
Du hast die drei Unbekannten $a$, $b$ und $c$. Deshalb musst du drei Gleichungen aufstellen um die Unbekannten zu bestimmen.
Die ersten beiden stellst du mit hilfe der Formel für den Scheitelpunkt und die letzte mithilfe des Punktes $P$ auf dem Graphen.
$\begin{array}[t]{rll} x_s&=&\frac{-b}{2a} &\quad \scriptsize \\[5pt] y_s&=& c - \frac{b^2}{4a} \\[5pt] y_p&=& ax_p^2+bx_p+c \\[5pt] \end{array}$
Dann setzt du die Gleichungen ineinander ein und bestimmst $a$, $b$ und $c$.
a)
$S(-4 \mid 6)$ und $P(-6 \mid -3)$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x_s&=\frac{-b}{2a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze $x_s$ ein }\\ \text{II}\quad&y_s&=c - \frac{b^2}{4a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze $y_s$ ein }\\ \text{III}\quad&y_p&=ax_p^2+bx_p+c&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze $y_p$ und $x_p$ ein }\\ \hline \text{I(a)}\quad&-4&= \frac{-b}{2a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{forme nach $b$ um }\\ \text{II(a)}\quad&6&= c - \frac{b^2}{4a}&\quad \scriptsize\\ \text{III(a)}\quad&-3&=a(-6)^2+b(-6)+c&\quad\\ \hline \text{I(b)}\quad&b&=8a&\quad \scriptsize\\ \text{II(a)}\quad&6&= c - \frac{b^2}{4a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze }\text{I}\text{ in }\text{II}\text{ ein. }\\ \text{III(b)}\quad&-3&=36a-6b+c&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze }\text{I}\text{ in }\text{III}\text{ ein. }\\ \hline \text{I(b)}\quad&b&=8a&\quad \scriptsize\\ \text{II(b)}\quad&6&= c - \frac{64a^2}{4a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{forme nach $c$ um }\\ \text{III(c)}\quad&-3&=36a-48a+c&\quad \scriptsize\mid\;\text{forme nach $c$ um }\\ \hline \text{I(b)}\quad&b&=8a&\quad \scriptsize\\ \text{II(c)}\quad&c&= 6 +16a&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze }\text{I}\text{ und }\text{II}\text{ gleich }\\ \text{III(d)}\quad&c&=12a-3&\quad \scriptsize\\ \end{array}$
Jetzt kannst du das Gleichsetzungsverfahren für II und III verwenden, da beide gleich $c$ sind.
$\begin{array}{} \text{II} = \text{III}\quad&12a-3&= 6 +16a\\ \quad&-4a&= 9&\quad \scriptsize\\ \quad&a&= -\frac{9}{4}&\quad \scriptsize\\ \end{array}$
$a= -\frac{9}{4}$
Jetzt setzt du $a$ in $I(b)$ ein um $b$ zu bestimmen.
$\begin{array}{} \text{I(b)}\quad&b&=8a&\quad \\ \quad&b&=8\cdot \left(-\frac{9}{4}\right)&\quad \\ \quad&b&=-\frac{72}{4}&\quad \\ \quad&b&=-18&\quad \\ \end{array}$
Jetzt setzt du $a$ in $II(c)$ ein um $c$ zu bestimmen.
$\begin{array}{} \text{II(c)}\quad&c&= 6 +16a&\quad \\ \quad&c&= 6 +16\cdot \left(-\frac{9}{4}\right) \\ \quad&c&= \frac{24}{4} -\frac{144}{4}\\ \quad&c&= \frac{-120}{4}\\ \quad&c&=-30&\quad \scriptsize\\ \end{array}$
Die Funktion lautet: $y=-\frac{9}{4}x^2-18x-30$.
b)
$S(-2 \mid 2)$ und $P(0 \mid 3)$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x_s&=\frac{-b}{2a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze $x_s$ ein }\\ \text{II}\quad&y_s&=c - \frac{b^2}{4a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze $y_s$ ein }\\ \text{III}\quad&y_p&=ax_p^2+bx_p+c&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze $y_p$ und $x_p$ ein }\\ \hline \text{I(a)}\quad&-2&= \frac{-b}{2a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{forme nach $b$ um }\\ \text{II(a)}\quad&2&= c - \frac{b^2}{4a}&\quad \scriptsize\\ \text{III(a)}\quad&3&=a(0)^2+b(0)+c&\quad\\ \hline \text{I(b)}\quad&b&=4a&\quad \scriptsize\\ \text{II(a)}\quad&2&= c - \frac{b^2}{4a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze }\text{I}\text{ und }\text{III}\text{ in }\text{II}\text{ ein. }\\ \text{III(b)}\quad&3&=c&\quad \scriptsize\mid\;\text{forme nach $c$ um }\\ \hline \text{I(b)}\quad&b&=4a&\quad \scriptsize\\ \text{II(b)}\quad&2&= 3 - \frac{16a^2}{4a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{forme nach $c$ um }\\ \text{III(b)}\quad&c&=3&\quad \scriptsize\\ \hline \text{I(b)}\quad&b&=4a&\quad \scriptsize\\ \text{II(c)}\quad&-1&= -4a&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze }\text{I}\text{ und }\text{II}\text{ gleich }\\ \text{III(b)}\quad&c&=3&\quad \scriptsize\\ \hline \text{I(b)}\quad&b&=4a&\quad \scriptsize\\ \text{II(d)}\quad&a&= \frac{1}{4}&\quad \scriptsize\\ \text{III(b)}\quad&c&=3&\quad \scriptsize\\ \end{array}$
Jetzt setzt du $a$ in $I$ ein um $b$ zu bestimmen.
$\begin{array}{} \text{I(b)}\quad&b&=4a&\quad \\ \quad&b&=4\cdot \left(\frac{1}{4}\right) \\ \quad&b&=1&\quad \\ \end{array}$
Die Funktion lautet: $y=\frac{1}{4}x^2+x+3$.
c)
$S(1 \mid 7)$ und $P(-4 \mid -2)$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x_s&=\frac{-b}{2a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze $x_s$ ein }\\ \text{II}\quad&y_s&=c - \frac{b^2}{4a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze $y_s$ ein }\\ \text{III}\quad&y_p&=ax_p^2+bx_p+c&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze $y_p$ und $x_p$ ein }\\ \hline \text{I(a)}\quad&1&= \frac{-b}{2a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{forme nach $b$ um }\\ \text{II(a)}\quad&7&= c - \frac{b^2}{4a}&\quad \scriptsize\\ \text{III(a)}\quad&-2&=a(-4)^2+b(-4)+c&\quad\\ \hline \text{I(b)}\quad&b&=-2a&\quad \scriptsize\\ \text{II(a)}\quad&7&= c - \frac{b^2}{4a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze }\text{I}\text{ in }\text{II}\text{ ein. }\\ \text{III(b)}\quad&-2&=16a-4b+c&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze }\text{I}\text{ in }\text{III}\text{ ein. }\\ \hline \text{I(b)}\quad&b&=-2a&\quad \scriptsize\\ \text{II(b)}\quad&7&= c - \frac{4a^2}{4a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{forme nach $c$ um }\\ \text{III(c)}\quad&-2&=16a+8a+c&\quad \scriptsize\mid\;\text{forme nach $c$ um }\\ \hline \text{I(b)}\quad&b&=-2a&\quad \scriptsize\\ \text{II(c)}\quad&c&= 7 +1a&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze }\text{I}\text{ und }\text{II}\text{ gleich }\\ \text{III(d)}\quad&c&=-24a-2&\quad \scriptsize\\ \end{array}$
Jetzt kannst du das Gleichsetzungsverfahren für II und III verwenden, da beide gleich $c$ sind.
$\begin{array}{} \text{II} = \text{III}\quad&7+a&= -24a-2\\ \quad&25a&= -9&\quad \scriptsize\\ \quad&a&= -\frac{9}{25}&\quad \scriptsize\\ \end{array}$
$a= -\frac{9}{25}$
Jetzt setzt du $a$ in $I(b)$ ein um $b$ zu bestimmen.
$\begin{array}{} \text{I(b)}\quad&b&=-2a&\quad \\ \quad&b&=-2 \cdot (-\frac{9}{25})&\quad \\ \quad&b&=\frac{18}{25}&\quad \\ \end{array}$
Jetzt setzt du $a$ in $II(c)$ ein um $c$ zu bestimmen.
$\begin{array}{} \text{II(c)}\quad&c&= 7+a&\quad \\ \quad&c&= 7-\frac{9}{25}&\quad \scriptsize\\ \quad&c&= \frac{175}{25}-\frac{9}{25}\\ \quad&c&= \frac{166}{25}\\ \end{array}$
Die Funktion lautet: $y=-\frac{9}{25}x^2+\frac{18}{25}x+\frac{166}{25}$.
d)
$S(-0.5 \mid 3.5)$ und $P(1 \mid 8)$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x_s&=\frac{-b}{2a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze $x_s$ ein }\\ \text{II}\quad&y_s&=c - \frac{b^2}{4a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze $y_s$ ein }\\ \text{III}\quad&y_p&=ax_p^2+bx_p+c&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze $y_p$ und $x_p$ ein }\\ \hline \text{I(a)}\quad&-0,5&= \frac{-b}{2a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{forme nach $b$ um }\\ \text{II(a)}\quad&3,5&= c - \frac{b^2}{4a}&\quad \scriptsize\\ \text{III(a)}\quad&8&=a(1)^2+b(1)+c&\quad\\ \hline \text{I(b)}\quad&b&=a&\quad \scriptsize\\ \text{II(a)}\quad&3,5&= c - \frac{b^2}{4a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze }\text{I}\text{ in }\text{II}\text{ ein. }\\ \text{III(b)}\quad&8&=a+b+c&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze }\text{I}\text{ in }\text{III}\text{ ein. }\\ \hline \text{I(b)}\quad&b&=a&\quad \scriptsize\\ \text{II(b)}\quad&3,5&= c - \frac{a^2}{4a}&\quad \scriptsize\mid\;\text{forme nach $c$ um }\\ \text{III(c)}\quad&8&=2a+c&\quad \scriptsize\mid\;\text{forme nach $c$ um }\\ \hline \text{I(b)}\quad&b&=a&\quad \scriptsize\\ \text{II(c)}\quad&c&= 3,5+\frac{1}{4}a&\quad \scriptsize\mid\;\text{setze }\text{I}\text{ und }\text{II}\text{ gleich }\\ \text{III(d)}\quad&c&=8-2a&\quad \scriptsize\\ \end{array}$
Jetzt kannst du das Gleichsetzungsverfahren für II und III verwenden, da beide gleich $c$ sind.
$\begin{array}{} \text{II} = \text{III}\quad& 3,5+\frac{1}{4}a&= 8-2a&\quad \scriptsize\\ \quad&\frac{9}{4}a&= 4,5&\quad \scriptsize\\ \quad&\frac{9}{4}a&= \frac{18}{4}&\quad \scriptsize\\ \quad&a&= 2&\quad \scriptsize\\ \end{array}$
$a=2$
Jetzt setzt du $a$ in $I(b)$ ein um $b$ zu bestimmen.
$\begin{array}{} \text{I(b)}\quad&b&=a&\quad \\ \quad&b&=2&\quad \\ \end{array}$
Jetzt setzt du $a$ in $II(d)$ ein um $c$ zu bestimmen.
$\begin{array}{} \text{II(d)}\quad&c&= 8-2a&\quad \\ \quad&c&= 8-2\cdot 2&\quad \scriptsize\\ \quad&c&= 4&\quad \scriptsize\\ \end{array}$
Die Funktion lautet: $y=2x^2+2x+4$.

Aufgabe 2

Du sollst die allgemeine Parabelform aufstellen. Dazu setzt du den Punkt $H$ in die Parabel ein.
b)
$y=-x^2-4x+c$ und $H(-3 \mid 6)$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2-4x+c &\quad \scriptsize \\[5pt] 6 &=& -(-3)^2-4(-3)+c \\[5pt] 6 &=& -9+12+c &\quad \scriptsize \\[5pt] c &=& 3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion lautet damit: $y=-x^2-4x+3$
d)
$y=ax^2+2x+6$ und $P(1 \mid 12)$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& ax^2+2x+6 &\quad \scriptsize \\[5pt] 12 &=& a(1)^2+2(1)+6 \\[5pt] 12 &=& a+8 &\quad \scriptsize \\[5pt] a &=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion lautet damit: $y=4x^2+2x+6$

Aufgabe 3

Du sollst die allgemeine Parabelform aufstellen. Dazu setzt du den Punkt $H$ in die Parabel ein und lößt die Gleichung nach $a$ auf.
b)
$y=ax^2+ax+a$ und $H(-2 \mid 3)$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& ax^2+ax+a &\quad \scriptsize \\[5pt] 3 &=& a(-2)^2+a(-2)+a \\[5pt] 3 &=& 4a-2a+a &\quad \scriptsize \\[5pt] a &=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Jetzt kannst du den Parameter $a=1$ in die Parabelgleichung einsetzen.
Die Funktion lautet :$y=x^2+x+1$.
d)
$y=ax^2+2ax+3a$ und $P(1 \mid 12)$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& ax^2+2ax+3a &\quad \scriptsize \\[5pt] 12 &=& a(1)^2+2a(1)+3a \\[5pt] 12 &=& a+2a+3a &\quad \scriptsize \\[5pt] a &=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Jetzt kannst du den Parameter $a=2$ in die Parabelgleichung einsetzen.
Die Funktion lautet :$y=2x^2+2\cdot 2x+3 \cdot 2$.
$y=2x^2+4x+6$

Aufgabe 4

Du sollst die allgemeine Parabelform mithilfe der beiden Punkte $G$ und $H$ auf dem Graphen der Parabel bestimmen. Dazu setzt du beide Punkte in die Funktionsgleichung ein und lößt das lineare Gleichungssystem.
a)
$y=ax^2+6x+c$
$G(-2 \mid 1)$
$H(1 \mid 10)$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=& ax^2+6x+c \quad\scriptsize\mid\;\text{setze $G$ ein } \\ \text{II}\quad&y&=& ax^2+6x+c \quad\scriptsize\mid\;\text{setze $H$ ein }\\ \hline \text{I(a)}\quad&1&=& a(-2)^2+6(-2)+c \quad \\ \text{II(a)}\quad&10&=& a \cdot 1^2+6\cdot 1+c \quad\\ \hline \text{I(b)}\quad&1&=& 4a-12+c \quad \\ \text{II(b)}\quad&10&=& a+6+c \quad\\ \hline \text{I(c)}\quad&13&=& 4a+c \quad \\ \text{II(c)}\quad&4-c&=& a \quad\\ \hline \end{array}$
Jetzt verwendest du das Einsetzungsverfahren und setzt $a$ in I(c) ein.
$\begin{array}[t]{rll} 13&=& 4a+c &\quad \\[5pt] 13&=& 4(4-c)+c &\quad \scriptsize \\[5pt] 13&=& 16-4c+c &\quad \scriptsize \\[5pt] -3&=& -3c &\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Um $a$ zu bestimmen setzt du $c$ in II(c) ein.
$\begin{array}[t]{rll} 4-c &=& a &\quad \\[5pt] 4-1 &=& a &\quad \scriptsize \\[5pt] a &=& 3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du kannst $a$ und $c$ in die Funktion einsetzen. $y=3x^2+6x+1$
b)
$y=ax^2-4x+c$
$G(1 \mid -4)$
$H(-2 \mid 5)$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=& ax^2-4x+c \quad\scriptsize\mid\;\text{setze $G$ ein } \\ \text{II}\quad&y&=& ax^2-4x+c \quad\scriptsize\mid\;\text{setze $H$ ein }\\ \hline \text{I(a)}\quad&-4&=& a(1)^2-4(1)+c \quad \\ \text{II(a)}\quad&5&=& a (-2)^2-4(-2)+c \quad\\ \hline \text{I(b)}\quad&-4&=& a-4+c \quad \\ \text{II(b)}\quad&5&=& 4a+8+c \quad\\ \hline \text{I(c)}\quad&-c&=& a \quad \\ \text{II(c)}\quad&-3&=& 4a+c \quad\\ \hline \end{array}$
Jetzt verwendest du das Einsetzungsverfahren und setzt $a$ in II(c) ein.
$\begin{array}[t]{rll} -3&=& 4a+c &\quad \\[5pt] -3&=& 4(-c)+c &\quad \scriptsize \\[5pt] -3&=& -3c &\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Um $a$ zu bestimmen setzt du $c$ in I(c) ein.
$\begin{array}[t]{rll} -c &=& a &\quad \\[5pt] a &=& -1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du kannst $a$ und $c$ in die Funktion einsetzen. $y=-x^2-4x+1$
c)
$y=ax^2+2x+c$
$G(0 \mid 3)$
$H(-3 \mid 15)$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=& ax^2+2x+c \quad\scriptsize\mid\;\text{setze $G$ ein } \\ \text{II}\quad&y&=& ax^2+2x+c \quad\scriptsize\mid\;\text{setze $H$ ein }\\ \hline \text{I(a)}\quad&3&=& a(0)^2+2(0)+c \quad \\ \text{II(a)}\quad&15&=& a (-3)^2+2(-3)+c \quad\\ \hline \text{I(b)}\quad&3&=& c \quad \\ \text{II(b)}\quad&15&=& 9a-6+c \quad\\ \hline \text{I(b)}\quad&c&=& 3 \quad \\ \text{II(c)}\quad&21&=& 9a+c \quad\\ \hline \end{array}$
Jetzt verwendest du das Einsetzungsverfahren und setzt $c$ in II(c) ein.
$\begin{array}[t]{rll} 21&=& 9a+c &\quad \\[5pt] 21&=& 9a+3 &\quad \scriptsize \\[5pt] 18&=& 9a &\quad \scriptsize \\[5pt] a&=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du kannst $a$ und $c$ in die Funktion einsetzen. $y=2x^2+2x+3$
d)
$y=ax^2-9x+c$
$G(1 \mid -1)$
$H(2 \mid 8)$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=& ax^2-9x+c \quad\scriptsize\mid\;\text{setze $G$ ein }\\ \text{II}\quad&y&=& ax^2-9x+c \quad\scriptsize\mid\;\text{setze $H$ ein }\\ \hline \text{I(a)}\quad&-1&=& a(1)^2-9(1)+c \quad \\ \text{II(a)}\quad&8&=& a (2)^2-9(2)+c \quad\\ \hline \text{I(b)}\quad&-1&=& a-9+c \quad \\ \text{II(b)}\quad&8&=& 4a-18+c \quad\\ \hline \text{I(c)}\quad&8-c&=& a \quad \\ \text{II(c)}\quad&26&=& 4a+c \quad\\ \hline \end{array}$
Jetzt verwendest du das Einsetzungsverfahren und setzt $a$ in II(c) ein.
$\begin{array}[t]{rll} 26&=& 4a+c &\quad \\[5pt] 26&=& 4(8-c)+c &\quad \scriptsize \\[5pt] 26&=& 32-4c+c &\quad \scriptsize \\[5pt] -6&=& -3c &\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Um $a$ zu bestimmen setzt du $c$ in I(c) ein.
$\begin{array}[t]{rll} 8-c &=& a &\quad \scriptsize \mid\text{setze $c$ ein}\; \\[5pt] 8-2 &=& a &\quad \scriptsize \\[5pt] a &=& 6 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du kannst $a$ und $c$ in die Funktion einsetzen. $y=6x^2-9x+2$
e)
$y=ax^2+3x+c$
$G(-2 \mid -17)$
$H(3 \mid -12)$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=& ax^2+3x+c \quad\scriptsize\mid\;\text{setze $G$ ein } \\ \text{II}\quad&y&=& ax^2+3x+c \quad\scriptsize\mid\;\text{setze $H$ ein }\\ \hline \text{I(a)}\quad&-17&=& a(-2)^2+3(-2)+c \quad \\ \text{II(a)}\quad&-12&=& a (3)^2+3(3)+c \quad\\ \hline \text{I(b)}\quad&-17&=& 4a-6+c \quad \\ \text{II(b)}\quad&-12&=& 9a+9+c \quad\\ \hline \text{I(c)}\quad&-11-4a&=& c \quad \\ \text{II(c)}\quad&-21-9a&=& c \quad\\ \hline \end{array}$
Jetzt verwendest du das Gleichsetzungverfahren und setzt I(c) in II(c) gleich.
$\begin{array}[t]{rll} -11-4a&=& -21-9a \\[5pt] 10&=& -5a \\[5pt] a&=& -2 \\[5pt] \end{array}$
Um $c$ zu bestimmen setzt du $a$ in I(c) ein.
$\begin{array}[t]{rll} -11-4a &=& c \\[5pt] -11-4(-2) &=& c \\[5pt] c &=& -3 \\[5pt] \end{array}$
Du kannst $a$ und $c$ in die Funktion einsetzen. $y=-2x^2+3x-3$
f)
$y=ax^2+8x+c$
$G(4 \mid -7)$
$H(3 \mid -1)$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=& ax^2+8x+c \quad\scriptsize\mid\;\text{setze $G$ ein } \\ \text{II}\quad&y&=& ax^2+8x+c \quad\scriptsize\mid\;\text{setze $H$ ein }\\ \hline \text{I(a)}\quad&-7&=& a(4)^2+8(4)+c \quad \\ \text{II(a)}\quad&-1&=& a (3)^2+8(3)+c \quad\\ \hline \text{I(b)}\quad&-7&=& 16a+32+c \quad \\ \text{II(b)}\quad&-1&=& 9a+24+c \quad\\ \hline \text{I(c)}\quad&-39-16a&=& c \quad \\ \text{II(c)}\quad&-25-9a&=& c \quad\\ \hline \end{array}$
Jetzt verwendest du das Gleichsetzungverfahren und setzt I(c) in II(c) gleich.
$\begin{array}[t]{rll} -39-16a&=& -25-9a &\quad \\[5pt] -14&=& 7a &\quad \scriptsize \\[5pt] a&=& -2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Um $c$ zu bestimmen setzt du $a$ in I(c) ein.
$\begin{array}[t]{rll} -39-16a&=& c &\quad \\[5pt] -39-16(-2) &=& c &\quad \scriptsize \\[5pt] c &=& -7 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du kannst $a$ und $c$ in die Funktion einsetzen. $y=-2x^2+8x-7$

Aufgabe 5

Du sollst die Koeffizienten bestimmen. Dazu setzt du den Punkt $H$ in die Funktion ein.
b)
$y=-3(x-3)^2+c$ und $H(2 \mid 3)$
Setze den Punkt $H$ in die Funktion ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -3(x-3)^2+c &\quad \\[5pt] 3&=& -3(2-3)^2+c &\quad \\[5pt] 3&=& -3(-1)^2+c &\quad \\[5pt] 3&=& -3+c &\quad \\[5pt] c&=& 6 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Damit lautet die Funktion: $y=-3(x-3)^2+6$
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