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Funktionsgleichungen aufstellen

Spickzettel
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Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 1: Lineare Funktion
Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 1: Lineare Funktion
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Einführung

Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 1: Streaminganbieter im Vergleich
Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 1: Streaminganbieter im Vergleich

Erklärung

Um die Streaminganbieter zu vergleichen, kannst du die Angebote der Anbieter in lineare Funktionen umwandeln. Wähle hierbei ein Koordinatensystem, welches auf der $x$-Achse die Anzahl der Filme angibt und auf der $y$-Achse den zugehörigen Preis in €.
Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion besitzt folgende Form:
$y = m\cdot x+b$
$y = m\cdot x+b$
Um die Funktionsgleichung (Geradengleichung) zu bestimmen, benötigst du also die Steigung $m$ und den $y$- Achsenabschnitt $b$. Je nachdem, welche Informationen gegeben sind, gibt es verschiedene Herangehensweisen:
In unserem Beispiel ist der Preis pro Film die Steigung $m$ und der Grundpreis pro Monat ist der $y$-Achsenabschnitt der Geraden. Der Grundpreis muss jeden Monat gezahlt werden, also auch falls Jonas keinen Film anschaut.
Für Easystream gilt folgendes:
$m_2=0,1 \dfrac{\text{€}}{\text{Film}}$ und $b_2=10,00 \text{ €}$
Daraus folgt durch Einsetzen der Werte in die allgemeine Funktionsgleichung:
$y_2 = 0,1 \dfrac{\text{€}}{\text{Film}} \cdot x + 10,00 \text{€}$
Nun kannst du die Anbieter vergleichen, indem du die beiden Funktionen in einem geeigneten Koordinatensystem darstellst.
Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 2: Vergleich der Anbieter
Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 2: Vergleich der Anbieter
Anhand der Schaubilder kannst du ablesen, dass falls Jonas weniger als $50$ Filme schaut, Billigstream der günstigere Anbieter ist. Falls Jonas mehr als $50$ Filme pro Monat schaut ist Easystream der billigere Anbieter. An dem Punkt P sind beide Anbieter genau gleich teuer, da Jonas bei gleicher Anzahl an Filmen den gleichen Preis bezahlen muss.

Methoden zur Bestimmung der Funktionsgleichung

Eine Funktionsgleichung kann man je nach den gegebenen Angaben unterschiedlich bestimmen.

Punkt und $y$-Achsenabschnitt gegeben

Sind dir der $y$-Achsenabschnitt $b$ und die Koordinaten eines Punkts $P(x_P\mid y_P)$ gegeben, gehe wie folgt vor:
1.
Setze $b$ in die allgemeine Funktionsgleichung $y =m\cdot x+b$ ein.
2.
Setze zusätzlich für $x$ und $y$ die Koordinaten $x_P$ und $y_P$ ein. Löse die Gleichung nach $m$ auf.
3.
Setze dies zusammen mit $b$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.

Punkt und Steigung gegeben

Sind die Steigung $m$ und die Koordinaten eines Punktes $P(x_P\mid y_P)$ gegeben, hast du zwei Möglichkeiten:
2.
Möglichkeit: Einsetzen und Gleichung lösen
1.
Setze $m$ in die allgemeine Funktionsgleichung $y =m\cdot x+b$ ein.
2.
Setze zusätzlich für $x$ und $y$ die Koordinaten $x_P$ und $y_P$ ein. Löse die Gleichung nach $b$.
3.
Setze dies zusammen mit $m$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.

Zwei Punkte gegeben

Sind die Koordinaten zweier Punkte $P_1(x_1\mid y_1)$ und $P_2(x_2\mid y_2)$ gegeben, hast du zwei Möglichkeiten:
2.
Möglichkeit: Lineares Gleichungssystem
1.
Setze jeweils die Koordinaten $x_1$, $y_1$ für $x$, $y$ in die allgemeine Funktionsgleichung $y =m\cdot x+b$ ein.
2.
Du erhältst so ein lineares Gleichungssystem (LGS), das aus zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten $m$ und $b$ besteht.
3.
Löse das LGS mit den dir bekannten Methoden und setze die berechneten Werte von $m$ und $b$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
Merke:
Überprüfe zuerst deine gegebenen Angaben und wähle anschließend ein passendes Verfahren aus!
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Überprüfe zuerst deine gegebenen Angaben und wähle anschließend ein passendes Verfahren aus!
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1.
Stelle die Funktionsgleichung der einzelnen Geraden auf.
Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 1: Verschiedene Geraden
Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 1: Verschiedene Geraden
2.
Gegeben ist die Funktionsgleichung $y=mx$. Bestimme die Steigung $m$ so, dass der Punkt auf der Geraden liegt.
b)
$B(3\mid -0,75)$
3.
Bestimme die Geradengleichung
b)
$m=-1$; $P(-2\mid 4)$
d)
$b=-1$; $P(3\mid -4)$
4.
Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 2: Blue Fire Megacoaster
Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 2: Blue Fire Megacoaster
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https://de.wikipedia.org/wiki/Blue_Fire_Megacoaster#/media/File:BlueFire_launch.jpg – Versgui CC BY-SA.
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1.
Geradengleichung bestimmen
Beim Aufstellen einer Funktionsgleichung muss zuerst auf den $y$-Achsenabschnitt geachtet werden. Denn von diesem ausgehend kann die Steigung ermittelt werden. Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist $y=mx+b$.
Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 1: Funktionsgraph 1
Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 1: Funktionsgraph 1
Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 2: Funktionsgraph 2
Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 2: Funktionsgraph 2
Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 3: Funktionsgraph 3
Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 3: Funktionsgraph 3
Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 4: Funktionsgraph 4
Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 4: Funktionsgraph 4
2.
Geradengleichung bestimmen
a)
Damit der Punkt auf der Geraden liegt, muss die Funktionsgleichung $y=m x$ erfüllt sein.
Einsetzen von $A(2\mid4)$ in $y=mx$
$P$ eingesetzt in $y=2x+b$
$\begin{array}{rll} 4&=&m\cdot2&\quad\mid\; :2\\[5pt] 2&=&m\\[5pt] \end{array}$
Damit ist die gesuchte Gerade $y=2x$.
b)
Damit der Punkt auf der Geraden liegt, muss die Funktionsgleichung $y=m x$ erfüllt sein.
Einsetzen von $B(3\mid-0,75 )$ in $y=mx}$
$P$ eingesetzt in $y=2x+b$
$\begin{array}{rll} -0,75&=&m\cdot3&\quad\mid\; :3 \\[5pt] -\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{3}&=&m \\[5pt] -\dfrac{3}{12}=-\dfrac{1}{4}&=&m\\[5pt] \end{array}$
Damit ist die gesuchte Gerade $y=-\dfrac{1}{4}x$.
3.
Geradengleichung bestimmen
Eine allgemeine Geradengleichung lautet $y=mx+b$. Mithilfe von $m$ und einem Punkt kann man nun die Geradengleichung aufstellen.
a)
$m=2$; $P(1\mid3)$
$y=2x+b$
$P$ eingesetzt in $y=2x+b$:
$\begin{array}{rll} 3&=&2\cdot1+b&\quad\mid-2\\[5pt] 1&=&b \end{array}$
Damit ergibt sich für die Geradengleichung $y=2x+1$.
b)
$m=-1$; $P(-2\mid 4)$
$y=-x+b$
$P$ eingesetzt in $y=-x+b$:
$\begin{array}{rll} 4&=&-(-2)+b&\quad\mid-2\\[5pt] 2&=&b\\[5pt] \end{array}$
Damit ergibt sich für die Geradengleichung $y=-x+2$.
c)
$b=2$; $P(1\mid 5)$
$y=mx+2$
$P$ eingesetzt in $y=mx+2$:
$\begin{array}{rll} 5&=&m\cdot1+2&\quad\mid\;-2\\[5pt] m&=&3\\[5pt] \end{array}$
Damit ergibt sich für die Geradengleichung $y=3x+2$.
d)
$b=-1$; $P(3\mid-4)$
$y=mx-1$
$P$ eingesetzt in $y=mx-1$:
$\begin{array}{rll} -4&=&m\cdot3-1&\quad\mid\;+1\\[5pt] -3&=&3m&\quad \mid\;:3 \\[5pt] m&=&-1 \\[5pt] \end{array}$
Damit ergibt sich für die Geradengleichung $y=-x-1$.
4.
Blue Fire Megacoaster
Die Gerade verläuft durch den Ursprung $P1(0\mid0)$, deshalb beträgt der $y$-Achsenabschnitt $b=0$. Außerdem verläuft die Gerade durch den Punkt $P2(2,5\mid28)$. Für die Gerade ergibt sich somit folgendes Schaubild.
Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 5: Geschwindigkeit der Blue Fire
Quadratische Funktionen: Funktionsgleichungen aufstellen
Abb. 5: Geschwindigkeit der Blue Fire
Nun kannst du die Steigung mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen. Somit gilt für $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. Setzt du nun für $\Delta x$ und für $\Delta y$ die entsprechenden Werte ein, erhalten wir für die Steigung $m$.
$\begin{array}{rll} m&=&\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \\[5pt] m&=& \dfrac{28 \frac{\text{m}}{\text{s}}}{2,5 \text{s}} \\[5pt] m&=&11,2 \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung für die Geschwindigkeit in den ersten $2,5$ Sekunden lautet somit $y = 11,2 \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot x$.
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