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Lösungsformel

Spickzettel
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Eine gemischtquadratsiche Gleichung mit der allgemeinen Form $ax^2+bx+c=0$ lässt sich durch folgende Lösungsformel lösen:
$x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Hierfür muss $a \neq 0$ gelten. Diese Lösungsformel wird auch Mitternachtsformel oder $a-b-c$ -Formel genannt. Der Term $D=b^2-4ac$ wird hierbei Diskriminante genannt. Es gilt für die Anzahl der Lösungen für $x$ folgende Fälle in Abhängigkeit der Diskrimante:
$\blacktriangleright$ Fall 2: $\boldsymbol{ D=0}$
Für $D=0$ gibt es genau eine mögliche Lösung für $x$.
#mitternachtsformel
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Gegeben ist eine Gleichung der Form $ax^2+bx+c=0$.
a)
Bestimme mit Hilfe quadratischer Ergänzung die Lösungsmenge dieser quadratischen Gleichung.
b)
Nutze deine Ergebnisse aus dem ersten Aufgabenteil, um die Lösungsmenge folgender Gleichung zu bestimmen: $2x^2+8x-10=0$
c)
Unter welchen Bedingungen für $a$,$b$ und $c$ hat die Gleichung zwei, eine oder keine Lösung?
d)
Leite die Lösungsformel für $x^2+px+q=0$ her.
#lösungsmenge#quadratischegleichung

Aufgabe 1

Berechne die Lösungsmenge mit der abc-Formel und runde geeignet.
b)
$x^2+4x=-4$
d)
$\frac{4}{9}+5x-x^2=0$
f)
$6,25x^2-2x+1=0$
h)
$-13+5x^2+7x=0$
#quadratischegleichung#lösungsmenge#abc-formel

Aufgabe 2

Bringe die angegebenen Gleichungen in die Normalform $x^2+px+q=0$. Bestimme anschließend die Lösungsmenge mithilfe der PQ-Formel.
b)
$2x^2=-4x$
d)
$\frac{9}{4}-6x=3x^2$
f)
$6,25x^2-2x+1=x$
#lösungsmenge#quadratischegleichung#pq-formel

Aufgabe 3

Bringe die angegebenen Gleichungen in die Form $ax^2+bx+c=0$. Bestimme anschließend die Lösungsmenge. Verwende deinen Taschenrechner und runde gegebenenfalls.
a)
$7x\cdot (5x-3)=(x+6)\cdot 2x+5$
b)
$0,5x\cdot [(3+2x)+10x]=3x+4\cdot(2x-0,5)\cdot(2x+0,5)$
c)
$(-5+3x)^2-34=(2x+6)\cdot(x+4)-(0,25x+6)^2$
d)
$x(3-2^2x)+(2x-2)^2=[8\cdot(3+5x)+6x]\cdot 1,5x$
e)
$(5+3x)\cdot (-3x+5)=2x^2+[3x\cdot(12-8x)]\cdot 0,5$
f)
$(2x+6)\cdot (-2x-6)=x\cdot[3+(4x-7)\cdot 5]+8$
#lösungsmenge#quadratischegleichung

Aufgabe 4

Bestimme zunächst die Diskriminante und gib die Anzahl der Lösungen an. Berechne anschließend die Lösungsmenge.
b)
$0,25-8x=-60x^2$
d)
$10x-0,5x^2+18=0$
f)
$-1,25x^2+3x-1,8=0$
h)
$12x=1,25x^2+27$
#quadratischegleichung#lösungsmenge

Aufgabe 5

Die Seiten eines Rechtecks sind $5\,\text{cm}$ und $8\,\text{cm}$ lang. Eine Seite wird um $x\,\text{cm}$ verkürzt und die andere um $x\,\text{cm}$ verlängert. Bestimme $x$ so, dass das Rechteck eine Größe von $33,25\,\text{cm}^2$ hat.
#quadratischegleichung

Aufgabe 6

Gegeben ist die Parabelschar $f_b(x)= \left(x-4\right)^2+b$. Gib an, für welche Werte von $b$ die Funktion zwei, eine oder keine Lösung hat.
#funktionenschar

Aufgabe 7

Bestimme zuerst die Definitions- und anschließend die Lösungsmenge der Gleichung.
b)
$\dfrac{x-4}{2}=\dfrac{6x-1}{3x}$
d)
$\dfrac{3x+3}{3-x}=\dfrac{2-2x}{3x-3}$
#lösungsmenge#definitionsbereich

Aufgabe 8

Wie lang und breit ist ein Schuhkarton, wenn er doppelt so lang wie breit ist und bei einer Höhe von $12\,\text{cm}$ ein Volumen von $6,144\,\text{dm}^3$ besitzt?
#quadratischegleichung
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Lösungsformel herleiten
Berechne die Lösungsmenge der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} ax^2+bx+c&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :a\\[5pt] x^2 +\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \color{#87c800}{\text{quadratische Ergänzung}}\\[5pt] x^2+\dfrac{b}{a}x\color{#87c800}{+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2}+\dfrac{c}{a} &=& 0 \\[5pt] \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\left(\frac{b}{2a}\right)^2\\[5pt] \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a} &=& \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{c}{a}\\[5pt] \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 &=& \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a} \\[5pt] \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 &=& \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a} \\[5pt] \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 &=& \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{4ac}{4a^2} \\[5pt] \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 &=& \dfrac{b^2-4ac}{4a^2} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] x+\dfrac{b}{2a} &=& \pm \sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}} &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{b}{2a} \\[5pt] x &=& -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}} \\[5pt] x &=& -\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[10pt] x_1 &=& \dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_2 &=& \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{array}$
Damit hast du die beiden Lösungen der Gleichung bestimmt. Allgemeiner gesagt, hast du jetzt eine Lösungsformel, mit welcher du die beiden Lösungen einer gemischtquadratischen Gleichung direkt ermitteln kannst. Diese wird auch Mitternachts- oder abc-Formel genannt.
b)
$\blacktriangleright$ Lösungsformel anwenden
Nun nutzt du die Lösungsformel, um die Lösungsmenge der Gleichung zu bestimmen. Lese dafür die Werte für $a$, $b$ und $c$ an der Gleichung ab. Es gilt: $a=2$,$b=8$ und $c=-10$.
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& \dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-8-\sqrt{8^2-4\cdot 2 \cdot \left(-10\right)}}{2\cdot2} \\[5pt] &=& \dfrac{-8-\sqrt{64+80}}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{-8-\sqrt{144}}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{-8-12}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{-20}{4} \\[5pt] &=& -5 \\[10pt] x_2 &=& \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-8+\sqrt{8^2-4\cdot 2 \cdot \left(-10\right)}}{2\cdot2} \\[5pt] &=& \dfrac{-8+\sqrt{64+80}}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{-8+\sqrt{144}}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{-8+12}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{4} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& \dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& -5 \\[10pt] x_2 &=& \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-5;1\}$.
c)
$\blacktriangleright$ Bedingungen für Lösungsanzahl bestimmen
Schau dir die Lösungsformel genau an:
$\begin{array}[t]{rll} x &=& \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{array}$
Zwei Lösungen:
Damit die Gleichung zwei Lösungen hat, muss der Wert der Wurzel im Zähler des Bruches existieren, das bedeutet:
$\begin{array}[t]{rll} b^2-4ac &>& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +4ac\\[5pt] b^2 &>& 4ac \end{array}$
Eine Lösung:
Damit die Gleichung eine Lösungen hat, muss der Wert der Wurzel Null sein. Daher gilt:
$\begin{array}[t]{rll} b^2-4ac &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +4ac\\[5pt] b^2 &=& 4ac \end{array}$
Keine Lösung:
Damit die Gleichung keine Lösungen hat, muss der Wert unter der Wurzel kleiner als Null sein. Daher gilt:
$\begin{array}[t]{rll} b^2-4ac &<& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +4ac\\[5pt] b^2 &<& 4ac \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$ Alternative Lösungsformel herleiten
Bestimme die Lösungsmenge mithilfe quadratischer Ergänzung.
$\begin{array}[t]{rll} x^2+px+q&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; \color{#87c800}{\text{quadratische Ergänzung}} \\[5pt] x^2+px+\color{#87c800}{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-\left(\dfrac{p}{2}\right)^2}+q&=& 0 \\[5pt] \left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2 -\left(\dfrac{p}{2}\right)^2+q&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 \\[5pt] \left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2+q &=& \left(\dfrac{p}{2}\right)^2 &\quad \scriptsize \mid\; -q \\[5pt] \left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2 &=& \left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] x+\dfrac{p}{2} &=& \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{p}{2}\\[5pt] x &=& -\dfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \end{array}$
Nun hast du eine weitere Lösungsformel für gemischtquadratische Gleichungen bestimmt. Diese ist als pq-Formel bekannt.
#lösungsmenge#quadratischegleichung#abc-formel#pq-formel

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
Bestimme zuerst die Werte der notwendigen Parameter. Setze diese anschließend in die Lösungsformel ein und berechne die Lösungen.
$a=3$, $b=9$, $c=-12$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-9 \pm \sqrt{9^2-4\cdot 3 \cdot (-12)}}{2\cdot 3} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-9 \pm \sqrt{81+144}}{6} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-9 \pm \sqrt{225}}{6} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-9 \pm 15}{6} \\[10pt] x_1&=& \dfrac{-9 - 15}{6} \quad =\dfrac{-24}{6} \quad = -4 \\[5pt] x_2&=& \dfrac{-9 + 15}{6} \quad = \dfrac{6}{6} \quad =1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-9 \pm \sqrt{225}}{6} \\[10pt] x_1&=& -4 \\[5pt] x_2&=& 1 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-4; 1\}$.
b)
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$a=1$, $b=4$, $c=4$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{2} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-4 \pm \sqrt{0}}{2} \\[5pt] x&=& \dfrac{-4}{2} \\[5pt] x&=& -2 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-4 \pm \sqrt{0}}{2} \\[5pt] x&=& \dfrac{-4}{2} \\[5pt] x&=& -2 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung hat nur eine Lösung. Daher ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-2\}$.
c)
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$a=0,5$, $b=-13$, $c=2$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-(-13) \pm \sqrt{\left(-13\right)^2-4\cdot 0,5\cdot 2}}{2\cdot 0,5} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{13 \pm \sqrt{169-4}}{1} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{13 \pm \sqrt{165}}{1} \\[5pt] x_{1,2}&=& 13 \pm \sqrt{165} \\[5pt] x_{1,2}&\approx& 13 \pm 12,85 \\[10pt] x_1&\approx& 13 - 12,85 \quad \approx 0,15\\[5pt] x_2&\approx& 13 + 12,85 \quad \approx 25,85 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{13 \pm \sqrt{165}}{1} \\[10pt] x_1&\approx& 0,15\\[5pt] x_2&\approx& 25,85 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{0,15; 25,85\}$.
d)
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$a=-1$, $b=5$, $c=\frac{4}{9}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4\cdot (-1)\cdot \frac{4}{9}}}{2\cdot (-1)} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-5 \pm \sqrt{25+ \frac{16}{9}}}{-2} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-5 \pm \sqrt{26 \frac{7}{9}}}{-2} \\[5pt] x_{1,2}&\approx& \dfrac{-5 \pm 5,17}{-2} \\[10pt] x_1&\approx& \dfrac{-5 - 5,17}{-2} \quad \approx \dfrac{-10,17}{-2} \quad \approx 5,085 \\[5pt] x_2&\approx& \dfrac{-5 + 5,17}{-2} \quad \approx \dfrac{0,17}{-2} \quad \approx-0,085 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-5 \pm \sqrt{26 \frac{7}{9}}}{-2} \\[10pt] x_1&\approx& 5,085 \\[5pt] x_2&\approx& -0,085 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-0,085; 5,085\}$.
e)
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$a=8$, $b=-6$, $c=-10$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{\left(-6\right)^2-4\cdot 8\cdot (-10)}}{2\cdot 8}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{6 \pm \sqrt{36+320}}{16}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{6 \pm \sqrt{356}}{16}& \\[5pt] x_{1,2}&\approx& \dfrac{6 \pm 18,87}{16}& \\[10pt] x_1&\approx& \dfrac{6 - 18,87}{16} \quad \approx \dfrac{-12,87}{16} \quad \approx -0,80 \\[5pt] x_2&\approx& \dfrac{6 + 18,87}{16} \quad \approx \dfrac{24,87}{16} \quad \approx 1,55 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{6 \pm \sqrt{356}}{16}& \\[10pt] x_1&\approx& -0,80 \\[5pt] x_2&\approx& 1,55 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-0,8; 1,55\}$.
f)
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$a=6,25$, $b=-2$, $c=1$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4\cdot 6,25 \cdot 1}}{2\cdot 6,25}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{2 \pm \sqrt{4-25}}{12,5}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{2 \pm \sqrt{-21}}{12,5}& \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{2 \pm \sqrt{-21}}{12,5}& \end{array}$
Die Diskriminante hat einen negativen Wert. Die Gleichung hat somit keine Lösung. Deshalb ist die Lösungsmenge die leere Menge $\mathbb{L}=\{\}$.
g)
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$a=1,5$, $b=-3,5$, $c=0,2$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot 1,5\cdot 0,2}}{2\cdot 1,5}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{3 \pm \sqrt{9-1,2}}{3}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{3 \pm \sqrt{7,8}}{3}& \\[5pt] x_{1,2}&\approx& \dfrac{3 \pm 2,79}{3}& \\[10pt] x_1&\approx& \dfrac{3 - 2,79}{3} \quad \approx \dfrac{0,21}{3} \quad \approx 0,63 \\[5pt] x_2&\approx& \dfrac{3 + 2,79}{3} \quad \approx \dfrac{5,79}{3} \quad \approx 1,93 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{3 \pm \sqrt{7,8}}{3}& \\[10pt] x_1&\approx& 0,63 \\[5pt] x_2&\approx& 1,93 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{0,63; 1,93\}$.
h)
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$a=5$, $b=7$, $c=-13$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-7 \pm \sqrt{7^2-4\cdot 5\cdot (-13)}}{2\cdot 5}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-7 \pm \sqrt{49+260}}{10}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-7 \pm \sqrt{309}}{10}& \\[5pt] x_{1,2}&\approx& \dfrac{-7 \pm 17,58}{10}& \\[10pt] x_1&\approx& \dfrac{-7 - 17,58}{10} \quad \approx \dfrac{-24,58}{10} \quad \approx -2,458 \\[5pt] x_2&\approx& \dfrac{-7 + 17,58}{10} \quad \approx \dfrac{10,58}{10} \quad \approx 1,058 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-7 \pm \sqrt{309}}{10}& \\[10pt] x_1&\approx& -2,458 \\[5pt] x_2&\approx& 1,058 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-2,458;1,058\}$.
#abc-formel#quadratischegleichung#lösungsmenge

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
Bestimme zuerst die Werte der Parameter und berechne anschließend die Lösungen.
$p=6$, $q=9$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{6^2-4 \cdot 9}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{36-36}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{0}}{2}& \\[5pt] x&=& \dfrac{-6}{2}& \\[5pt] x&=& -3& \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{0}}{2}& \\[5pt] x&=& \dfrac{-6}{2}& \\[5pt] x&=& -3& \end{array}$
Die Gleichung hat nur eine Lösung. Die Lösungsmenge ist deshalb $\mathbb{L}=\{-3\}$.
b)
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$p=-2$, $q=0$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}\\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4 \cdot 0}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{2 \pm \sqrt{4}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{2 \pm 2}{2}& \\[10pt] x_1&=& \dfrac{2 - 2}{2} \quad = \dfrac{0}{2} \quad = 0 \\[5pt] x_2&=& \dfrac{2 + 2}{2} \quad = \dfrac{4}{2} \quad = 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}\\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{2 \pm \sqrt{4}}{2}& \\[10pt] x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& 2 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{0; 2\}$.
c)
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$p=-14$, $q=36$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2-4\cdot 36}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{14 \pm \sqrt{196-144}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{14 \pm \sqrt{52}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&\approx& \dfrac{14 \pm 7,21}{2}& \\[5pt] x_1&\approx& \dfrac{14 - 7,21}{2} \quad \approx 3,4& \\[5pt] x_2&\approx& \dfrac{14 + 7,21}{2} \quad \approx 10,6 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{14 \pm \sqrt{52}}{2}& \\[10pt] x_1&\approx& 3,4 \\[5pt] x_2&\approx& 10,6 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{3,4; 10,6\}$
d)
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$p=2$, $q=-\frac{3}{4}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot (-\frac{3}{4})}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+3}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{7}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&\approx& \dfrac{-2 \pm 2,65}{2}& \\[10pt] x_1&\approx& \dfrac{-2 - 2,65}{2} \quad \approx \dfrac{-4,65}{2} \quad \approx -2,325 \\[5pt] x_2&\approx& \dfrac{-2 + 2,65}{2} \quad \approx \dfrac{0,65}{2} \quad \approx 0,325 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{7}}{2}& \\[10pt] x_1&\approx& -2,325 \\[5pt] x_2&\approx& 0,325 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-2,325; 0,325\}$.
e)
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$p=5$, $q=4$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}\\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4\cdot 4}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-16}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-5 \pm \sqrt{9}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-5 \pm 3}{2}& \\[10pt] x_1&=& \dfrac{-5-3}{2} \quad = \dfrac{-8}{2} \quad = -4 \\[5pt] x_2&=& \dfrac{-5+3}{2} \quad = \dfrac{-2}{2} \quad = -1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}\\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-5 \pm \sqrt{9}}{2}& \\[10pt] x_1&=& -4 \\[5pt] x_2&=& -1 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-4; -1\}$.
f)
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$p=-0,48$, $q=0,16$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-(-0,48) \pm \sqrt{(-0,48)^2-4\cdot 0,16}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{0,48 \pm \sqrt{0,2304-0,64}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{0,48 \pm \sqrt{-0,4096}}{2}& \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{0,48 \pm \sqrt{-0,4096}}{2} \end{array}$
Da die Diskriminante negativ ist, hat die Gleichung keine Lösung. Die Lösungsmenge ist die leere Menge $\mathbb{L}=\{\}$.
g)
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$p=-\frac{24}{5}$, $q=0,225$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-\left(-\frac{24}{5}\right) \pm \sqrt{\left(-\frac{24}{5}\right)^2-4\cdot 0,225}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{\frac{24}{5} \pm \sqrt{23,04-0,9}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{\frac{24}{5} \pm \sqrt{22,14}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&\approx& \dfrac{4,8 \pm 4,71}{2}& \\[5pt] x_1&\approx& \dfrac{4,8 - 4,71}{2} \quad \approx \dfrac{0,09}{2} \quad \approx 0,045 \\[5pt] x_2&\approx& \dfrac{4,8 + 4,71}{2} \quad \approx \dfrac{9,51}{2} \quad \approx 4,755 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{\frac{24}{5} \pm \sqrt{22,14}}{2}& \\[10pt] x_1&\approx=& 0,045 \\[5pt] x_2&\approx& 4,755 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{0,045; 4,755\}$.
h)
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$p=3,2$, $q=-2$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-3,2 \pm \sqrt{3,2^2-4\cdot (-2)}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-3,2 \pm \sqrt{10,24+8}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-3,2 \pm \sqrt{18,24}}{2}& \\[5pt] x_{1,2}&\approx& \dfrac{-3,2 \pm 4,27}{2}& \\[5pt] x_1&\approx&\dfrac{-3,2 - 4,27}{2} \quad \approx \dfrac{-7,47}{2} \quad \approx -3,735& \\[5pt] x_2&\approx& \dfrac{-3,2 + 4,27}{2} \quad \approx \dfrac{1,07}{2} \quad \approx 0,535 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-3,2 \pm \sqrt{18,24}}{2}& \\[10pt] x_1&\approx& -3,735& \\[5pt] x_2&\approx& 0,535 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-3,735;0,535\}$.
#pq-formel#quadratischefunktion#lösungsmenge

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$Gleichung umformen
Bringe die Gleichung mit Äquivalenzumformungen in die entsprechende Form.
$\begin{array}[t]{rll} 7x\cdot (5x-3)&=&(x+6)\cdot 2x-5 & \\[5pt] 35x^2-21x&=& 2x^2+12x-5 &\quad \scriptsize \mid\; -2x^2 \\[5pt] 33x^2-21x&=& 12x-5 &\quad \scriptsize \mid\; -12x \\[5pt] 33x^2-33x&=& -5 &\quad \scriptsize \mid\; +5 \\[5pt] 33x^2-33x+5 &=& 0 \end{array}$
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
Bestimme nun mithilfe der abc-Formel die Lösungsmenge.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-(-33) \pm \sqrt{(-33)^2-4\cdot 33 \cdot 5}}{2\cdot 33}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{33 \pm \sqrt{1089-660}}{66}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{33 \pm \sqrt{429}}{66}& \\[5pt] x_{1,2}&\approx& \dfrac{33 \pm 20,71}{66}& \\[10pt] x_1 &\approx& \dfrac{33 - 20,71}{66} \quad \approx \dfrac{12,29}{66} \quad \approx 0,19 \\[5pt] x_2 &\approx& \dfrac{33 + 20,71}{66} \quad \approx \dfrac{53,71}{66} \quad \approx 0,81 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{33 \pm \sqrt{429}}{66}& \\[10pt] x_1 &\approx& 0,19 \\[5pt] x_2 &\approx& 0,81 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{0,19; 0,81\}$.
b)
$\blacktriangleright$Gleichung umformen
$\begin{array}[t]{rll} 0,5x\cdot [(3+2x)+10x]&=& 3x+4\cdot(2x-0,5)\cdot(2x+0,5) & \\[5pt] 1,5x+x^2+5x^2&=& 3x+4\cdot(4x^2-0,25) & \\[5pt] 1,5x+6x^2&=& 3x+16x^2-1 &\quad \scriptsize \mid\;-6x^2 \\[5pt] 1,5x&=& 3x+10x^2-1 &\quad \scriptsize \mid\;-1,5x \\[5pt] 0&=& 10x^2+1,5x-1 \end{array}$
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-1,5 \pm \sqrt{1,5^2-4\cdot 10 \cdot (-1)}}{2\cdot 10}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-1,5 \pm \sqrt{2,25+40}}{20}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-1,5 \pm \sqrt{42,25}}{20}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-1,5 \pm 6,5}{20}& \\[10pt] x_1 &=& \dfrac{-1,5 - 6,5}{20} \quad = \dfrac{-8}{20} \quad = -0,4 \\[5pt] x_2 &=& \dfrac{-1,5 + 6,5}{20} \quad = \dfrac{5}{20} \quad = 0,25 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-1,5 \pm \sqrt{42,25}}{20}& \\[10pt] x_1 &=& -0,4 \\[5pt] x_2 &=& 0,25 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-0,4; 0,25\}$.
c)
$\blacktriangleright$Gleichung umformen
$\begin{array}[t]{rll} \left(-5+3x\right)^2-34&=&(2x+6)\cdot(x+4)-\left(0,25x+6\right)^2 & \\[5pt] 9x^2-30x+25-34&=& 2x^2+8x+6x+24-\left(\frac{1}{16}x^2+3x+36\right) & \\[5pt] 9x^2-30x-9&=& \frac{31}{16}x^2+11x-12 &\quad \scriptsize \mid\;- \frac{31}{16}x^2 \\[5pt] \frac{113}{16}x^2-30x-9&=& 11x-12 &\quad \scriptsize \mid\; -11x\\[5pt] \frac{113}{16}x^2-41x-9&=& -12 &\quad \scriptsize \mid\; +12\\[5pt] \frac{113}{16}x^2-41x+3&=& 0& \end{array}$
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-(-41) \pm \sqrt{(-41)^2-4\cdot \frac{113}{16} \cdot 3}}{2\cdot \frac{113}{16}}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{41 \pm \sqrt{1681-84,75}}{\frac{113}{8}}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{41 \pm \sqrt{1596,25}}{\frac{113}{8}}& \\[5pt] x_{1,2}&\approx& \dfrac{41 \pm 39,95}{\frac{113}{8}}& \\[10pt] x_2 &\approx& \dfrac{41 - 39,95}{\frac{113}{8}} \quad \approx \dfrac{1,05}{\frac{113}{8}} \quad \approx 0,07 \\[5pt] x_2 &\approx& \dfrac{41 + 39,95}{\frac{113}{8}} \quad \approx \dfrac{80,95}{\frac{113}{8}} \quad \approx 5,73 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{41 \pm \sqrt{1596,25}}{\frac{113}{8}}& \\[10pt] x_2 &\approx& 0,07 \\[5pt] x_2 &\approx& 5,73 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{0,07; 5,73\}$.
d)
$\blacktriangleright$Gleichung umformen
$\begin{array}[t]{rll} x(3-4x)+(2x-2)^2&=& [8\cdot(3+5x)+6x]\cdot 1,5x& \\[5pt] 3x-4x^2+4x^2-8x+4&=& [24+40x+6x]\cdot 1,5x& \\[5pt] 3x-4x^2+4x^2-8x+4&=& 36x+60x^2+9x^2 \\[5pt] -5x+4&=& 36x+69x^2&\quad \scriptsize \mid\; +5x \\[5pt] 4&=& 69x^2+41x&\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] 0 &=& 69x^2+41x-4 \end{array}$
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-41 \pm \sqrt{41^2-4\cdot 69 \cdot (-4)}}{2\cdot 69}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-41 \pm \sqrt{1681+1104}}{138}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-41 \pm \sqrt{2785}}{138}& \\[5pt] x_{1,2}&\approx& \dfrac{-41 \pm 52,77}{138}& \\[10pt] x_1&\approx& \dfrac{-41 - 52,77}{138} \quad \approx \dfrac{-93,77}{138} \quad \approx -0,68 \\[5pt] x_2&\approx& \dfrac{-41 + 52,77}{138} \quad \approx \dfrac{11,77}{138} \quad \approx 0,09 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-41 \pm \sqrt{2785}}{138}& \\[10pt] x_1&\approx& -0,68 \\[5pt] x_2&\approx& 0,09 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-0,68; 0,09 \}$.
e)
$\blacktriangleright$Gleichung umformen
$\begin{array}[t]{rll} (5+3x)\cdot (-3x+5)&=& 2x^2+[3x\cdot(12-8x)]\cdot 0,5 & \\[5pt] (5+3x)\cdot (-3x+5)&=& 2x^2+[36x-24x^2]\cdot 0,5 & \\[5pt] 25-9x^2&=& 2x^2+18x-12x^2 \\[5pt] 25-9x^2&=& -10x^2+18x &\quad \scriptsize \mid\;+9x^2 \\[5pt] 25 &=& -x^2+18x &\quad \scriptsize \mid\;-25 \\[5pt] 0 &=& -x^2+18x-25 \end{array}$
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-18 \pm \sqrt{18^2-4\cdot (-1) \cdot (-25)}}{2\cdot (-1)}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-18 \pm \sqrt{324-100}}{-2}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-18 \pm \sqrt{224}}{-2}& \\[5pt] x_{1,2}&\approx& \dfrac{-18 \pm 14,97}{-2}& \\[10pt] x_1&\approx& \dfrac{-18 - 14,97}{-2} \quad \approx \dfrac{-32,97}{-2} \quad \approx 16,485 \\[5pt] x_2&\approx& \dfrac{-18 + 14,97}{-2} \quad \approx \dfrac{-3,03}{-2} \quad \approx 1,515 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-18 \pm \sqrt{224}}{-2}& \\[10pt] x_1&\approx& 16,485 \\[5pt] x_2&\approx& 1,515 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{1,515; 16,485\}$.
f)
$\blacktriangleright$Gleichung umformen
$\begin{array}[t]{rll} (2x+6)\cdot (-2x-6)&=& x\cdot[3+(4x-7)\cdot 5]+8& \\[5pt] -4x^2-12x-12x-36&=& x\cdot[3+20x-35]+8& \\[5pt] -4x^2-12x-12x-36&=& x\cdot[20x-32]+8& \\[5pt] -4x^2-24x-36&=& 20x^2-32x+8&\quad \scriptsize \mid\; +4x^2\\[5pt] -24x-36&=& 24x^2-32x+8 &\quad \scriptsize \mid\; +24x\\[5pt] -36 &=& 24x^2-8x+8 &\quad \scriptsize \mid\; +36\\[5pt] 0 &=& 24x^2-8x+44 \end{array}$
$\blacktriangleright$Lösungsformel anwenden
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-(-8) \pm \sqrt{8^2-4\cdot 24 \cdot 44}}{2\cdot 24}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{8 \pm \sqrt{64-4224}}{48}& \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{8 \pm \sqrt{-4160}}{48}& \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{8 \pm \sqrt{-4160}}{48} \end{array}$
Die Diskriminante ist negativ, somit hat die Gleichung keine Lösung. Die Lösungsmenge ist daher die leere Menge $\mathbb{L}=\{\ \}$.
#abc-formel#quadratischegleichung#lösungsmenge

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$Anzahl der Lösungen bestimmen
Um die Anzahl der Lösungen angeben zu können, bestimmst du den Wert der Diskriminanten. Für die Diskriminante gilt $D=b^2-4ac$. Bring die Gleichung in die Form $ax^2+bx+c=0$, um die Parameterwerte ablesen zu können und den Wert der Diskriminante zu berechnen.
Die Parameter haben die Werte $a=16$, $b=-24$ und $c=9$.
$\begin{array}[t]{rll} D &=& b^2-4ac \\[5pt] &=& \left(-24\right)^2-4\cdot 16 \cdot 9 \\[5pt] &=& 576-576 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
Die Diskriminante hat den Wert Null. Daher hat die Gleichung genau eine Lösung.
$\blacktriangleright$Lösungsmenge bestimmen
Bestimme nun mithilfe der abc-Formel die Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} x &=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-\left(-24\right) \pm \sqrt{\left(-24\right)^2-4\cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16} \\[5pt] &=& \dfrac{24 \pm \sqrt{0}}{32} \\[5pt] &=& \dfrac{24}{32} \\[5pt] &=& 0,75 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x &=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{24 \pm \sqrt{0}}{32} \\[5pt] &=& \dfrac{24}{32} \\[5pt] &=& 0,75 \end{array}$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $\mathbb{L}=\{0,75\}$.
b)
$\blacktriangleright$Anzahl der Lösungen bestimmen
Bestimme den Wert der Diskriminanten. Bringe die Gleichung dafür in die Form $ax^2+bx+c=0$, um die Parameterwerte ablesen zu können und den Wert der Diskriminante zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} 0,25-8x &=& -60x^2 &\quad \scriptsize \mid\; +60x^2\\[5pt] 60x^2-8x+0,25&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0,25-8x &=& -60x^2 \\[5pt] 60x^2-8x+0,25&=& 0 \end{array}$
Die Parameter haben die Werte $a=60$, $b=-8$ und $c=0,25$.
$\begin{array}[t]{rll} D &=& b^2-4ac \\[5pt] &=& \left(-8\right)^2-4\cdot 60 \cdot 0,25 \\[5pt] &=& 64-60 \\[5pt] &=& 4 \end{array}$
Die Diskriminante hat einen positiven Wert. Daher hat die Gleichung zwei Lösungen.
$\blacktriangleright$Lösungsmenge bestimmen
Bestimme nun mithilfe der abc-Formel die Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{-\left(-8\right) \pm \sqrt{\left(-8\right)^2-4\cdot 60 \cdot 0,25}}{2 \cdot 60} \\[5pt] x_{1/2} &=& \dfrac{8 \pm \sqrt{4}}{120} \\[5pt] x_{1/2} &=& \dfrac{8 \pm 2}{120} \\[10pt] x_1&=& \dfrac{8 - 2}{120} \quad = \dfrac{6}{120} \quad = 0,05 \\[5pt] x_2&=& \dfrac{8 + 2}{120} \quad = \dfrac{10}{120} \quad \approx 0,083 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1/2} &=& \dfrac{8 \pm \sqrt{4}}{120} \\[10pt] x_1&=& 0,05 \\[5pt] x_2&\approx& 0,083 \end{array}$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $\mathbb{L}=\{0,05;0,083\}$.
c)
$\blacktriangleright$Anzahl der Lösungen bestimmen
Die Gleichung brauchst du nicht weiter umformen, du kannst die Parameterwerte direkt ablesen. Die Parameter haben die Werte $a=5$, $b=0$ und $c=-1,4$.
$\begin{array}[t]{rll} D &=& b^2-4ac \\[5pt] &=& 0^2-4\cdot 5 \cdot \left(-1,4\right) \\[5pt] &=& 0+28 \\[5pt] &=& 28 \end{array}$
Die Diskriminante hat einen positiven Wert. Daher hat die Gleichung zwei Lösungen.
$\blacktriangleright$Lösungsmenge bestimmen
Bestimme nun mithilfe der abc-Formel die Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{0 \pm \sqrt{0^2-4\cdot 5 \cdot \left(-1,4\right)}}{2 \cdot 5} \\[5pt] x_{1/2} &=& \dfrac{0 \pm \sqrt{28}}{10} \\[5pt] x_{1/2} &\approx& \dfrac{0 \pm 5,29}{10} \\[10pt] x_1&\approx& \dfrac{0-5,29}{10} \quad \approx \dfrac{-5,29}{10} \quad \approx -0,529 \\[5pt] x_2&\approx& \dfrac{0+5,29}{10} \quad \approx \dfrac{5,29}{10} \quad \approx 0,529 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1/2} &=& \dfrac{0 \pm \sqrt{28}}{10} \\[10pt] x_1&\approx& -0,529 \\[5pt] x_2&\approx& 0,529 \end{array}$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $\mathbb{L}=\{-0,529;0,529\}$.
d)
$\blacktriangleright$Anzahl der Lösungen bestimmen
Die Gleichung brauchst du nicht weiter umformen, du kannst die Parameterwerte direkt ablesen. Die Parameter haben die Werte $a=-0,5$, $b=10$ und $c=18$.
$\begin{array}[t]{rll} D &=& b^2-4ac \\[5pt] &=& 10^2-4\cdot \left(-0,5\right) \cdot 18 \\[5pt] &=& 100+36 \\[5pt] &=& 136 \end{array}$
Die Diskriminante hat einen positiven Wert. Daher hat die Gleichung zwei Lösungen.
$\blacktriangleright$Lösungsmenge bestimmen
Bestimme nun mithilfe der abc-Formel die Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{-10 \pm \sqrt{10^2-4\cdot \left(-0,5\right) \cdot 18}}{2 \cdot \left(-0,5\right)} \\[5pt] x_{1/2} &=& \dfrac{-10 \pm \sqrt{136}}{-1} \\[5pt] x_{1/2} &\approx& 10 \pm 11,6 \\[10pt] x_1&\approx& 10-11,6 \quad \approx -1,6 \\[5pt] x_2&\approx& 10+11,6 \quad \approx 21,6 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1/2} &=& \dfrac{-10 \pm \sqrt{136}}{-1} \\[10pt] x_1&\approx& -1,6 \\[5pt] x_2&\approx& 21,6 \end{array}$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $\mathbb{L}=\{-1,6;21,6\}$.
e)
$\blacktriangleright$Anzahl der Lösungen bestimmen
Forme zuerst die Gleichung um.
$\begin{array}[t]{rll} x^2+1&=& -x &\quad \scriptsize \mid\;+x \\[5pt] x^2+x+1&=&0 \end{array}$
Die Parameter haben die Werte $a=1$, $b=1$ und $c=1$.
$\begin{array}[t]{rll} D &=& b^2-4ac \\[5pt] &=& 1^2-4\cdot 1 \cdot 1 \\[5pt] &=& 1-4 \\[5pt] &=& -3 \end{array}$
Die Diskriminante hat einen negativen Wert. Daher hat die Gleichung keine Lösung. Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{\}$.
f)
$\blacktriangleright$Anzahl der Lösungen bestimmen
Die Gleichung brauchst du nicht weiter umformen, du kannst die Parameterwerte direkt ablesen. Die Parameter haben die Werte $a=-0,5$, $b=10$ und $c=18$.
$\begin{array}[t]{rll} D &=& b^2-4ac \\[5pt] &=& 10^2-4\cdot \left(-0,5\right) \cdot 18 \\[5pt] &=& 100+36 \\[5pt] &=& 136 \end{array}$
Die Diskriminante hat einen positiven Wert. Daher hat die Gleichung zwei Lösungen.
$\blacktriangleright$Lösungsmenge bestimmen
Bestimme nun mithilfe der abc-Formel die Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{-10 \pm \sqrt{10^2-4\cdot \left(-0,5\right) \cdot 18}}{2 \cdot \left(-0,5\right)} \\[5pt] x_{1/2} &=& \dfrac{-10 \pm \sqrt{136}}{-1} \\[5pt] x_{1/2} &\approx& 10 \pm 11,6 \\[10pt] x_1&\approx& 10-11,6 \quad \approx -1,6 \\[5pt] x_2&\approx& 10+11,6 \quad \approx 21,6 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1/2} &=& \dfrac{-10 \pm \sqrt{136}}{-1} \\[10pt] x_1&\approx& -1,6 \\[5pt] x_2&\approx& 21,6 \end{array}$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $\mathbb{L}=\{-1,6;21,6\}$.
g)
$\blacktriangleright$Anzahl der Lösungen bestimmen
Bring die Gleichung in die richtige Form und lies die Parameterwerte ab.
$\begin{array}[t]{rll} -0,25+5x &=& 35x^2 &\quad \scriptsize \mid\;-5x \\[5pt] -0,25 &=& 35x^2-5x &\quad \scriptsize \mid\;+0,25 \\[5pt] 0 &=& 35x^2-5x+0,25 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} -0,25+5x &=& 35x^2 \\[5pt] 0 &=& 35x^2-5x+0,25 \end{array}$
Die Parameter haben die Werte $a=35$, $b=-5$ und $c=0,25$.
$\begin{array}[t]{rll} D &=& b^2-4ac \\[5pt] &=& \left(-5\right)^2-4\cdot 35 \cdot 0,25 \\[5pt] &=& 25-35 \\[5pt] &=& -10 \end{array}$
Die Diskriminante hat einen negativen Wert. Daher hat die Gleichung keine Lösung. Die Lösungsmenge der Gleichung ist $\mathbb{L}=\{\}$.
h)
$\blacktriangleright$Anzahl der Lösungen bestimmen
Bring die Gleichung in die richtige Form und lies die Parameterwerte ab.
$\begin{array}[t]{rll} 12x &=& 1,25x^2+27 &\quad \scriptsize \mid\;-12x \\[5pt] 0 &=& 1,25x^2-12x+27 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 12x &=& 1,25x^2+27 \\[5pt] 0 &=& 1,25x^2-12x+27 \end{array}$
Die Parameter haben die Werte $a=1,25$, $b=-12$ und $c=27$.
$\begin{array}[t]{rll} D &=& b^2-4ac \\[5pt] &=& \left(-12\right)^2-4\cdot 1,25 \cdot 27 \\[5pt] &=& 144-135 \\[5pt] &=& 9 \end{array}$
Die Diskriminante hat einen positiven Wert. Daher hat die Gleichung zwei Lösungen.
$\blacktriangleright$Lösungsmenge bestimmen
Bestimme nun mithilfe der abc-Formel die Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1/2} &=& \dfrac{-\left(-12\right) \pm \sqrt{\left(-12\right)^2-4\cdot 1,25 \cdot 27}}{2 \cdot 1,25} \\[5pt] x_{1/2} &=& \dfrac{12 \pm \sqrt{9}}{2,5} \\[5pt] x_{1/2} &=& \dfrac{12 \pm 3}{2,5} \\[10pt] x_1&=& \dfrac{12 - 3}{2,5} \quad = \dfrac{9}{2,5} \quad = 3,6 \\[5pt] x_2&=& \dfrac{12 + 3}{2,5} \quad = \dfrac{15}{2,5} \quad = 6 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1/2} &=& \dfrac{12 \pm \sqrt{9}}{2,5} \\[10pt] x_1&=& 3,6 \\[5pt] x_2&=& 6 \end{array}$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $\mathbb{L}=\{3,6;6\}$.
#lösungsmenge#abc-formel#quadratischegleichung

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen
Stelle mithilfe der Aufgabenstellung eine Gleichung auf, mit der der Flächeninhalt berechnet werden kann. Entscheide vorher, welche Seite verkürzt und welche verlängert wird.
$\begin{array}[t]{rll} \left(8-x\right)\,\text{cm} \cdot \left(5+x\right)\,\text{cm} &=& 33,25 \,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left(8-x\right)\,\text{cm} \cdot \left(5+x\right)\,\text{cm} \\[5pt] = 33,25 \,\text{cm}^2 \end{array}$
Diese Gleichung beschreibt das Problem in der Aufgabenstellung. Bringe die Gleichung nun in die entsprechende Form, um die Lösung bestimmen zu können.
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} \left(8-x\right)\,\text{cm} \cdot \left(5+x\right)\,\text{cm} &=& 33,25 \,\text{cm}^2 \\[5pt] \left(8 \cdot 5 + 8 \cdot x+ (-x) \cdot 5 + (-x) \cdot x\right) \,\text{cm}^2 &=& 33,25 \,\text{cm}^2 \\[5pt] \left( 40+8x-5x-x^2 \right)\,\text{cm}^2 &=& 33,25 \,\text{cm}^2 \\[5pt] \left( -x^2+3x+40 \right)\,\text{cm}^2 &=& 33,25 \,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;-33,25 \,\text{cm}^2 \\[5pt] \left( -x^2+3x+40-33,25 \right)\,\text{cm}^2 &=& 0 \\[5pt] \left( -x^2+3x+6,75 \right)\,\text{cm}^2 &=& 0 \end{array}$
$
Nun kannst du mithilfe der abc-Formel den Wert von $x$ bestimmen. Die Parameterwerte sind $a=-1$, $b=3$ und $c=6,75$. Beachte, dass für $x$ nur positive Werte zulässig sind.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2-4 \cdot \left(-1\right) \cdot 6,75}}{2 \cdot \left(-1\right)} \\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{-3 \pm \sqrt{9+27}}{-2} \\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{-3 \pm \sqrt{36}}{-2} \\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{-3 \pm 6}{-2} \\[10pt] x_1 &=& \dfrac{-3 -6}{-2} \quad = \dfrac{-9}{-2} \quad = 4,5\\[5pt] x_2 &=& \dfrac{-3+6}{-2} \quad = \dfrac{3}{-2} \quad = -1,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{-3 \pm \sqrt{36}}{-2} \\[10pt] x_1 &=& 4,5\\[5pt] x_2 &=& -1,5 \end{array}$
Damit hat $x$ den Wert $x=4,5\,\text{cm}$.
#abc-formel#quadratischegleichung

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$  Diskriminante bestimmen
Um bestimmen zu können, für welche Werte von $b$ die Funktion zwei, eine oder keine Lösung hat, bestimmst du den Wert der Diskriminanten. Setze die Gleichung gleich Null, so entsprechen die Lösungen den Nullstellen der Funktion. Forme anschließend die Gleichung um, sodass sie in der Form $ax^2+bx+c=0$ vorliegt.
$\begin{array}[t]{rll} \left(x-4\right)^2+b &=& 0 \\[5pt] x^2-8x+16+b &=& 0 \end{array}$
Du kannst nun die Parameterwerte ablesen. Diese sind $a=1$, $b=-8$ und $c=16+b$. Bestimme nun den Wert der Diskriminanten.
$\begin{array}[t]{rll} D &=& b^2-4ac \\[5pt] &=& \left(-8\right)^2-4\cdot 1 \cdot \left(16+b\right) \\[5pt] &=& 64-4 \cdot 16 -4b \\[5pt] &=& 64-64-4b \\[5pt] &=& -4b \end{array}$
$\blacktriangleright$  Werte für $b$ bestimmen
Zwei Lösungen:
Damit die Gleichung zwei Lösungen hat, muss die Diskriminante einen positiven Wert haben.
$\begin{array}[t]{rll} -4b&>&0 &\quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt] b &<& 0 \end{array}$
Eine Lösung:
Damit die Gleichung eine Lösungen hat, muss die Diskriminante den Wert Null haben.
$\begin{array}[t]{rll} -4b&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt] b &=& 0 \end{array}$
Keine Lösung:
Damit die Gleichung keine Lösung hat, muss die Diskriminante einen negativen Wert haben.
$\begin{array}[t]{rll} -4b&<&0 &\quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt] b &>& 0 \end{array}$
#lösungsmenge#quadratischegleichung

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge bestimmen
Um die Definitionsmenge bestimmen zu können, untersuchst du die Funktion auf Definitionslücken. Diese entprechen den Nullstellen der Nenner.
$\begin{array}[t]{rll} x-3&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+3\\[5pt] x&=& 3 \end{array}$
Damit ist die Definitionsmenge $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{3\}$.
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} x+3 &=& \dfrac{16}{x-3} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \left(x-3\right) \\[5pt] x^2-9 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\;+9 \\[5pt] x^2 &=& 25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] x_{1/2} &=& \pm 5 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-5;5\}$.
b)
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge bestimmen
Untersuche die Nullstellen der Nenner, um die Definitionsmenge bestimmen zu können. Der linke Nenner ist Zwei. Da er nicht von $x$ abhängig ist, verändert sich sein Wert nicht. Deshalb musst du ihn für die Bestimmung der Defintionsmenge nicht beachten.
$\begin{array}[t]{rll} 3x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:3\\[5pt] x&=& 0 \end{array}$
Damit ist die Defintionsmenge $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x-4}{2} &=& \dfrac{6x-1}{3x} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3x \\[5pt] \dfrac{x-4}{2} \cdot 3x &=& \left(6x-1\right) &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] \left(x-4\right) \cdot 3x &=& \left(6x-1\right) \cdot 2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] 3x^2-12x &=& 12x-2 &\quad \scriptsize \mid\; -12x \\[5pt] 3x^2-24x &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] 3x^2-24x+2 &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x-4}{2} &=& \dfrac{6x-1}{3x} \\[5pt] 3x^2-24x+2 &=& 0 \end{array}$
Nun kannst du mithilfe der abc-Formel $x$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-\left(-24\right) \pm \sqrt{\left(-24\right)^2-4\cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{24 \pm \sqrt{576- 24}}{6} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{24 \pm \sqrt{552}}{6} \\[5pt] x_{1,2}&\approx& \dfrac{24 \pm 23,49}{6} \\[10pt] x_1&\approx& \dfrac{24 - 23,49}{6} \quad \approx \dfrac{0,51}{6} \quad \approx 0,085 \\[5pt] x_2&\approx& \dfrac{24 + 23,49}{6} \quad \approx \dfrac{47,49}{6} \quad \approx 7,915 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{24 \pm \sqrt{552}}{6} \\[10pt] x_1&\approx& 0,085 \\[5pt] x_2&\approx& 7,915 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-0,085;7,915\}$.
c)
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge bestimmen
Untersuche den Nenner auf Definitionslücken.
$\begin{array}[t]{rll} 3-x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+x\\[5pt] 3&=& x \end{array}$
Damit ist die Defintionsmenge $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{3\}$.
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 5x-2 &=& \dfrac{6x}{3-x} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \left(3-x\right) \\[5pt] \left(5x-2\right) \cdot \left(3-x\right) &=& 6x \\[5pt] 15x-5x^2-6+2x &=& 6x \cdot 2 \\[5pt] -5x^2+17x-6 &=& 6x &\quad \scriptsize \mid\; -6x \\[5pt] -5x^2+11x-6 &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 5x-2 &=& \dfrac{6x}{3-x} \\[5pt] -5x^2+11x-6 &=& 0 \end{array}$
Nun kannst du mithilfe der abc-Formel $x$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-11 \pm \sqrt{11^2-4\cdot \left(-5\right) \cdot \left(-6\right)}}{2 \cdot \left(-5\right)} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-11 \pm \sqrt{121-120}}{-10} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-11 \pm \sqrt{1}}{-10} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-11 \pm 1}{-10} \\[10pt] x_1&=& \dfrac{-11-1}{-10} \quad = \dfrac{-12}{-10} \quad = -1,2 \\[5pt] x_2&=& \dfrac{-11+1}{-10} \quad = \dfrac{-10}{-10} \quad = 1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-11 \pm \sqrt{1}}{-10} \\[10pt] x_1&=& -1,2 \\[5pt] x_2&=& 1 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-1,2;1\}$.
d)
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge bestimmen
Untersuche die Nenner auf Definitionslücken.
$\begin{array}[t]{rll} 3x-3&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+3\\[5pt] 3x&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\;:3\\[5pt] x &=& 1 \end{array}$
Damit ist die Definitionsmenge $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{1;3\}$.
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3x+3}{3-x} &=& \dfrac{2-2x}{3x-3} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \left(3-x\right) \\[5pt] 3x+3 &=& \dfrac{2-2x}{3x-3} \cdot \left(3-x\right) &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \left(3x-3\right) \\[5pt] \left(3x+3\right) \cdot \left(3x-3\right) &=& \left(2-2x\right) \cdot \left(3-x\right) \\[5pt] 9x^2-9 &=& 6-2x-6x+x^2 \\[5pt] 9x^2-9 &=& x^2-8x+6 &\quad \scriptsize \mid\;-x^2 \\[5pt] 8x^2-9 &=& -8x+6 &\quad \scriptsize \mid\;+8x \\[5pt] 8x^2+8x-9 &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\;-6 \\[5pt] 8x^2+8x-15 &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3x+3}{3-x} &=& \dfrac{2-2x}{3x-3} \\[5pt] 8x^2+8x-15 &=& 0 \end{array}$
Nun kannst du mithilfe der abc-Formel $x$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-8 \pm \sqrt{8^2-4\cdot 8 \cdot \left(-15\right)}}{2 \cdot 8} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-8 \pm \sqrt{64+480}}{16} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-8 \pm \sqrt{544}}{16} \\[5pt] x_{1,2}&\approx& \dfrac{-8 \pm 23,32}{16} \\[10pt] x_1&=& \dfrac{-8-23,32}{16} \quad \approx \dfrac{-31,32}{16} \quad \approx -1,96 \\[5pt] x_2&=& \dfrac{-8+23,32}{16} \quad \approx \dfrac{15,32}{16} \quad \approx 0,96 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-8 \pm \sqrt{544}}{16} \\[10pt] x_1&=& -1,96 \\[5pt] x_2&=& 0,96 \\[5pt] \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-1,96;0,96\}$.
#quadratischegleichung#definitionsbereich

Aufgabe 8

Beachte die Angaben im Text, um die Länge und Breite des Schuhkartons bestimmen zu können. Die Länge des Kartons ist doppelt so lang wie die Breite. Zudem ist die Höhe des Kartons, als auch dessen Volumen gegeben. Rechne das Volumen in $\text{cm^3}$ um, bevor du die Werte berechnest.
$\begin{array}[t]{rll} 2x \cdot x \cdot 12\,\text{cm}&=& 6144\,\text{cm}^3 \\[5pt] 2x^2 \cdot 12\,\text{cm}&=& 6144\,\text{cm}^3 &\quad \scriptsize \mid\;:12\,\text{cm} \\[5pt] 2x^2 &=& 512\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x^2&=& 256\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] x &=& 16\,\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 2x \cdot x \cdot 12\,\text{cm}&=& 6144\,\text{cm}^3 \\[5pt] x &=& 16\,\text{cm} \end{array}$
Das bedeutet, dass der Schuhkarton $16\,\text{cm}$ breit und $2 \cdot 16\,\text{cm}= 32\,\text{cm}$ lang ist.
#quadratischegleichung
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