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Mit der PQ-Formel kannst du die Lösungen von quadratischen Gleichungen in Normalform berechnen. Ist die quadratische Gleichung in allgemeiner Form, musst du sie zuerst in die Normalform umwandeln.
Normalform
$x^2+px+q=0$
$\boldsymbol{PQ}$-Formel
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$

Beispiel 1

Löse die Gleichung $2x^2-20x+48=0$.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 2x^2-20x+48&=&0& \scriptsize \mid\;\; :2\; \text{(auf Normalform bringen)}\\ x^2-10x+24&=&0 \end{array}$
$p=-10$ $\qquad$ $q=24$ $\qquad$ in PQ-Formel einsetzen
$x_{1,2} = - \dfrac{-10}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-10}{2}} \right)^2 - 24}$$\qquad$ $x_{1,2} = 5 \pm \sqrt {25 - 24}$ $\qquad$ $x_{1,2} = 5 \pm 1$
$x_1=4$ $\qquad$ $x_2=6$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{4;6\}$

Diskriminante

Löst du eine quadratische Gleichung mit der PQ-Formel, kannst du die Anzahl der Lösungen einfach ablesen.
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt:
$D=\left( \dfrac{p}{2} \right)^2-q$
Die Anzahl der Lösungen ist abhängig von der Diskriminante.
$\boldsymbol{D>0}$: Zwei Lösungen, $\mathbb{L}=\left\{x_1;x_2\right\}$
$\boldsymbol{D=0}$: Eine doppelte Lösungen, $\mathbb{L}=\left\{-\frac{p}{2}\right\}$
$\boldsymbol{D< 0}$: Keine reelle Lösung, $\mathbb{L}=\left\{\right\}$

Beispiel 2

$D>0:$
$x^2-2x-3=0$
In PQ-Formel einsetzen.
$\begin{array}[t]{ll@{\hspace{1cm}}l} x_{1,2} &=& - \frac{-2}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-2}{2}} \right)^2 + 3}\\ x_{1,2} &=& 1 \pm \sqrt {4} \end{array}$
$\rightarrow$ zwei Lösungen
$\mathbb{L}=\left\{3;-1\right\}$
$D=0:$
$x^2-2x+1=0$
In PQ-Formel einsetzen.
$\begin{array}[t]{ll@{\hspace{1cm}}l} x_{1,2} &=& - \frac{-2}{2} \pm \sqrt {\left({\frac{-2}{2}} \right)^2 -1}\\ x_{1,2} &=& 1 \pm \sqrt {0} \end{array}$
$\rightarrow$ doppelte Lösung
$\mathbb{L}=\left\{1\right\}$
$D < 0:$
$x^2-2x+4=0$
In PQ-Formel einsetzen.
$\begin{array}[t]{ll} x_{1,2} = - \frac{-2}{2} \pm \sqrt {\left({\frac{-2}{2}} \right)^2 -4} \\ x_{1,2} = 1 \pm \sqrt {-3} \end{array}$
$\rightarrow$ keine Lösung
$\mathbb{L}=\{\}$
Mit der PQ-Formel kannst du die Lösungen von quadratischen Gleichungen in Normalform berechnen. Ist die quadratische Gleichung in allgemeiner Form, musst du sie zuerst in die Normalform umwandeln.
Normalform
$x^2+px+q=0$
$\boldsymbol{PQ}$-Formel
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$

Beispiel 1

Löse die Gleichung $2x^2-20x+48=0$.
$\mathbb{L}=\{4;6\}$

Diskriminante

Löst du eine quadratische Gleichung mit der PQ-Formel, kannst du die Anzahl der Lösungen einfach ablesen.
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt:
$D=\left( \dfrac{p}{2} \right)^2-q$
Die Anzahl der Lösungen ist abhängig von der Diskriminante.
$\boldsymbol{D>0}$: Zwei Lösungen, $\mathbb{L}=\left\{x_1;x_2\right\}$
$\boldsymbol{D=0}$: Eine doppelte Lösungen, $\mathbb{L}=\left\{-\frac{p}{2}\right\}$
$\boldsymbol{D< 0}$: Keine reelle Lösung, $\mathbb{L}=\left\{\right\}$

Beispiel 2

$\boldsymbol{D>0:}$ $x^2-2x-3=0$
In PQ-Formel einsetzen:
$\begin{array}[t]{ll@{\hspace{1cm}}l} x_{1,2} = - \frac{-2}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-2}{2}} \right)^2 + 3}\\ x_{1,2} = 1 \pm \sqrt {4} \end{array}$
$\rightarrow$ Zwei Lösungen
$\mathbb{L}=\left\{3;-1\right\}$
$\boldsymbol{D=0:}$ $x^2-2x+1=0$
In PQ-Formel einsetzen:
$\begin{array}[t]{ll@{\hspace{1cm}}l} x_{1,2} = - \frac{-2}{2} \pm \sqrt {\left({\frac{-2}{2}} \right)^2 -1}\\ x_{1,2} = 1 \pm \sqrt {0} \end{array}$
$\rightarrow$ Doppelte Lösung
$\mathbb{L}=\left\{1\right\}$
$\boldsymbol{D < 0:}$ $x^2-2x+4=0$
In PQ-Formel einsetzen:
$\begin{array}[t]{ll} x_{1,2} = - \frac{-2}{2} \pm \sqrt {\left({\frac{-2}{2}} \right)^2 -4}& \\ x_{1,2} = 1 \pm \sqrt {-3} \end{array}$
$\rightarrow$ Keine Lösung
$\mathbb{L}=\{\}$
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