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Quadratische Ungleichungen

Spickzettel
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Quadratische Ungleichungen sind Ungleichungen mit der allgemeinen Form:
$ax^2+bx+c \leq 0$ (oder $< 0$)
$ax^2+bx+c \leq 0$ (oder $< 0$)
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Graphische Darstellung
Betrachte die quadratische Funktion $y=ax^2+bx+c$. Bestimme zuerst die Nullstellen der quadratischen Funktion. Aus dem Graphen der Funktion kannst du anschließend die jeweiligen Werte für $x$ bestimmen, für welche die Ungleichung gilt.
Also entsprechend die Werte für $x$ für die der Graph oberhalb oder unterhalb der $x$-Achse liegt.
#nullstelle
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Gegeben sei folgende Ungleichung: $x^2+2x-8\geq0$.
a)
Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung zeichnerisch.
b)
Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung rechnerisch mithilfe einer Fallunterscheidung.
#lösungsmenge

Aufgabe 1

Löse die Ungleichungen zeichnerisch.
b)
$x^2-9>0$
d)
$-1,5x^2+15<0$
f)
$0,5x^2+5x\leq2$
#lösungsmenge

Aufgabe 2

Bestimme die Lösungsmenge mithilfe einer Fallunterscheidung.
b)
$\left(x-3\right) \cdot \left(x+1\right)>0$
d)
$\left(x+3,5\right) \cdot \left(x-2\right)\leq0$
#lösungsmenge

Aufgabe 3

Bestimme die Lösungsmenge rechnerisch.
b)
$-x^2+3x-1\leq0$
d)
$3x^2+3x-2>0$
f)
$4x^2-20x\leq2$
#lösungsmenge
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge zeichnerisch bestimmen
Um die Lösungsmenge zeichnerisch bestimmen zu können, zeichnest du zuerst den Graph der Funktion in ein Koordinatensystem. Es ist hilfreich dafür eine Wertetabelle zu erstellen.
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Quadratische Ungleichungen
Abb. 1: Funktionsgraph
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Quadratische Ungleichungen
Abb. 1: Funktionsgraph
Um nun die Lösungsmenge der Gleichung zu bestimmen, betrachtest du die Nullstellen des Graphen. Diese liegen bei $x_1=-4$ und $x_2=2$. Die Lösungsmenge beinhaltet nun alle Werte für $x$, die Funktionswerte größer bzw. gleich Null besitzen.
Betrachte die Nullstelle bei $x_1$. Der Funktionswert ist größer gleich Null für $x\leq-4$, da links von der Nullstelle der Graph oberhalb der $x$-Achse liegt. Genau so gehst du bei der zweiten Nullstelle vor. Da der Graph rechts von der Nullstelle oberhalb der $x$-Achse verläuft, gilt $x\geq2$. Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{x\mid x\leq-4 \vee x\geq2\}$.
b)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge rechnerisch bestimmen
Um die Lösungsmenge rechnerisch bestimmen zu können, führst du eine Fallunterscheidung durch. Dafür stellst du die zur Ungleichung gehörende quadratische Gleichung auf. Das heißt, du formst die Ungleichung um, bis sie die Form $ax^2+bx+c=0$ besitzt. Bei der gegebenen Ungleichung ist dies bereits der Fall, es muss nur das Vergleichszeichen angepasst werden. Es ergibt sich $x^2+2x-8=0$. Bestimme nun die Lösung der Gleichung. Du kannst in diesem Fall die pq-Formel verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-\left(-8\right)} \\[5pt] &=& -1 \pm \sqrt{1^2+8} \\[5pt] &=& -1 \pm \sqrt{9}\\[5pt] &=& -1 \pm 3 \\[10pt] x_1 &=& -1 - 3 \quad = -4 \\[5pt] x_2 &=& -1+3 \quad = 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -1 \pm \sqrt{9}\\[10pt] x_1 &=& -1 - 3 \quad = -4 \\[5pt] x_2 &=& -1+3 \quad = 2 \end{array}$
Nun kannst du die Ungleichung in Linearfaktoren zerlegen. Dabei entspricht jeder Linearfaktor einer Lösung der Gleichung. Ist die Lösung $a$, so ist der zugehörige Linearfaktor $\left(x-a\right)$. Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \left(x-(-4)\right) \cdot \left(x-2\right)&=& 0 \\[5pt] \left(x+4\right) \cdot \left(x-2\right)&=& 0 \end{array}$
Als nächstes führst du die Fallunterscheidung durch. Dabei überprüfst du, wann die Ungleichung erfüllt ist. In unserem Fall soll die Ungleichung größer gleich Null sein. Das bedeutet, dass entweder beide Linearfaktoren größer gleich Null oder beide kleiner gleich Null sein müssen.
2. Fall:
$\begin{array}[t]{rll} x+4 \leq 0 &\wedge & x-2 \leq 0 \\[5pt] \Leftrightarrow x \leq -4 &\wedge & x \leq 2 \end{array}$
$\mathbb{L_2}=\{x\mid x \leq -4\} $
Die Lösungsmenge vereinigt nun die Lösungsmenge der beiden Fälle. Das bedeutet die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}= \mathbb{L_1} \cup \mathbb{L_2} = \{x \mid x\leq-4 \vee x\geq2\}$.
Die Lösungsmenge vereinigt nun die Lösungsmenge der beiden Fälle. Das bedeutet die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}= \{x \mid x\leq-4 \vee x\geq2\}$.
#lösungsmenge

Aufgabe 1

Zeichne den Graph der Funktion in ein Koordinatensystem. Betrachte anschließend die Nullstellen und bestimme für welche Werte von $x$ die Ungleichung erfüllt ist.
a)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge zeichnerisch bestimmen
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Quadratische Ungleichungen
Abb. 2: Funktionsgraph
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Quadratische Ungleichungen
Abb. 2: Funktionsgraph
Überprüfe, für welche $x$-Werte die Funktionswerte kleiner Null sind, also der Funktionsgraph unterhalb der $x$-Achse verläuft. Dies ist der Fall für $\mathbb{L}=\{x \mid x < -4 \vee x >4 \}$.
b)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge zeichnerisch bestimmen
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Quadratische Ungleichungen
Abb. 3: Funktionsgraph
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Quadratische Ungleichungen
Abb. 3: Funktionsgraph
Nun überprüfst du, für welche $x$-Werte die Funktionswerte größer als Null sind. Dies ist erfüllt für $\mathbb{L}=\{x \mid x < -3 \vee x > 3\}$.
c)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge zeichnerisch bestimmen
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Quadratische Ungleichungen
Abb. 4: Funktionsgraph
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Quadratische Ungleichungen
Abb. 4: Funktionsgraph
Bestimme die $x$-Werte, für welche die Funktionswerte größer als Null sind. Die Lösungsmenge ist damit $\mathbb{L}=\{x \mid x < -2 \vee x > 2\}$.
d)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge zeichnerisch bestimmen
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Quadratische Ungleichungen
Abb. 5: Funktionsgraph
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Quadratische Ungleichungen
Abb. 5: Funktionsgraph
Bestimme, für welche $x$-Werte der Graph unterhalb der $x$-Achse verläuft. Als Lösungsmenge ergibt sich $\mathbb{L}=\{x \mid x <-3,16 \vee x> 3,16\}$.
e)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge zeichnerisch bestimmen
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Quadratische Ungleichungen
Abb. 6: Funktionsgraph
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Quadratische Ungleichungen
Abb. 6: Funktionsgraph
Nun bestimmst, für welche $x$-Werte die Funktionswerte größer gleich Null sind. Da der Graph immer oberhalb der $x$-Achse verläuft, ist der Funktionswert immer größer als Null. Das bedeutet, dass in der Lösungsmenge alle Werte für $x$ enthalten sind. Die Lösungsmenge ist damit $\mathbb{L}=\mathbb{R}$.
f)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge zeichnerisch bestimmen
Um die Gleichung zeichnerisch lösen zu können, ist es sinnvoll, die Gleichung erst umzuformen, sodass die Nullstellen die Grenzen der Lösungsmenge darstellen.
$\begin{array}[t]{rll} 0,5x^2+5x&\leq& 2&\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] 0,5x^2+5x-2&\leq& 0 \end{array}$
Zeichne nun den Graph der Funktion.
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Quadratische Ungleichungen
Abb. 7: Funktionsgraph
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Quadratische Ungleichungen
Abb. 7: Funktionsgraph
Bestimme die Werte für $x$, für welche der Funktionswert kleiner gleich Null ist. Da nun auch der Funktionswert Null mitinbegriffen ist, sind die Nullstellen auch Teil der Lösungsmenge. Als Lösungsmenge ergibt sich $\mathbb{L}=\{x \mid -10,39 \leq x \leq 0,39\}$.
#lösungsmenge#nullstelle

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge mithilfe einer Fallunterscheidung bestimmen
Da der Funktionswert größer gleich Null sein soll, müssen beide Linearfaktoren entweder größer gleich Null oder kleiner gleich Null sein.
2. Fall:
$\begin{array}[t]{rll} x-2 \leq 0 &\wedge& x+5\leq 0 \\[5pt] \Leftrightarrow x\leq 2 &\wedge& x \leq -5 \end{array}$
$\mathbb{L_2}=\{x\mid x \leq -5\}$
Für die Lösungsmenge ergibt sich $\mathbb{L}=\mathbb{L_1} \cup \mathbb{L_2} = \{x \mid x \leq -5 \vee x \geq 2\}$.
Für die Lösungsmenge ergibt sich $\mathbb{L}= \{x \mid x \leq -5 \vee x \geq 2\}$.
b)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge mithilfe einer Fallunterscheidung bestimmen
Da der Funktionswert größer Null sein soll, müssen beide Linearfaktoren entweder größer Null oder kleiner Null sein.
2. Fall:
$\begin{array}[t]{rll} x-3 < 0 &\wedge& x+1< 0 \\[5pt] \Leftrightarrow x < 3 &\wedge& x < -1 \end{array}$
$\mathbb{L_2}=\{x\mid x < -1\}$
Für die Lösungsmenge ergibt sich $\mathbb{L}=\mathbb{L_1} \cup \mathbb{L_2} = \{x \mid x < -1 \vee x > 3\}$.
Für die Lösungsmenge ergibt sich $\mathbb{L}= \{x \mid x < -1 \vee x > 3\}$.
c)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge mithilfe einer Fallunterscheidung bestimmen
Da der Funktionswert kleiner Null sein soll, muss einer der beiden Linearfaktoren kleiner Null sein. Da der Linearfaktor aber quadriert wird, ist der Funktionswert, egal welcher Wert der Linearfaktor annimmt, größer gleich Null, also niemals kleiner Null. Somit ist die Lösungmenge die leere Menge $\mathbb{L}=\emptyset$.
d)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge mithilfe einer Fallunterscheidung bestimmen
Da der Funktionswert kleiner gleich Null sein soll, muss einer der beiden Linearfaktoren kleiner gleich Null sein.
2. Fall:
$\begin{array}[t]{rll} x+3,5 \leq 0 &\wedge& x-2 \geq 0 \\[5pt] \Leftrightarrow x \leq -3,5 &\wedge& x \geq 2 \end{array}$
$\mathbb{L_2}=\emptyset$
Für die Lösungsmenge ergibt sich $\mathbb{L}=\mathbb{L_1} \cup \mathbb{L_2} = \{x\mid -3,5 \leq x \leq 2\}$.
Für die Lösungsmenge ergibt sich $\mathbb{L}= \{x\mid -3,5 \leq x \leq 2\}$.
#lösungsmenge

Aufgabe 3

Zerlege die Ungleichungen zuerst in ihre Linearfaktoren. Ermittle anschließend mithilfe der Fallunterscheidung die Lösungsmenge.
a)
$\blacktriangleright$  Zerlegung in Linearfaktoren
Zuerst bestimmst du die zur Ungleichung gehörende quadratische Gleichung. In diesem Fall lautet diese $x^2-7x+3=0$. Als nächstes bestimmst du mithilfe der pq-Formel die Nullstellen, um die Gleichung mit Linearfaktoren darstellen zu können.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-7}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-7}{2}\right)^2-3} \\[5pt] &=& 3,5 \pm \sqrt{\left(-3,5\right)^2-3} \\[5pt] &=& 3,5 \pm \sqrt{12,25-3} \\[5pt] &=& 3,5 \pm \sqrt{9,25} \\[5pt] &\approx& 3,5 \pm 3,04 \\[10pt] x_1 &\approx& 3,5-3,04 \quad \approx 0,46 \\[5pt] x_2 &\approx& 3,5+3,04 \quad \approx 6,54 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& 3,5 \pm \sqrt{9,25} \\[10pt] x_1 &\approx& 0,46 \\[5pt] x_2 &\approx& 6,54 \end{array}$
Nun kannst du die Ungleichung als Kombination von Linearfaktoren darstellen. Dies sieht dann wie folgt aus:
$\left(x-0,46\right) \cdot \left(x-6,54\right) \geq 0$
$\blacktriangleright$  Fallunterscheidung
Mithilfe der Fallunterscheidung kannst du nun die Lösungsmenge der Ungleichung bestimmen. Gehe vor wie in der Aufgabe zuvor.
2. Fall:
$\begin{array}[t]{rll} x-0,46 \leq 0 &\wedge& x-6,51 \leq 0 \\[5pt] \Leftrightarrow x \leq 0,46 &\wedge& x \leq 6,51 \end{array}$
$\mathbb{L_2}=\{x \mid x \leq 0,46\}$
Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}= \mathbb{L_1} \cup \mathbb{L_2}= \{x \mid x \leq 0,46 \vee x \geq 6,51\}$.
Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}= \{x \mid x \leq 0,46 \vee x \geq 6,51\}$.
b)
$\blacktriangleright$  Zerlegung in Linearfaktoren
Bestimme die zur Ungleichung gehörende quadratische Gleichung. In diesem Fall lautet diese $-x^2+3x-1=0$. Als nächstes bestimmst du mithilfe der abc-Formel die Nullstellen, um die Gleichung mit Linearfaktoren darstellen zu können.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2-4 \cdot \left(-1\right) \cdot \left(-1\right)}}{2 \cdot \left(-1\right)} \\[5pt] &=& \dfrac{-3 \pm \sqrt{9-4}}{-2} \\[5pt] &=& \dfrac{-3 \pm \sqrt{5}}{-2} \\[5pt] &\approx& \dfrac{-3 \pm 2,24}{-2} \\[10pt] x_1 &\approx& \dfrac{-3 - 2,24}{-2} \quad \approx \dfrac{-5,24}{-2} \quad \approx 2,62 \\[5pt] x_2 &\approx& \dfrac{-3 + 2,24}{-2} \quad \approx \dfrac{-0,76}{-2} \quad \approx 0,38 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-3 \pm \sqrt{5}}{-2} \\[10pt] x_1 &\approx& 2,62 \\[5pt] x_2 &\approx& 0,38 \end{array}$
Nun kannst du die Ungleichung als Kombination von Linearfaktoren darstellen. Dies sieht dann wie folgt aus:
$\left(x-2,62\right) \cdot \left(x-0,38\right) \leq 0$
$\blacktriangleright$  Fallunterscheidung
Mithilfe der Fallunterscheidung kannst du nun die Lösungsmenge der Ungleichung bestimmen.
2. Fall:
$\begin{array}[t]{rll} x-2,62 \geq 0 &\wedge& x-0,38 \leq 0 \\[5pt] \Leftrightarrow x \geq 2,62 &\wedge& x \leq 0,38 \end{array}$
$\mathbb{L_1}=\emptyset$
Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}= \mathbb{L_1} \cup \mathbb{L_2}= \{x \mid 0,38 \leq x \leq 2,62\}$.
Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}= \{x \mid 0,38 \leq x \leq 2,62\}$.
c)
$\blacktriangleright$  Zerlegung in Linearfaktoren
Bestimme die zur Ungleichung gehörende quadratische Gleichung. Diese lautet $4x^2+6x-20=0$. Als nächstes bestimmst du mithilfe der abc-Formel die Nullstellen, um die Gleichung mit Linearfaktoren darstellen zu können.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{6^2-4 \cdot 4 \cdot \left(-20\right)}}{2 \cdot 4)} \\[5pt] &=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{36+320}}{8} \\[5pt] &=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{356}}{8} \\[5pt] &\approx& \dfrac{-6 \pm 18,87}{8} \\[10pt] x_1 &\approx& \dfrac{-6 - 18,87}{8} \quad \approx \dfrac{-24,87}{8} \quad \approx -3,11 \\[5pt] x_2 &\approx& \dfrac{-6 + 18,87}{8} \quad \approx \dfrac{12,87}{8} \quad \approx 1,61 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{356}}{8} \\[10pt] x_1 &\approx& -3,11 \\[5pt] x_2 &\approx& 1,61 \end{array}$
Nun kannst du die Ungleichung als Kombination von Linearfaktoren darstellen. Dies sieht dann wie folgt aus:
$\left(x+3,11\right) \cdot \left(x-1,61\right) \leq 0$
$\blacktriangleright$  Fallunterscheidung
Mithilfe der Fallunterscheidung kannst du nun die Lösungsmenge der Ungleichung bestimmen.
2. Fall:
$\begin{array}[t]{rll} x+3,11 \geq 0 &\wedge& x-1,61 \leq 0 \\[5pt] \Leftrightarrow x \geq -3,11 &\wedge& x \leq 1,61 \end{array}$
$\mathbb{L_2}=\{x \mid -3,11 \leq x \leq 1,61\}$
Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}= \mathbb{L_1} \cup \mathbb{L_2}= \{x \mid -3,11 \leq x \leq 1,61\}$.
Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}= \{x \mid -3,11 \leq x \leq 1,61\}$.
d)
$\blacktriangleright$  Zerlegung in Linearfaktoren
Bestimme die zur Ungleichung gehörende quadratische Gleichung. Diese lautet $3x^2+3x-2=0$. Als nächstes bestimmst du mithilfe der abc-Formel die Nullstellen, um die Gleichung mit Linearfaktoren darstellen zu können.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2-4 \cdot 3 \cdot \left(-2\right)}}{2 \cdot 3)} \\[5pt] &=& \dfrac{-3 \pm \sqrt{9+24}}{6} \\[5pt] &=& \dfrac{-3 \pm \sqrt{33}}{6} \\[5pt] &\approx& \dfrac{-3 \pm 5,74}{6} \\[10pt] x_1 &\approx& \dfrac{-3 - 5,74}{6} \quad \approx \dfrac{-8,74}{6} \quad \approx -1,46 \\[5pt] x_2 &\approx& \dfrac{-3 + 5,74}{6} \quad \approx \dfrac{2,74}{6} \quad \approx 0,46 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-3 \pm \sqrt{33}}{6} \\[10pt] x_1 &\approx& -1,46 \\[5pt] x_2 &\approx& 0,46 \end{array}$
Nun kannst du die Ungleichung als Kombination von Linearfaktoren darstellen. Dies sieht dann wie folgt aus:
$\left(x+1,46\right) \cdot \left(x-0,46\right) > 0$
$\blacktriangleright$  Fallunterscheidung
Mithilfe der Fallunterscheidung kannst du nun die Lösungsmenge der Ungleichung bestimmen.
2. Fall:
$\begin{array}[t]{rll} x+1,46 < 0 &\wedge& x-0,46 < 0 \\[5pt] \Leftrightarrow x < -1,46 &\wedge& x < 0,46 \end{array}$
$\mathbb{L_1}=\{x \mid x < -1,46\}$
Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}= \mathbb{L_1} \cup \mathbb{L_2}= \{x \mid x < -1,46 \vee x > 0,46\}$.
Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}= \{x \mid x < -1,46 \vee x > 0,46\}$.
e)
$\blacktriangleright$  Zerlegung in Linearfaktoren
Bestimme die zur Ungleichung gehörende quadratische Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} x^2-5&=& 6x&\quad \scriptsize \mid\; -6x\\[5pt] x^2-6x-5&=& 0 \end{array}$
Als nächstes bestimmst du mithilfe der pq-Formel die Nullstellen, um die Gleichung mit Linearfaktoren darstellen zu können.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2+5} \\[5pt] &=& 3 \pm \sqrt{\left(-3\right)^2+5} \\[5pt] &=& 3 \pm \sqrt{9+5} \\[5pt] &=& 3 \pm \sqrt{14} \\[5pt] &\approx& 3 \pm 3,74 \\[10pt] x_1 &\approx& 3-3,74 \quad \approx -0,74 \\[5pt] x_2 &\approx& 3+3,74 \quad \approx 6,74 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& 3 \pm \sqrt{14} \\[10pt] x_1 &\approx& -0,74 \\[5pt] x_2 &\approx& 6,74 \end{array}$
Nun kannst du die Ungleichung als Kombination von Linearfaktoren darstellen. Dies sieht dann wie folgt aus:
$\left(x+0,74\right) \cdot \left(x-6,74\right) \geq 0$
$\blacktriangleright$  Fallunterscheidung
Mithilfe der Fallunterscheidung kannst du nun die Lösungsmenge der Ungleichung bestimmen.
2. Fall:
$\begin{array}[t]{rll} x+0,74 \leq 0 &\wedge& x-6,74 \leq 0 \\[5pt] \Leftrightarrow x \leq -0,74 &\wedge& x \leq 6,74 \end{array}$
$\mathbb{L_2}=\{x \mid x \leq -0,74\}$
Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}= \mathbb{L_1} \cup \mathbb{L_2}= \{x \mid x \leq -0,74 \vee x \geq 6,74\}$.
Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}= \{x \mid x \leq -0,74 \vee x \geq 6,74\}$.
f)
$\blacktriangleright$  Zerlegung in Linearfaktoren
Bestimme die zur Ungleichung gehörende quadratische Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} 4x^2-20x&=& 2&\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] 4x^2-20x-2&=& 0 \end{array}$
Als nächstes bestimmst du mithilfe der abc-Formel die Nullstellen, um die Gleichung mit Linearfaktoren darstellen zu können.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-\left(-20\right) \pm \sqrt{\left(-20\right)^2-4 \cdot 4 \cdot \left(-2\right)}}{2 \cdot 4)} \\[5pt] &=& \dfrac{20 \pm \sqrt{400+32}}{8} \\[5pt] &=& \dfrac{20 \pm \sqrt{432}}{8} \\[5pt] &\approx& \dfrac{20 \pm 20,78}{8} \\[10pt] x_1 &\approx& \dfrac{20 - 20,78}{8} \quad \approx \dfrac{-0,78}{8} \quad \approx -0,1 \\[5pt] x_2 &\approx& \dfrac{20 + 20,78}{8} \quad \approx \dfrac{40,78}{8} \quad \approx 5,1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{20 \pm \sqrt{432}}{8} \\[10pt] x_1 &\approx& -0,1 \\[5pt] x_2 &\approx& 5,1 \end{array}$
Nun kannst du die Ungleichung als Kombination von Linearfaktoren darstellen. Dies sieht dann wie folgt aus:
$\left(x+0,1\right) \cdot \left(x-5,1\right) \leq 0$
$\blacktriangleright$  Fallunterscheidung
Mithilfe der Fallunterscheidung kannst du nun die Lösungsmenge der Ungleichung bestimmen.
2. Fall:
$\begin{array}[t]{rll} x+0,1 \leq 0 &\wedge& x-5,1 \geq 0 \\[5pt] \Leftrightarrow x \leq -0,1 &\wedge& x \geq 5,1 \end{array}$
$\mathbb{L_2}=\emptyset$
Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}= \mathbb{L_1} \cup \mathbb{L_2}= \{x \mid -0,1 \leq x \leq 5,1\}$.
Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}= \{x \mid -0,1 \leq x \leq 5,1\}$.
#nullstelle#abc-formel#pq-formel#lösungsmenge
Bildnachweise [nach oben]
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