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Multiplizieren und Dividieren

Spickzettel
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Multiplikation

Für die Multiplikation gelten folgende Fachausdrücke:
$3$$\cdot$$4$$=$$12$
1. Faktor2. FaktorBerechnetes Produkt
$3$$\cdot$$4$$=$$12$
1. Faktor2. FaktorBerechnetes Produkt
$3\cdot 4=12 $
Den Ausdruck $3 \cdot 4$ nennt man Produkt. Man spricht „drei mal vier.“
Merke:
  • Falls ein Faktor gleich $0$ ist, so ist das Produkt gleich $0.$

Division

Für die Division gelten die Fachausdrücke:
$10$$:$$5$$=$$2$
DividendDivisorBerechneter Quotient
$10$$:$$5$$=$$2$
DividendDivisorBerechneter Quotient
$ 10:5=2 $
Den Ausdruck $10:5$ nennt man Quotient. Man spricht „zehn geteilt durch fünf.“
Merke:
  • Durch $0$ kann man nicht dividieren.
  • Falls der Dividend gleich $0$ ist und der Divisor ungleich $0$ ist, so ist das Ergebnis gleich $0.$
#multiplikation#division
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Abb. 1: Pferderennen
Abb. 1: Pferderennen
a)
Ben setzt $12\,€$ auf das Pferd, welches er sich zuvor ausgesucht hat. Wie hoch wäre der Gewinn von Ben?
b)
Ben setzt bei dem nächsten Rennen noch auf ein weiteres Pferd. Sein Einsatz beträgt $21\,€$ und er würde bei einem Sieg des Pferdes $168\,€$ ausgezahlt bekommen. Welche Gewinnchance besitzt dieses Pferd?

Aufgabe 1

Berechne die folgenden Ausdrücke.
b)
$18 \cdot 7$
d)
$515 : 5 $
f)
$144 : 6$
h)
$35 \cdot 6$

Aufgabe 2

Abb. 2: Schwimmbahn
Abb. 2: Schwimmbahn
a)
Wie lange benötigen Jonas und Lea für je neun Bahnen?
b)
Jonas behauptet, dass er in $252 \,\text{s}$ genau eine Bahn mehr schwimmt als Lea. Prüfe nach, ob diese Behauptung stimmt.

Aufgabe 3

Bestimme die fehlenden Zahlen.
b)
$162 :$ $=54$
d)
$ \cdot 27 =243$
f)
$21 \cdot $$ =231$

Aufgabe 4

a)
Bestimme das Produkt von $12$ und dem Quotienten von $63$ und $7.$
b)
Bestimme den Quotienten von dem Produkt von $17$ und $6$ und $3.$
c)
Bestimme den Quotienten von dem Vierfachen von $46$ und $8.$
d)
Bestimme das Produkt von $12$ und dem siebten Teil von $49.$

Aufgabe 5

Setze die Zahlenreihe um vier Zahlen fort. Hierbei wurde Multiplikation und Division verwendet.
b)
$3; \, 12; \, 6; \, 24; \, 12; \dotsc$
d)
$1; \, 9; \, 3; \, 27; \, 9; \dotsc$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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[2]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Gewinn bestimmen
Die Gewinnchance beträgt $1$ zu $13.$ Somit bekommt Ben das $13$-fache seines Einsatzes ausgezahlt, falls sein Pferd gewinnt. Sein Einsatz beträgt $12\,€.$ Die Multiplikation von $12$ und $13$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst multipliziert man $12$ mit $10$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Produkt von $12$ und $3$. Mit $12 \cdot 10=120$ und $12 \cdot 3=36$ folgt für das Produkt von $12$ und $13$:
$\begin{array}[t]{rll} 12 \cdot 13&=& 120 + 36 \\[5pt] &=& 156 \end{array}$
Somit beträgt der mögliche Gewinn von Ben $156\,€.$
b)
$\blacktriangleright$  Gewinnchance bestimmen
Der Einsatz von Ben beträgt $21\,€$ und seine mögliche Auszahlung $168\,€.$ Die Division von $168$ und $21$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst dividiert man $210$ mit $21$ und subtrahiert anschließend das Ergebnis mit dem Quotient von $42$ und $21$. Mit $210 : 21=10$ und $42 :21 =2$ folgt für den Quotient von $168$ und $21$ und damit für die Gewinnchance des Pferdes:
$\begin{array}[t]{rll} 168 : 21 &=& 10 -2\\[5pt] &=& 8 \end{array}$
Somit besitzt das gewählte Pferd eine Gewinnchance von $1$ zu $8.$

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Ergebnis berechnen
Die Multiplikation von $9$ und $12$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst multipliziert man $9$ mit $10$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Produkt von $9$ und $2$. Mit $9 \cdot 10=90$ und $9 \cdot 2=18$ folgt für das Produkt von $9$ und $12$:
$\begin{array}[t]{rll} 9 \cdot 12&=& 90 +18 \\[5pt] &=& 108 \\[5pt] \end{array}$
Somit lautet das Ergebnis $108.$
b)
$\blacktriangleright$  Ergebnis berechnen
Die Multiplikation von $18$ und $7$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst multipliziert man $10$ mit $7$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Produkt von $8$ und $7$. Mit $10 \cdot 7=70$ und $8 \cdot 7=56$ folgt für das Produkt von $18$ und $7$:
$\begin{array}[t]{rll} 18 \cdot 7&=& 70 +56 \\[5pt] &=& 126 \\[5pt] \end{array}$
Somit lautet das Ergebnis $126.$
c)
$\blacktriangleright$  Ergebnis berechnen
Die Division von $96$ und $4$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst dividiert man $80$ mit $4$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Quotient von $16$ und $4$. Mit $80 : 4=20$ und $16 :4 =4$ folgt für den Quotient von $96$ und $4$:
$\begin{array}[t]{rll} 96 : 4&=& 20+4 \\[5pt] &=& 24 \\[5pt] \end{array}$
Somit lautet das Ergebnis $24.$
d)
$\blacktriangleright$  Ergebnis berechnen
Die Division von $515$ und $5$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst dividiert man $500$ mit $5$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Quotient von $15$ und $5$. Mit $500 : 5=100$ und $15 :5 =3$ folgt für den Quotient von $515$ und $45$:
$\begin{array}[t]{rll} 515 : 5&=& 100 +3 \\[5pt] &=& 103 \\[5pt] \end{array}$
Somit lautet das Ergebnis $103.$
e)
$\blacktriangleright$  Ergebnis berechnen
Die Multiplikation von $12$ und $24$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst multipliziert man $12$ mit $20$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Produkt von $12$ und $4$. Mit $12 \cdot 20=240$ und $12 \cdot 4=48$ folgt für das Produkt von $12$ und $24$:
$\begin{array}[t]{rll} 12 \cdot 24&=& 240 +48 \\[5pt] &=& 288 \\[5pt] \end{array}$
Somit lautet das Ergebnis $288.$
f)
$\blacktriangleright$  Ergebnis berechnen
Die Division von $144$ und $6$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst dividiert man $120$ mit $6$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Quotient von $24$ und $6$. Mit $120 : 6=20$ und $24 :6 =4$ folgt für den Quotient von $144$ und $6$:
$\begin{array}[t]{rll} 144 : 6&=& 20 +4 \\[5pt] &=& 24 \\[5pt] \end{array}$
Somit lautet das Ergebnis $24.$
g)
$\blacktriangleright$  Ergebnis berechnen
Die Division von $162$ und $9$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst dividiert man $180$ mit $9$ und subtrahiert anschließend das Ergebnis mit dem Quotient von $18$ und $9$. Mit $180 : 9=20$ und $18 :9 =2$ folgt für den Quotient von $162$ und $9$:
$\begin{array}[t]{rll} 162 : 9&=& 20 -2 \\[5pt] &=& 18 \\[5pt] \end{array}$
Somit lautet das Ergebnis $18.$
h)
$\blacktriangleright$  Ergebnis berechnen
Die Multiplikation von $35$ und $6$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst multipliziert man $30$ mit $6$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Produkt von $5$ und $6$. Mit $30 \cdot 6=180$ und $5 \cdot 6=30$ folgt für das Produkt von $35$ und $6$:
$\begin{array}[t]{rll} 35 \cdot 6&=& 180 +30 \\[5pt] &=& 210 \\[5pt] \end{array}$
Somit lautet das Ergebnis $210.$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Dauer bestimmen
Für eine Bahn braucht Jonas durchschnittlich $36\,\text{s}$ und Lea $42\,\text{s}.$ Zur Bestimmung der Zeitdauer, welche Jonas insgesamt für alle neun Bahnen benötigt, muss die durchschnittliche Zeitdauer pro Bahn mit neun multipliziert werden.
$\begin{array}[t]{rll} 36 \cdot 9 &=& 270 + 54\\[5pt] &=& 324 \\[5pt] \end{array}$
Für neun Bahnen benötigt Jonas insgesamt $324\,\text{s}.$
$\begin{array}[t]{rll} 42 \cdot 9 &=& 360 + 18\\[5pt] &=& 378 \\[5pt] \end{array}$
Für neun Bahnen benötigt Lea insgesamt $378 \,\text{s}.$
b)
$\blacktriangleright$  Behauptung überprüfen
Jonas behauptet, dass er in $252 \,\text{s}$ genau eine Bahn mehr schwimmt als Lea. Zur Bestimmung der Bahnenanzahl, welche beide in $252\,\text{s}$ zurücklegen, muss die Gesamtdauer durch die durchschnittliche Dauer für eine Bahn dividiert werden.
$\begin{array}[t]{rll} 252 : 36 &=& 5 + 2\\[5pt] &=& 7 \\[5pt] \end{array}$
Jonas legt insgesamt sieben Bahnen zurück.
$\begin{array}[t]{rll} 252 : 42&=& 5 + 1\\[5pt] &=& 6 \\[5pt] \end{array}$
Damit folgt, dass Lea insgesamt nur sechs Bahnen schwimmt. Somit hat Jonas mit seiner Behauptung recht und Jonas schwimmt in $252\,\text{s}$ genau eine Bahn mehr als Lea.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Zahl bestimmen
Die fehlende Zahl kann man durch Division der Zahlen $44$ und $4$ bestimmen.
$44 : 4 =11$
Somit lautet die gesuchte Zahl $11.$
b)
$\blacktriangleright$  Zahl bestimmen
Die fehlende Zahl kann man durch Division der Zahlen $162$ und $54$ bestimmen.
$162 : 54 =3$
Somit lautet die gesuchte Zahl $3.$
c)
$\blacktriangleright$  Zahl bestimmen
Die fehlende Zahl kann man durch Division der Zahlen $495$ und $99$ bestimmen.
$495 : 99 =5$
Somit lautet die gesuchte Zahl $5.$
d)
$\blacktriangleright$  Zahl bestimmen
Die fehlende Zahl kann man durch Division der Zahlen $243$ und $27$ bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} 243 : 27&=& 10 -1 \\[5pt] &=& 9\\[5pt] \end{array}$
Somit lautet die gesuchte Zahl $9.$
e)
$\blacktriangleright$  Zahl bestimmen
Die fehlende Zahl kann man durch Multiplikation der Zahlen $15$ und $12$ bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} 15 \cdot 12&=& 150 + 30 \\[5pt] &=& 180\\[5pt] \end{array}$
Somit lautet die gesuchte Zahl $180.$
f)
$\blacktriangleright$  Zahl bestimmen
Die fehlende Zahl kann man durch Division der Zahlen $231$ und $21$ bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} 231 : 21&=& 10 +1 \\[5pt] &=& 11\\[5pt] \end{array}$
Somit lautet die gesuchte Zahl $11.$

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Ergebnis bestimmen
Für den Quotienten von $63$ und $7$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 63 : 7&=& 9 \\[5pt] \end{array}$
Anschließend kann man das Produkt von $12$ und $9$ durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst multipliziert man $10$ mit $9$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Produkt von $2$ und $9$. Mit $10 \cdot 9=90$ und $2 \cdot 9=18$ folgt für das Produkt von $12$ und $9$:
$\begin{array}[t]{rll} 12 \cdot 9&=& 90 +18 \\[5pt] &=& 108 \\[5pt] \end{array}$
Somit lautet das Produkt von $12$ und dem Quotienten von $63$ und $7$ entsprechend $108.$
b)
$\blacktriangleright$  Ergebnis bestimmen
Das Produkt von $17$ und $6$ kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst muss man $10$ mit $6$ multiplizieren und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Produkt von $7$ und $6$. Mit $10 \cdot 6=60$ und $7 \cdot 6 =42$ folgt für das Produkt von $17$ und $6$:
$\begin{array}[t]{rll} 17 \cdot 6&=& 60 +42 \\[5pt] &=& 102 \\[5pt] \end{array}$
Anschließend kann man den Quotient von $102$ und $3$ mit vorteilhaftem Rechnen bestimmen. Zuerst dividiert man $90$ mit $3$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Quotient von $12$ und $3$. Mit $90 : 3=30$ und $12 :3 =4$ folgt für den Quotienten von $102$ und $3$:
$\begin{array}[t]{rll} 102 : 3&=& 30+4 \\[5pt] &=& 34 \\[5pt] \end{array}$
Somit lautet das Ergebnis $34.$
c)
$\blacktriangleright$  Ergebnis bestimmen
Das Vierfache von $46$ beschreibt das Produkt von $46$ und $4$. Das Produkt kann man durch vorteilhaftes Rechnen lösen. Zuerst kann man $40$ mit $4$ multiplizieren und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Produkt von $6$ und $4$. Mit $40 \cdot 4=160$ und $6 \cdot 4 =24$ folgt für das Produkt von $46$ und $4$:
$\begin{array}[t]{rll} 46 \cdot 4&=& 160 + 24 \\[5pt] &=& 184 \\[5pt] \end{array}$
Anschließend kann man den Quotient von $184$ und $8$ mit vorteilhaftem Rechnen bestimmen. Zuerst dividiert man $160$ mit $8$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Quotient von $24$ und $8$. Mit $160 : 8=20$ und $24 :8 =3$ folgt für den Quotienten von $184$ und $8$:
$\begin{array}[t]{rll} 184 : 8&=& 20+3 \\[5pt] &=& 23 \\[5pt] \end{array}$
Somit lautet das Ergebnis $23.$
d)
$\blacktriangleright$  Ergebnis bestimmen
Der siebte Teil von $49$ beschreibt den Quotient von $49$ und $7.$ Hierbei folgt
$\begin{array}[t]{rll} 49 : 7&=& 7 \\[5pt] \end{array}$
Anschließend kann man das Produkt von $12$ und $7$ mit vorteilhaftem Rechnen bestimmen. Zuerst multipliziert man $10$ mit $7$ und addiert anschließend das Ergebnis mit dem Produkt von $2$ und $7$. Mit $10 \cdot 7=70$ und $2 \cdot 7 =14$ folgt für das Produkt von $12$ und $7$:
$\begin{array}[t]{rll} 12 \cdot 7&=& 70 +14 \\[5pt] &=& 84 \\[5pt] \end{array}$
Somit lautet das Ergebnis $84.$

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Zahlenreihe fortsetzen
Du sollst die Zahlenreihe um vier weitere Zahlen fortsetzen. Die ersten Zahlen sind mit $1$, $2$, $4$, $8$ und $16$ gegeben. Hierbei gilt:
$1 \cdot 2=2$, $2 \cdot 2=4$, $4 \cdot 2=8$ und $8 \cdot 2=16.$
In jedem Schritt wird die vorherige Zahl mit $2$ multipliziert. Es folgt:
$16 \cdot 2=32$, $32 \cdot 2=64$, $64 \cdot 2=128$ und $128 \cdot 2=256.$
Damit lautet die weitergeführte Zahlenreihe $1; \,2; \, 4; \,8;\, 16;\, 32;\, 64; \, 128; \, 256.$
b)
$\blacktriangleright$  Zahlenreihe fortsetzen
Du sollst die Zahlenreihe um vier weitere Zahlen fortsetzen. Die ersten Zahlen sind mit $3$, $12$, $6$, $24$ und $12$ gegeben. Hierbei gilt:
$3 \cdot 4=12$, $12 : 2=6$, $6 \cdot 4=24$ und $24 : 2=12.$
Es wird abwechselnd mit $4$ multipliziert und dann durch $2$ dividiert. Es folgt:
$12 \cdot 4=48$, $48 : 2=24$, $24 \cdot 4=96$ und $96 : 2=48.$
Damit lautet die weitergeführte Zahlenreihe $3; \,12; \, 6; \,24;\, 12;\, 48;\, 24; \, 96; \, 48.$
c)
$\blacktriangleright$  Zahlenreihe fortsetzen
Du sollst die Zahlenreihe um vier weitere Zahlen fortsetzen. Die ersten Zahlen sind mit $48$, $96$, $24$, $48$ und $12$ gegeben. Hierbei gilt:
$48 \cdot 2=96$, $96 : 4=24$, $24 \cdot 2=48$ und $48 : 4=12.$
Es wird abwechselnd mit $2$ multipliziert und anschließend durch $4$ dividiert. Es folgt:
$12 \cdot 2=24$, $24 : 4=6$, $6 \cdot 2=12$ und $12 : 4=3.$
Damit lautet die weitergeführte Zahlenreihe $48; \,96; \, 24; \,48;\, 12;\, 24;\, 6; \, 12; \, 3.$
d)
$\blacktriangleright$  Zahlenreihe fortsetzen
Du sollst die Zahlenreihe um vier weitere Zahlen fortsetzen. Die ersten Zahlen sind mit $1$, $9$, $3$, $27$ und $9$ gegeben. Hierbei gilt:
$1 \cdot 9=9$, $9 : 3=3$, $3 \cdot 9=27$ und $27 : 3=9.$
Es wird abwechselnd mit $9$ multipliziert und anschließend durch $3$ dividiert. Es folgt:
$9 \cdot 9=81$, $81 : 3=27$, $27 \cdot 9=243$ und $243 : 3=81.$
Damit lautet die weitergeführte Zahlenreihe $1; \,9; \, 3; \,27;\, 9;\, 81;\, 27; \, 243; \, 81.$
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