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Teiler und Vielfache

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Teiler

Ist eine Zahl $a$ ohne Rest durch eine Zahl $b$ teilbar. So sagt man $b$ ist Teiler von $a.$
Entsprechend sagt man, falls $a$ nicht ohne Rest durch $b$ teilbar ist, dass $b$ nicht Teiler von $a$ ist.
Beispielsweise ist $4$ Teiler von $8$, aber $6$ ist nicht Teiler von $8.$

Vielfache

Ein Vielfaches einer Zahl $a$ ist das Produkt von $a$ mit einer weiteren Zahl. Die Vielfachen einer Zahl $a$ bezeichnen die Produkte von $a$ nacheinander mit $1, 2, 3, 4 \dotsc.$
Beispielsweise sind die Vielfachen von $5$:
$5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, \dotsc$
Ist $b$ ein Teiler der Zahl $a$, so ist $a$ ein Vielfaches von $b.$
#vielfache#teiler
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EinführungsaufgabeRechnen mit natürlichen Zahlen: Teiler und Vielfache

Rechnen mit natürlichen Zahlen: Teiler und Vielfache
Abb. 1: Schokolade
Rechnen mit natürlichen Zahlen: Teiler und Vielfache
Abb. 1: Schokolade
a)
Wie viele Schokoladen-Tafeln kann sie kaufen?
b)
Jeder Klassenkamerad bekommt genau zwei Schokoladen-Tafeln und es bleibt keine Tafel mehr übrig. Wie viele Tafeln kann Mia jetzt noch gekauft haben?

Aufgabe 1

Entscheide, ob die Aussagen wahr oder falsch sind.
AussageRichtigFalsch
$4$ ist Teiler von $28.$$\;$$\;$
$7$ ist Teiler von $42.$$\;$$\;$
$35$ ist Vielfaches von $8$.$\;$$\;$
$9$ ist Teiler von $73.$$\;$$\;$
$58$ ist Vielfaches von $4.$$\;$$\;$
$49$ ist Vielfaches von $7.$$\;$$\;$
$82$ ist Vielfaches von $6.$$\;$$\;$
$13$ ist Teiler von $91.$$\;$$\;$

Aufgabe 2

a)
Gib die Teiler der Zahl $4$ an.
b)
Gib die Teiler der Zahl $7$ an.
c)
Gib die Vielfachen der Zahl $11$ zwischen $20$ und $50$ an.
d)
Gib die Teiler der Zahl $14$ an.
e)
Gib die Vielfachen der Zahl $7$ zwischen $30$ und $50$ an.
f)
Gib die Vielfachen der Zahl $9$ zwischen $15$ und $35$ an.

Aufgabe 3

Rechnen mit natürlichen Zahlen: Teiler und Vielfache
Abb. 2: Bildercollage
Rechnen mit natürlichen Zahlen: Teiler und Vielfache
Abb. 2: Bildercollage
a)
Lea möchte die Bilder im Querformat auf dem Plakat anbringen. Sie möchte in jeder Reihe und jeder Spalte gleich viele Bilder anbringen. Wie viele Bilder passen im Querformat maximal auf das Plakat?
b)
Emma behauptet, dass sie mehr Bilder auf dem Plakat anbringen könnten, wenn sie die Bilder im Hochformat (Breite: $10\,\text{cm}$, Höhe: $15\,\text{cm}$) auf dem Plakat anbringen. Hat Emma recht?

Aufgabe 4

Gib eine Zahl an, die zur jeweiligen Aussage passt. Verwende hierbei nicht die Zahl $1.$
a)
Die Vielfachen einer Zahl sind $14$, $28$, $49$ und $77.$
b)
Die Teiler einer Zahl sind $2$, $4$, $6$ und $8.$
c)
Die Vielfachen einer Zahl sind $39$, $75$, $88$ und $143.$
d)
Die Teiler einer Zahl sind $3$, $7$, $9$ und $21.$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
[2]
Public Domain.
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EinführungsaufgabeRechnen mit natürlichen Zahlen: Teiler und Vielfache

a)
$\blacktriangleright$  Anzahl angeben
In einer Packung sind $7$ Schokoladen-Tafeln. Die Anzahl an Tafeln, welche Mia kaufen könnte, ist ein Vielfaches von $7.$ Sie kann sich außerdem maximal $5$ Packungen kaufen. Somit kann sie maximal $7 \cdot 5=35$ Schokoladen-Tafeln kaufen. Die Vielfachen von $7$ sind:
$7$, $14$, $21$, $28$ und $35$
Mia kann $7$, $14$, $21$, $28$ oder $35$ Schokoladen-Tafeln kaufen.
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl angeben
Jeder Klassenkamerad bekommt genau $2$ Schokoladen-Tafeln. Das bedeutet, dass $2$ ein Teiler der Anzahl der Tafeln sein muss.
Es gilt, dass von den möglichen Anzahlen aus der vorherigen Teilaufgabe nur $14$ und $28$ ohne Rest durch $2$ teilbar sind.
Somit hat Mia entweder $14$ oder $28$ Schokoladen-Tafeln gekauft.

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Aussagen nachweisen
  • $4$ ist ein Teiler von $28$, da $28:4=12$ gilt.
  • $7$ ist ein Teiler von $42$, da $42:7=6$ gilt.
  • $35$ ist kein Vielfaches von $8$, da $35$ nicht ohne Rest durch $8$ teilbar ist.
  • $9$ ist kein Teiler von $73$, da $73$ nicht ohne Rest durch $9$ teilbar ist.
  • $7$ ist ein Teiler von $42$, da $42:7=6$ gilt.
  • $58$ ist kein Vielfaches von $4$, da $58$ nicht ohne Rest durch $4$ teilbar ist.
  • $49$ ist ein Vielfaches von $7$, da $49:7=7$ gilt.
  • $82$ ist kein Vielfaches von $6$, da $82$ nicht ohne Rest durch $6$ teilbar ist.
  • $13$ ist ein Teiler von $91$, da $91:13=7$ gilt.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Teiler angeben
Die Zahl $4$ ist durch $1$, $2$ und $4$ ohne Rest teilbar. Die Teiler der Zahl $4$ sind somit $1$, $2$ und $4.$
b)
$\blacktriangleright$  Teiler angeben
Die Zahl $7$ ist durch $1$ und durch $7$ ohne Rest teilbar. Die Teiler der Zahl $7$ sind somit $1$ und $7.$
c)
$\blacktriangleright$  Vielfachen angeben
Die Vielfachen der Zahl $11$ zwischen $20$ und $50$ sind $11 \cdot 2=22$, $11 \cdot 3 =33$ und $11 \cdot 4 =44.$
d)
$\blacktriangleright$  Teiler angeben
Es gilt $14:1=14$ und $14:2=7.$ Die Teiler von $14$ sind somit $1$, $2$, $7$ und $14.$
e)
$\blacktriangleright$  Vielfachen angeben
Es gilt $7 \cdot 5=35$, $7 \cdot 6=42$ und $7 \cdot 7 =49.$ Die Vielfachen von $7$ zwischen $30$ und $50$ sind $35$, $42$ und $49.$
f)
$\blacktriangleright$  Vielfachen angeben
Es gilt $9 \cdot 2=18$ und $9 \cdot 3=27.$ Die Vielfachen von $9$ zwischen $15$ und $35$ sind $18$ und $27.$

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Anzahl bestimmen
Insgesamt besitzt das Plakat eine Breite von $110\,\text{cm}.$ Ein Bild besitzt eine Breite von $15\,\text{cm}.$
$110$ ist nicht ohne Rest durch $15$ teilbar. Somit ist $15$ kein Teiler von $110.$ Damit musst du das größte Vielfache von $15$ bestimmen, welches trotzdem kleiner als $110$ ist. Die Vielfachen von $15$ sind:
$15$, $30$, $45$, $60$, $75$, $90$, $105$, $120$, $\dotsc$
Das größte Vielfache, welches trotzdem noch kleiner als $110$ ist, ist $105$. Es gilt $105:15=7.$
Damit können $7$ Bilder in eine Reihe nebeneinander geklebt werden.
Das Plakat besitzt außerdem eine Höhe von $60\,\text{cm}$ und ein Bild im Querformat eine Höhe von $10\,\text{cm}.$ Es gilt $60:10=6$ und damit ist $10$ ein Teiler von $60.$ Außerdem können $6$ Bilder untereinader auf dem Plakat angebracht werden.
Damit können insgesamt $7 \cdot 6=42$ Bilder auf dem Plakat angebracht werden.
b)
$\blacktriangleright$  Aussage überprüfen
Im Hochformat besitzen die Bilder eine Breite von $10\,\text{cm}$ und eine Höhe von $15\,\text{cm}.$ Das Plakat besitzt eine Breite von $110\,\text{cm}$ und eine Höhe von $60\,\text{cm}.$
Es gilt $110:10=11$ und $60:15=4.$ Damit sind $10$ und $15$ Teiler von $110$ und $60.$ Somit können in eine Reihe $11$ Bilder und $6$ Bilder untereinander angeordnet werden. Das Plakat ist hierbei vollständig verdeckt.
Auf dem Plakat können insgesamt $11 \cdot 6 =66$ Bilder angebracht werden.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Zahl angeben
Eine Zahl, die zur Aussage passt muss durch alle gegebenen Zahlen teilbar sein. Gemeinsamer Teiler ist beispielsweise $7.$ Es gilt $14:7=2$, $28:7=4$, $49:7=7$ und $77:7=11.$ Somit sind alle gegebenen Zahlen ohne Rest durch $7$ teilbar und damit sind die gegebenen Zahlen Vielfachen von $7.$
Die Zahl $7$ passt zur Aussage.
b)
$\blacktriangleright$  Zahl angeben
Eine Zahl, die zur Aussage passt muss Vielfaches aller gegebenen Zahlen sein. Hierbei gilt, dass $8$ Vielfaches von $4$ ist und $6$ Vielfaches von $2$ ist. Außerdem ist $4$ ein Vielfaches von $2.$ Somit ist das Produkt von $8$ und $6$ ein Vielfaches von $8$, $6$, $2$, und $4.$ Es gilt $8 \cdot 6=48.$
Die Zahl $48$ passt zur Aussage.
c)
$\blacktriangleright$  Zahl angeben
Eine Zahl, die zur Aussage passt muss durch alle gegebenen Zahlen teilbar sein. Gemeinsamer Teiler ist beispielsweise $13.$ Es gilt $39:3=13$, $75:13=5$, $88:13=6$ und $143:13=11.$ Somit sind alle gegebenen Zahlen ohne Rest durch $13$ teilbar und damit sind die gegebenen Zahlen Vielfachen von $13.$
Die Zahl $13$ passt zur Aussage.
d)
$\blacktriangleright$  Zahl angeben
Eine Zahl, die zur Aussage passt muss Vielfaches aller gegebenen Zahlen sein. Hierbei gilt, dass $9$ Vielfaches von $3$ ist und $21$ Vielfaches von $7$ und $3$ ist. Es gilt $21 \cdot 3 =63.$ $63$ ist ohne Rest durch $3$, $7$, $9$ und $21$ teilbar. Somit sind $3$, $7$, $9$ und $21$ Teiler von $63.$
Die Zahl $63$ passt zur Aussage.
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